4.6. Скорости перемещений и скорости деформаций
При решении динамических задач теории пластичности и задач в условиях сложного нагружения пользуются теорией пластического течения, где вместо деформаций используются скорости деформаций. Рассмотрим этот деформационный параметр.
В процессе деформации материальные точки тела находятся в движении таким образом, что расстояние между ними изменяется. Чем быстрее изменяется расстояние между точками, тем больше скорость деформации. Если деформации малы, то компоненты скоростей перемещений
,
,
.
Если существует
предел отношения разности скоростей
точек к расстоянию между ними при
стремлении последней к нулю, тогда
скорость деформации
,
.
Или
,
.
В итоге можно
записать: скорости относительных
удлинений и относительных сдвигов
,
.
,
.
,
.
Компоненты скоростей деформаций, образуют тензор скоростей деформаций
.
При пластической
деформации объём тела не изменяется и
тензор скоростей деформации является
девиатором, следовательно
.
Условие постоянства
объема в деформациях
,
в скоростях деформаций
.
Для скоростей деформации можно определить главные оси скоростей деформации, главные скорости сдвига, скорость октаэдрического сдвига, интенсивность скорости сдвига и интенсивность скоростей деформации. Тензор скоростей деформаций в главных координатах
.
Интенсивность скоростей деформации сдвига и интенсивность скоростей деформаций
,
.
Скорость октаэдрического сдвига
.
Также, как и для деформаций, последние величины характеризуют полностью скоростные и деформационные параметры материальной точки, т.к. под радикалом присутствуют все компоненты тензора скоростей деформаций.
4.7. Условие постоянства объема
Запишем условие
постоянства объема при пластической
деформации в виде
,
где
- текущие значения высоты, ширины и длины
полосы. Продифференцируем это выражение
,
или
,
где
-
элементарное относительное обжатие по
высоте,
- элементарное относительное уширение
полосы,
- элементарное относительное удлинение
полосы. В расчетах пользуются показателями
деформации напоминающие выше приведенные
,
,
.
Введем обозначения
,
,
,
где
-
абсолютные изменения размеров по высоте,
ширине и длине. При малых деформациях
менее 5% условие постоянства объема
.
В теории упругости
и пластичности часто пользуются
значениями линейных деформаций
.
Для малых деформаций можно записать
условие постоянства объема в виде
.
При больших деформациях такие записи дают ошибочный результат, тем больший, чем больший процент пластической деформации. Большие пластические деформации
- истинное
относительное обжатие,
- истинное
относительное уширение,
- истинное
относительное удлинение.
В этом случае имеет
место точное выполнение условия
постоянства объема
.
В теории пластического течения условие постоянства объема запишется
.
С точки зрения приемлемости результата в теории пластичности широко используется теория пластического течения или теория приращения деформаций, где применяются скорости деформаций по различным направлениям.