3.4. Главные напряжения. Инварианты тензора напряжений
Из рис.3.2 видно,
что существуют площадки, на которых
составляющие тензора напряжений
принимают экстремальные значения.
Нормальное напряжение – максимальное,
а касательное – минимальное, равное
нулю. Полное напряжение и нормальное
для данных площадок совпадает по величине
и направлению. Такие площадки называются
главными. Оси, перпендикулярные к главным
площадкам называются главными осями,
а нормальное напряжение на главных
площадках – главными нормальными
напряжениями и обозначаются
.
В дальнейшем принимается, что
.
Тензор напряжений
.
Рассмотрим наклонную площадку, сориентированной таким образом относительно координатных площадок , , , чтобы полное и нормальное напряжение совпадали, следовательно, площадка была главной.
Проектируя главные напряжения на оси , , , получим
;
;
.
Подставляя значения , имеем
;
;
.
Или
;
;
.
Кроме этого
.
Последние выражения содержат четыре
неизвестных (главное напряжение и его
направляющие косинусы). Так, как выражения
однородны, кроме этого одновременно
косинусы не равны нулю, отсюда определитель
системы равен нулю
,
где
- неизвестная величина главного
напряжения.
Раскрывая определитель, получаем кубическое уравнение вида
,
где
- коэффициенты, составленные из компонентов
тензора напряжений.
Так как выбор произвольных площадок определяется поворотом координатных осей, а полное напряжение от этих поворотов не зависит. При этом от поворотов осей не зависят и главные напряжения, которые при векторном суммировании дают полное напряжение. Следовательно, от выбора системы координат не зависят и коэффициенты, являющиеся инвариантами тензора напряжений. При решении кубического уравнения получим три корня. Исследование направляющих косинусов показывают, что главные площадки по отношению друг к другу являются взаимно перпендикулярными. Выражения инвариантов имеют вид – линейный инвариант
,
квадратный инвариант
кубический
инвариант
Инварианты
напряжений позволяют в дальнейшем
определить обобщенные показатели
напряженного состояния в главных и
произвольных координатах.
3.5.Эллипсоид напряжений
Исследуем нормальное
напряжение на наклонной площадке. Его
величина определяется всеми компонентами
тензора напряжений и положением наклонной
площадки. Как будет изменяться нормальное
напряжение с изменением положения
наклонной площадки? Введем в рассмотрение
вектор
,
тогда
,
где
- произвольная постоянная, определяющая
масштаб.
Координаты конца
вектора
,
,
,
следовательно
,
,
.
Подставляя значения и сокращая на , получим
.
Из аналитической
геометрии известно, что это поверхность
второго порядка. С изменением положения
наклонной площадки изменяется направление
и координаты
конца вектора
,
который характеризует нормальное
напряжение
.
При изменении координат, сама поверхность
остается неизменной, а изменяются лишь
коэффициенты, т.е. величины напряжений.
Действительно, с изменением координат,
для соблюдения постоянства в левой
части выражения необходимо изменять
компоненты тензора напряжений. Вращая
координатные оси, можно добиться такого
положения, когда касательные напряжения
станут равными нулю, тогда
,
,
.
Отсюда нормальное напряжение на наклонной
площадке
.
Компоненты полного напряжения на наклонной площадке
,
,
,
где
- направляющие косинусы между главными
осями и нормалью наклонной площадки.
Следовательно,
,
,
,
учитывая, что
,
получим
.
Уравнение представляют собой трёхосный эллипсоид, оси которого являются главными напряжениями в данной точке, а координаты точек поверхности – проекции полного напряжения для различных наклонных площадок, .
Рис.3.5. Эллипсоид напряжений
Изменение общего напряжения по величине от ориентации осей наклонной площадки более наглядно показано выражением. Все это касается одной площадки
,
при
,
- случай первой главной площадки
;
;
.
при
,
- случай второй главной площадки
;
;
.
при
,
- случай третьей главной площадки
;
;
.
Из этого следует, что изменение вектора по величине и направлению происходит благодаря изменению положения площадки. Изменим величину вектора за счет изменения величины внешних сил без изменения их направления. В этом случае будут изменяться полуоси эллипсоида, т.е. величина главных напряжений . Получим семейство эллипсоидов, вставленных один в другой. Если при этом положение осей эллипсоидов остается неизменным, то такое напряжение называется простым. Это бывает, когда все нагрузки возрастают пропорционально общему параметру. Если эллипсоид поворачивается, такое напряжение называется сложным.