книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Здесь А^(Л) и Ак(Н), к = 1, 2 , п — соответственно верхние уг­

ловые главные миноры дискриминантов форм V и W. При этих усло­ виях V(t, ,v) является положительно-определенной функцией коор­ динат х2, ..., хп, а ее полная производная по t в силу уравнения

(13.3.1) — отрицательно-определенной функцией. Поэтому вдоль решения уравнения (13.3.1), отличного от тривиального (х(0 = 0),

и, значит,

где <р(*, t0) — j [<y(t0) —ог(*)]. Подставляя в неравенства А. Д. Гор­

бунова (13.3.2) вместо с2 форму xT(f)A(<)x(f) и используя нера­ венство (13.3.14), получим

( s — 1, 2,..., п).

Здесь Ап — дискриминант квадратичной формы хтАх, a Д^1, — минор, полученный из дискриминанта Ап вычеркиванием s-й стро­ ки и 5-го столбца.

Для произвольного решения уравнения (13.3.1), ограниченного условием | Jts(f0)| as, s = 1, 2,..., л, справедливы оценки

I

7

К ( 0 1 < о'Л(Г0)а Дя«) ехр <р(/, /0), (13.3.16)

где а — столбцовая матрица элементов ар а2>..., ап.

З а м е ч а н и е 13.3.1. У авторов монографии [83] вместо строгого неравенства (13.3.13) приведено соотношение V(t, х (f))<K(f0, дг0), что не согласуется с введен­

ным выше условием отрицательной определенности формы хтНх. Это привело к то­ му, что и в конечном выражении оценок (13.3.15) и (13,3.16) фигурирует знак < (вместо знака строгого неравенства). Оценки, представленные в монографии, имеют

силу, если условие отрицательной определенности формы хтНх заменено условием ее неположительности.

Исходя из основных оценок (13.3.15) и (13.3.16), авторы фор­ мируют целый ряд производных оценок, используя различные ал­ гебраические соотношения и частные представления положительно­ определенной формы.

Другой ряд оценок координат решения уравнения (13.3.1) К. А. Карачаров и А. Г. Пилютик, как и Б. С. Разумихин [96], получают

на основе неравенств Н. Г. Четаева (13.3.11). Эти неравенства при использовании неравенств А. Д. Горбунова (13.3.2) немедленно при­ водят к оценкам

Оценки (13.3.17), полученные на основе неравенств Н. Г. Четаева, по сравнению с оценками (13.3.15) (при одной и той же форме У(/, х)) более точны. Точность же оценок (13.3.17) (как и всяких других оценок, получаемых посредством положительно-опреде­ ленных квадратичных форм) зависит от выбора формы V(t, х ). Срав­ нение оценок (13.3.17) при некоторых вариантах задания V(t, х) произведено в работе А. Г. Пилютика и П. А. Талалаева [31 ].

13.3.2. Оценки нормы решения линейных однородных сис­ тем. Уравнению (13.3.1) соответствует следующее дифференциаль­ ное уравнение относительно евклидовой нормы вектора:

d\\x\\2/dt = 2x‘Sx,

где S = (Р1+ Р) — симметрическая матрица, допускающая

оценки

где pmin и цтах — соответственно минимальное и максимальное соб­

ственные значения симметризованной матрицы 5. Замена в этих неравенствах формы x'S(t)x производной от квадрата нормы х и последующее интегрирование приводят к уже упомянутым в

§13.1—13.2 неравенствам Важевского.

Б.С. Разумихин [96] вывел оценки для нормы х из соотноше­ ний (13.3.11). Пусть vmin и vmax — соответственно минимальный и

(в силу ортогональности примененного преобразования квадратич-

Отсюда следуют оценки

Оценки нормы решения типа (13.3.18) приводятся в различных модификациях и в книге К. А. Карачарова и А. Г. Пилютика [83].

§ 13.4. Неравенства Четаева

Пусть

— положительно-определенная квадратичная форма с веществен­ ной, симметрической и дифференцируемой на [tQ, Т) матрицей

A(t). Полная производная по t от функции V(t, х) в силу уравне­ ния (13.1.1)

Найдем экстремум функции dV/dt на поверхности V = const методом множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию

Поэтому имеем

x'(.PMT+ AP — -j-)x — 2 yt.xrAx —0, xrAx = c,

или

Матричное уравнение (13.4.4) имеет ненулевые решения лишь при условии, что ц является корнем уравнения

Пусть jjimin и р.шах — соответственно минимальный и максимальный

корни уравнения (13.4.6). Тогда, как это следует из уравнения (13.4.5), значения функции V вдоль любого решения x(t) уравне­ ния (13Л.1) удовлетворяют неравенствам

получившим в литературе название неравенств Четаева. Приведенные неравенства Четаева, справедливые для любой по­

ложительно-определенной квадратичной формы (13.4.1), приобре­ тают, в зависимости от выбора матрицы формы, то или иное конк­ ретное содержание. Пусть А — Е (Е — единичная матрица). При этом, в соответствии с (13.4.7), получаем неравенства

совпадающие с неравенствами Важевского. Здесь jxmin и jxmax — со­

ответственно минимальный и максимальный корни характеристи­ ческого уравнения

Н. Г. Четаев в работе [108], которая, как указано в подстрочном замечании, малым тиражом была опубликована еще в 1949 г., пред­ ложил два варианта неравенств вида (13.4.7). Предполагая, что мат­ рица уравнения (13.1.1) может быть представлена в форме P(t) — С + tF(i), где С — постоянная квадратная матрица, собст­ венные значения которой удовлетворяют условию m1X1 + m2^i + ...

+ mnXn Ф 0 для любых целых неотрицательных чисел mt, имею­

щих в сумме 2, Н. Г. Четаев определил матрицу А посредством уравнения

(в левой части уравнения стоит полная производная от V по t в си­ лу стационарной системы х — Сх). С учетом (13.4.10) алгебраиче-

ское уравнение (13.4.6), минимальным и максимальным корнями которого являются соответственно ^Ш1П(0 и |xmax(f) в неравенствах

(13.4.7), приобретает вид

Другой вариант неравенств вида (13.4.7) Н. Г. Четаев получил в предположении, что матрица P(t) отвечает условию существова­ ния квадратичной формы V с ограниченными коэффициентами, за­ висящими от t; эта формула удовлетворяет уравнению в частных производных 1-го порядка

При таком определении матрицы A(t) prain и fxraax в неравенствах

(13.4.7) оказываются соответственно минимальным и максималь­ ным корнями уравнения

И г - 5 * - ^ = °-

При исследовании устойчивости в постановке Четаева Чжан Сыин [113] применил функцию 2V = e~atxTx (а> 0), которая впервые была использована Ляпуновым [87] при доказательстве теоремы о конечности характеристических чисел. В предположениях, что вы­ бор параметра а ограничен условием положительности всех глав­ ных миноров определителя

Интересно выявить, насколько целесообразно с точки зрения улучшения оценок решений линейной системы введение в функ­ цию V экспоненциально убывающего множителя. Чтобы получить ответ на этот вопрос, используем неравенства (13.4.7), которые представляют более тонкие оценки функции V, чем неравенство (13.4.11), ибо они получены при меньших ограничениях на функ­ цию V и допускают знак равенства.

При А — ^ е~а(*~1о>Е уравнение (13.4.6) и неравенства Четаева принимают соответственно вид

(13.4.12)

a M-mui и М-шах — соответственно минимальный и максимальный кор­ ни уравнения

Легко видеть, что первые и вторые неравенства, т.е. соответственно неравенства (13.5.1) и (13.5.2), эквивалентны друг другу, так как

неравенствах, представляют собой минимальный и максимальный корни одного и того же алгебраического уравнения.

§ 13.6. Точные оценки на основе неравенств Четаева

Выше отмечалось, что точность оценок, получаемых на основе неравенств Четаева, зависит от выбора функции V. Ниже рассмот­ рим вопрос о построении функции V, с помощью которой реализу­ ются точные оценки решения линейной системы, т.е. когда в соот­ ношениях (13.4.7) слева и справа имеют место знаки равенства.

Легко видеть, что оценки, получаемые на основе неравенства Четаева (13.4.7), тем точнее, чем меньше величина

т.е. точные оценки реализуются тогда, когда |лшах —pmin = 0: все

корни уравнения (13.4.6) тождественно равны друг другу. Оцен­ ки, реализуемые при этом, эквивалентны оценкам, получаемым при рП1ах — |xmin = 0. Учитывая это, точные оценки можем полу­

чить из условия, что все собственные значения симметрической матрицы

F A + АР + at

равны нулю, т.е. когда А удовлетворяет матричному дифференци­ альному уравнению

Таким образом, поставленный выше вопрос о реализации точных оценок на основе неравенств Четаева сводится к построению реше­ ния дифференциального уравнения (13.6.1). Имеет место (гл. 12, теорема 12.2.1) следующая

(£ — единичная матрица). ■ В следующей теореме 13.6.2 устанавливаются некоторые свойст­

ва матрицы А (решения уравнения (13.6.1)) и приводится несколь­ ко иное представление этой матрицы.

Т ео р е м а 13.6.2.

1°. Решение матричного уравнения (13.6,1) может быть пред­

2°. Если С — эрмитова (симметрическая) матрица с неотри­ цательными собственными значениями, причем все собственные значения матрицы С положительны, то положительными явля­ ются и все собственные значения матрицы А.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Матрицы Y, Z и X, определенные со­ отношениями (13.6.4), (13.6.5) и (13.6.7), как нетрудно прове­

ленно получаем (13.6.6). ■ Утверждение 2° теоремы может быть доказано с помощью ,сле­

дующих лемм.

Л ем м а 13.6.1. Для того чтобы эрмитова (симметрическая) матрица D была представима в виде D = В*В (D = ВГВ), необхо­ димо и достаточно, чтобы она не имела отрицательных собст­ венных значений (В* — матрица, эрмитово-сопряженная, а В7 — транспонированная по отношению к матрице В).

Доказательство леммы 13.6.1 см. в [1, с. 371, 372].

Л е м м а 13.6.2. Пусть D(t) — эрмитова (симметрическая) матрица, допускающая при каждом фиксированном t Е I разложе­

ние D — В*В (D — В1В), где В — квадратная матрица того же порядка, что и D, причем при каждом t

а) ||Д|| < °°, IHI — эрмитова норма, б) jdet В | ^ а > 0.

Тогда собственные значения р;. матрицы D ограничены снизу некоторой положительной функцией d(t), т.е. ру-(/)> d(i) > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Определитель квадратной матрицы, как известно, равен произведению всех ее собственных значений (с учетом их квадратностей):

det D{t) = П Ру(0- / = 1

J - 1

Далее, имеем pj(t) ^ ||/>(/)[|. Поэтому

Пусть теперь в условии (13.6.2) С — эрмитова матрица с неот­ рицательными собственными значениями. В силу (13.6.6) матрица А также является эрмитовой матрицей (X — как матрица Коши — является вещественной, и поэтому X' = X*), В самом деле, из (13.6.6) имеем

А* = [(Ar- 1)TCA’"1]* = (jrO ’C'K*')--1]* = (jr^C -JT 1= А.

Далее, матрица С, согласно лемме 13.6.1, разложима на множите­ ли: С = F*F, где F — некоторая постоянная матрица. С учетом

этого имеем А = (X~lyF*FX~l. Отсюда, обозначая В = FX~\ по­ лучаем А — В*В и, следовательно, в силу той же леммы 13.6.1, все собственные значения матрицы А неотрицательны.

Наконец, допустим, что все собственные значения эрмитовой матрицы С положительны. Тогда F — невырожденная матрица и

при каждом фиксированном t из / имеем ||Z?|| « ||/’|| • || А'~,|| < оо. Условия леммы 13.6.2 выполняются, и поэтому все собственные значения матрицы А при каждом ( 6 / положительны.

Аналогичным образом утверждение 2а теоремы устанавливаются в случае, когда С — симметрическая матрица. Теорема доказана. ■ Возвращаясь к вопросу о точных оценках решений системы дифференциальных уравнений посредством неравенств Четаева,

можем констатировать следующее.

Т е о р е м а 13.6.3. Матрица квадратичной формы, посредством которой реализуются точные оценки неравенствами Четаева, яв­ ляется решением матричного уравнения (13.6.3) и в соответст­ вии с построенным его общим выражением (13.6.6) представляется в виде

П ри м ечани е . Непосредственное использование выражения (13.6.10) на практике затруднительно, так как оно содержит фун­ даментальную матрицу X, точное выражение которой в конечном виде удается получить лишь в исключительных случаях. В то же время известны способы построения (в том числе и машинные, с использованием ЭВМ) приближенных выражений матрицы X. По­ лезно иметь способ построения формы V(t, х), реализующий наи­ лучшие оценки на основе не точных, а приближенных выражений для фундаментальной матрицы X.

Пусть X — приближенное решение уравнения (13.6.7). Квадра­ тичная форма

где А0 — симметрическая постоянная матрица, все собственные

значения которой положительны, является положительно-опреде­ ленной. При использовании этой формы будем иметь неравенства (13.4.7), в которых p.mjn и р.тах — соответственно минимальные и

максимальные корни уравнения

det(A + M ) = 0 . „ А = (X~l)QTA + AQX~l, Q = ( j f - P O ) x ( t ) ) .

Когда X(t) мало отличается от точного решения X(t), матрица Q, а следовательно и Д, близка к нулевой матрице. При этом корни цга|п и цтах малы и мало отличаются друг от друга, что приводит к

узким пределам возможных значений V(t, х), определенных нера­ венствами (13.4.7).