6.2. Влияние среднего по величине главного напряжения на условие пластичности
Для анализа условия пластичности в главных напряжениях введем безразмерную величину – направляющий тензор напряжений
.
Тогда
.
Подставляя значение
в условие пластичности, получим
,
,
,
.
Введем обозначение
.
Тогда
.
Проанализируем последние зависимости.
Т.к.
тогда
,
имеем
,
,
имеем
,
,
имеем
,
.
Коэффициент
называется коэффициентом Лоде. Таким
образом, при плоском деформированном
состоянии уравнение пластичности имеет
вид
.
При равенстве среднего напряжения одному из главных уравнение пластичности имеет вид
.
На рис.5.3 показан
график зависимости коэффициента Лоде
от значения среднего напряжения
или
в конечном счете от параметра
.
Первые два случая анализа определяют условие полной пластичности, когда одна скобка в условии Губера-Мизеса равна нулю, а вторые две равны между собой. В общем можно сделать заключение, что второе главное напряжение влияет на условие пластичности незначительно, из рис.6.3 видно, в пределах 15%.
Рис.6.3. График зависимости коэффициента Лоде от параметра
В упрощенном
варианте условие пластичности записывается
,
при
Им широко пользуются в инженерных методах решения задач теории пластичности.
6.3. Частные случаи теории пластичности
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Для плоского напряженного состояния принимается
.
Подставляя в условие Губера-Мизеса
,
получим
,
.
в главных напряжениях
.
Для плоского напряженного состояния, используя условие пластичности в главных напряжениях, можно выразить напряжения следующим образом
;
.
Условие пластичности удовлетворяется тождественно.
ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
,
,
Подставляя в условие пластичности, получим
,
После упрощений
.
Принимая обозначение
,
запишем
.
Условие пластичности будет удовлетворено, если
,
,
В главных напряжениях
,
.
Максимальная
величина, которую достигает главное
касательное напряжение -
.
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
При
.
Изменяя индексы, получим
,
.
Если
,
то
.
Условие пластичности будет удовлетворено, если
,
,
7. Методы определения усилий и деформаций при обработке металлов давлением
Основной задачей теории упругости и пластичности является определение напряженно-деформированного состояния металла в каждой точке очага деформации. В теории обработки металлов давлением (прикладной теории пластичности) задача более сложная, чем в математической теории, так как граничные условия также неизвестны. В этом случае рассматривается равновесие не только отдельно взятой точки, но и всего очага деформации или отдельно взятого участка.
Задача нахождения поля напряжений не имеет единственного решения. Удовлетворяя условиям равновесия, уравнениям связи напряжений и деформаций (скоростей деформаций) и заданным граничным условиям в напряжениях, решение может не соответствовать кинематическим условиям задачи. Статически возможное поле напряжений, но не удовлетворяющее кинематическим условиям задачи, определяет «нижнюю оценку» усилия деформирования.
Решение, удовлетворяющее кинематическим условиям задачи, т.е. условиям сплошности, граничным условиям для перемещений, но не удовлетворяющего условиям равновесия, определяет «верхнюю оценку» усилия деформирования.
Решения, отвечающие одновременно статическим и кинематическим условиям, т.е. совместности полей напряжений и скоростей деформаций дают действительную величину усилия деформирования.
Существует ряд методов определения усилий деформирования. К ним можно отнести: метод линий скольжения; метод решения дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности; метод решения приближенных уравнений равновесия и условия пластичности (инженерный метод). Далее, энергетический метод; вариационные методы – это прямой вариационный метод, метод верхней оценки, метод конечных элементов; метод сопротивления материалов пластическому деформированию; визиопластический метод; метод муаровых полос; метод определение напряжений по распределению твердости.