7.5.Вариационные методы

В отличии от метода баланса работ, вводится в рассмотрение полная работа равная сумме работ внешних и внутренних сил. Согласно методу баланса работ эта сумма должна быть равна нулю. Однако, предполагается, что полная работа будет равна нулю около состояния равновесия. Другие состояния дают приращения полной энергии, рассмотрение которой оказывается удобным при использовании экстремальных принципов механики. Имеем

,

где - полная работа деформации и выражает приращение полной энергии деформации.

Приращение полной энергии имеет место на возможных перемещениях, воображаемых перемещениях допускаемых связями, наложенными на данную механическую систему, или еще их называют кинематически возможными. Пусть имеют место, совместимые с граничными условиями возможные перемещения точки .Работа внешних сил получит приращение, связанная с этими перемещениями

,

где - приращение работы внешних сил.

Операция варьирования напоминает операцию дифференцирования. Ее можно выносить за скобки и разбивать на суммы. Так как варьируются перемещения, то значения для варьируемых параметров есть величины постоянные. Таким образом,

.

Операции интегрирования и дифференцирования, в данном случае варьирования, можно менять местами. Тогда

.

Под вариацией стоит работа внешних сил, следовательно ,

.

Вариация работы внешних сил представляет собой работу внешних сил на возможных воображаемых перемещениях.

Аналогично для работы внутренних сил

=

= .

Согласно началу возможных перемещений

+ =

.

Величина, стоящая в скобках, представляет полную энергию. Следовательно, вариация полной энергии равна нулю. Тогда действительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем, что сообщает полной энергии минимальное значение. Можно показать, что полная работа является функцией перемещений. Задача сводится к определению перемещений в функции от координат, при которых полная энергия принимает минимальное значение. В соответствии с методом Ритца перемещения представляются в виде суммы координатных функций с неопределенными параметрами. Вариационная задача сводится к отысканию значений этих параметров, сообщающих полной энергии минимальное значение. Из условий экстремума получают систему алгебраических уравнений по числу параметров. Определив значения параметров можно определить перемещения и т.д.

МЕТОД «ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ»

Из-за сложностей вычисления работы внутренних сил появились подходы, в которых частично или полностью обходятся без вычисления работы внутренних сил. В энергетическом методе такая идея частично реализована: работу, связанную с неравномерностью деформации определяли как дополнительную работу сдвига. Представим, что очаг деформации разбит на треугольные блоки (жесткие области), в которых деформация отсутствует, а формоизменение тела осуществляется путем относительного сдвига этих блоков. Такое представление соответствует механизму межзеренной деформации. В этом заключается суть метода верхней оценки. Разбив очаг деформации на небольшое количество жестких треугольников (это равносильно замене действительного непрерывного поля скоростей разрывным кусочно-линейным) и на основании энергетического метода определяют усилие деформирования. Вдоль границ между блоками скольжения, касательные напряжения являются максимальными и достигают значения . На свободных поверхностях , а на контакте до предельного значения .

Мгновенная мощность внутренних сил, включая контактное трение, определится , где - скорости скольжения вдоль границ треугольников; - длины сторон треугольников; - длина проекции площадки контакта. Мощность деформирующей силы равна = , где - скорость движения инструмента. Приравнивая выражения, получим

.

Для плоской деформации, при , удельное усилие

.

В формуле фигурируют скорости жестких блоков совершающих поступательное движение друг относительно друга. Возникает необходимость выразить скорости блоков через скорость движения инструмента. Это предполагает построение годографа скоростей. Наклонные стороны треугольников имеют скорости, в которых фигурируют тригонометрические функции углов. Расчет ведется при разных углах наклона. Результат является приемлемым, когда удельное давление принимает минимальное значение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.-М.:Машиностроение, 1968.-498 с.

2. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением.-М.: Машиностроение, 1977.-422 с.

3. Громов Н.П. Теория обработки металлов давлением.-М.: Металлургия, 1978.-359с.

4. Малинин Н.Н, Прикладная теория пластичности и ползучести.-М.: машиностьроение, 1975.-399 с.

5. Смирнов В.С. Теория прокатки.-М.: М.: Металлургия, 1967.-460с.

ЗАПОРОЖСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

ЧИГИРИНСКИЙ В.В.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ МЕТАЛЛОВ»

ЗАПОРОЖЬЕ-2009