книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

времени. Общим для всех постановок является введение опреде­ ленной функциональной связи между областями допустимых от­ клонений в начальный момент t0 и i > t0 в пределах конечного (на­

перед заданного или не заданного) интервала времени. Различие же между ними проявляется, во-первых, в характере ограничений, налагаемых на отклонения параметров процесса, и, во-вторых, в форме и характере изменения во времени области допустимых от­ клонений.

В развитии теории устойчивости на конечном интервале време­ ни отчетливо просматриваются два разных направления. Первое бе­ рет свое начало с уже упомянутой работы Н. Г. Четаева и характе­ ризуется тем, что в постановках задачи размеры областей допусти­ мых отклонений определяются вполне конкретными, наперед заданными величинами. По терминологии Н. Н. Моисеева, понятие устойчивости в этом случае называется «технической устойчиво­ стью».

Для работ второго направления в теории устойчивости движения на конечном промежутке времени характерен иной способ задания областей допустимых отклонений, аналогичный ляпуновскому —без априорного назначения размеров областей. Второе направление в те­ ории берет свое начало с работы Г. В, Каменкова [77].

Ни одна из известных постановок задач по устойчивости на ко­ нечном интервале времени не заняла сейчас доминирующего поло­ жения. Более того, нет еще ощущения неактуальности поиска но­ вых вариантов определения устойчивости процессов на конечном интервале времени. Это обстоятельство во многом определило, в частности, и содержание настоящего раздела книги. Ниже кратко рассмотрим характерные особенности задач устойчивости в указан­ ных направлениях.

§14.5. Общая постановка задачи о технической устойчивости

14.5.1.Возмущенное и невозмущенное движение. Общий вид уравнений возмущенного движения в векторно-матричной фор­ ме. В данном параграфе, следуя терминологии и методологии А. М. Ляпунова (см. [87], а также [112]), выводятся уравнения возмущен­ ного движения в общем виде, используемые далее как в настоящем разделе, так и во всех последующих частях данного раздела.

Рассмотрим динамическую систему, состояние которой характе­

ризуется величинами z,, z2, ..., zn и описывается векторным диф­

ференциальным уравнением (относительно столбцовой матрицы г, составляемой из элементов z}, г2, ..., zn)

где 6(<, z, g) — известная вектор-функция времени /, вектора со­ стояния z, а также некоторой известной или неизвестной функции g(t, z). Введение в математическую модель процесса, описываемого соотношением (14.5.1), функции g(t, z) отражает то обстоятельст­ во, что при формализации явления нередко некоторые факторы, существенно влияющие на характер процесса, не удается подверг­ нуть явному математическому описанию в приемлемой форме и с удовлетворительной достоверностью. Компоненты вектор-функции g(t, z) в этом случае рассматриваются как возмущени;! и обычно именуются «возмущающими силами».

Без учета возмущающих сил состояние динамической системы представляется уравнением

^ = 90,2) (9(/, 2 ) В 0 ( / , 2,0)). (14.5.2)

Предполагается, что правые части уравнений (14.5.1) и (14.5.2) обладают свойствами, гарантирующими существование и единст­ венность решения задачи Коши в области /0 х £>„, где

/0 С [0 < t < о»), а А, — открытое множество «-мерного простран­ ства координат zj, z2, ..., zn. Что касается возмущающих сил, то

обычно предполагают, что вектор-функция g участвует в матема­ тической модели с ограничением

где л(/) — некоторая область возможных или допустимых значе­ ний возмущающих сил, известная либо подлежащая определению. При этом считается, что возмущающие силы могут изменяться на /0 любым образом и стеснены (помимо оговоренных выше условий

существования и единственности решения дифференциальных уравнений) единственным условием (14.5.3). Каждому начальному состоянию динамической системы z(t0) —z0 отвечает некоторая

траектория z(t), которая представляется проходящим через точку z0 решением уравнения (14.5.1) или уравнения (14.5.2).

Допустим, что нас интересует некоторое движение системы при отсутствии возмущающих сил, отвечающее начальному состоянию

z°(f0). Это движение, рассматриваемое, следуя Ляпунову, как «не­

возмущенное движение», представляется решением z°(t) уравнения (14.5.2). Все другие движения системы, не совпадающие с невозму­ щенным, рассматриваются как «возмущенные движения». Каждое возмущенное движение отличается от невозмущенного движения вследствие либо возмущения начального состояния системы, либо воздействия на траектории возмущающих сил, либо по той и другой причинам в совокупности.

Замена переменных

приводит уравнение (14.5.1) к виду

где х — столбцовая матрица, составленная из возмущений (откло­

8(t> x) = g(t, z°(t) + x).

Векторное уравнение (14.5.5) представляет собой систему диффе­ ренциальных уравнений относительно возмущений х.. По построе­

нию /(/, 0, 0) з 0, Невозмущенному движению z°(t) в новых коор­ динатах отвечает тривиальное решение x(t) = 0 уравнения

Каждому частному решению z ° ( t ) уравнения (14.5.1) в соответст­ вии с соотношением (14.5.4) отвечает определенное частное реше­ ние уравнения (14.5.6) и наоборот. В частности, частному решению

2°(/), которое представляет невозмущенное движение, отвечает

вместо (14.5.5) будем иметь

или, обозначая для удобства

получаем

По построению А(г, х) — нелинейная вектор-функция, непре­ рывная по / и дифференцируемая по х. Следуя терминологии, вве­ денной Ляпуновым, уравнение (14.5.7) будем называть уравнением возмущенного движения.

Свойства решений уравнения (14.5.7) нередко находятся в тес­ ной взаимосвязи со свойствами соответствующих решений уравне­ ния линейного (или первого) приближения

(14.5.8)

получаемого из (14.5.7) путем отбрасывания нелинейной части. 14.5.3. Основные определения понятия технической устой­

чивости. В настоящее время известно большое число различных определений понятия технической устойчивости. Но при всем кажущемся разнообразии эти определения базируются на одних и тех же предпосылках. Во всякой постановке задачи о техни­ ческой устойчивости понятие устойчивости базируется на следу­ ющих предпосылках.

1. Вводится вполне определенная (замкнутая или открытая) об­ ласть ш0 начальных возмущений xiQ= хД*0) (/ = 1, 2, ..., п) и рас­

сматриваются траектории, которые берут начало в точках области о>0.

2.Задается определенное множество / с /0 значений времени t.

3.Вводится определенная область w(t) допустимых значений возмущений x(t) на /.

При указанных предпосылках основное понятие технической

Большинство исследователей рассматривают уравнения возму­ щенного движения при наличии возмущающих сил в форме, когда возмущающие силы входят в правые части аддитивно и линейно:

При этом ограничение (14.5.3) на возмущающие силы обычно включают в определение понятия устойчивости. Тоща имеем

О п р е д е л е н и е 14.5.2. Невозмущенное движение (тривиаль­ ное решение уравнения (14.5.6)) называется технически устойчи­ вым на I относительно заданных ш0,со(/) и л(/) в том и только в

том случае, если всякое возмущенное движение (решение уравне­ ния (14.5.5) или (14.5.9)), определенное начальным условием x(tQ) £ ш0 при всяких возмущающих силах g(t, х), ограниченных

Система (14.5.5) или (14.5.9) называется технически устойчи­ вой, если соответствующее невозмущенное движение устойчиво.

(а, (3, /0, Т)-устойчивостью.

Аналогично устойчивость в смысле определения 14.5.2 называ­ ют (со0, со, л, tQ, Т)-устойчивостыо, либо (о, (3, у, t0, Т)-устойчи­

востью.

Техническая устойчивость допускает следующую геометриче­ скую интерпретацию. В л-мерном пространстве фазовых координат дс,, х2, хп задаются область со0, неизменная по времени t, и об­

ласть со, вообще говоря, изменяемая по t. Исследуется свойство ус­ тойчивости системы на некотором заданном промежутке /, который обычно представляет собой замкнутый или полуоткрытый интервал с граничными точками t0 и Г. Система считается технически устой­

чивой, если все ее траектории, берущие начало в момент времени tQв области ш0 при всех t из заданного множества /, остаются в

пределах области со. Если же хоть одна траектория системы, беру­ щая свое начало в области со0, выходит в какой-то момент t £ I за

пределы множества со(<), то рассматриваемая система является тех­ нически неустойчивой.

В зависимости от способа задания множеств со0,со(/) и n(t) на

/ понятие технической устойчивости принимает то или иное конк­ ретное содержание.

Выбор областей ш0 и ш в задаче о технической устойчивости имеет весьма существенное значение, в отличие от постановки за-

дачи устойчивости в смысле Ляпунова, когда конечные результаты не зависят от того, выбрана ли область допустимых состояний в форме л-мерного параллелепипеда, как это делал А. М. Ляпунов, или в форме л-мерного шара, как это предложил делать Н. Г. Четаев. Система, обладающая технической устойчивостью относи­ тельно области в форме л-мерного параллелепипеда, может ока­ заться неустойчивой относительно области предельных отклонений в форме шара, и наоборот.

Судя по литературе, посвященной технической устойчивости, в выборе областей оо0, to, л;, I имеет место довольно большое разнооб­

разие. Этому трудно дать исчерпывающее объяснение. Можно лишь с уверенностью сказать, что определенную роль при назначении ог­ раничений на возмущения (отклонения) играют соображения удоб­ ства проведения исследований посредством располагаемого для этой цели арсенала математических средств.

В литературе известен еще ряд других определений понятия технической устойчивости (равномерная устойчивости, квазирас­ ширяющая и квазисжимающая техническая устойчивость и т.п.). С этими понятиями можно познакомиться, например, по нашему об­ зору [52], а также некоторым монографиям, посвященным вопро­ сам технической устойчивости.

§ 14.6. Устойчивость движения на конечном интервале времени по Каменкову

14.6.1. Постановка задачи. Г. В. Каменков, как и А. М. Ляпу­ нов, рассматривал движение материальных систем, для которых за­ дача об устойчивости приводится к исследованию интегралов урав­ нений возмущенного движения вида

где X lf X2, ...» Xa — известные вещественные функции веществен­ ных переменных х2, ..., хп, обращающиеся в нуль при л:, = ...

... = хп = 0. Функции эти в области, достаточно близкой к началу

координат, разлагаются в ряды по целым положительным степеням переменных x v х2, ..., х пс вещественными, ограниченными и непре­

рывными по отношению к t коэффициентами.

Каменков дает следующее определение устойчивости невозму­ щенного движения (тривиального решения х5= 0 (s = 1, 2 , ..., я))

системы (14.6.1).

О п р е д е л е н и е 14.6.1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что при достаточно малом поло-

жительном числе с величины xs, рассматриваемые как функции времени, удовлетворяют условию

на конечном интервале [/0, <0 + т), если только начальные значе­ ния этих функций xsQ= х0(*0) удовлетворяют условию

нечном интервале времени. Понятие устойчивости по Каменкову допускает следующую геометрическую интерпретацию. Пусть в мо­ мент времени tQ(рис. 14.2) система получила-некоторые отличные

от нуля произвольно малые отклонения *Д/0) (s= 1, 2, ..., п) и эти отклонения находятся внутри или на поверхности л-мерного эллипсоида

так что

(Ах(/0), Ax(t0)) « сг.

Если затем функции хf(f) оставить внутри области, ограниченной

f*o> *о + х)» в противном случае — неустойчиво.

Само определение устойчивости не содержит конкретных реко­ мендаций по выбору матрицы А. Эта матрица не рассматривается

как наперед заданная. Матрица А, как увидим ниже, вводится в

процессе построения самой теории устойчивости в зависимости от конкретного вида матрицы уравнений возмущенного движения пер­ вого приближения способом, обеспечивающим наибольшие удобства при построении рабочего аппарата исследования устойчивости на конечном интервале.

14.6.3. Основные теоремы об устойчивости и неустойчиво­ сти движения на конечном интервале времени. Рассмотрим в векторно-матричной записи систему дифференциальных уравнений возмущенного движения с выделенной линейной частью:

Здесь вектор-функция h(t, х) удовлетворяет условию h(t, 0) = 0 и, кроме того, предполагается, что функции hj(t, дс), j — 1, 2, ..., п, — элементы столбцовой матрицы h(t, х) разлагаются по целым поло­ жительным степеням Xj и эти разложения начинаются с членов не ниже 2-го порядка. Величины p.j (элементы матрицы Р) представля­

ют собой вещественные, непрерывные и ограниченные функции вре­ мени t, дифференцируемые по t на интервале [f0, Т). Полагая

P(t) = Р0 + AP{t) (Р0 = P(t0)), перепишем уравнение (14.6.5) так:

Г. В. Каменковым доказаны следующие теоремы об устойчиво­ сти и неустойчивости невозмущенного движения (тривиального ре­ шения уравнения (14.6.6)).

Т е о р е м а 14.6Л. Если матрица Р» не имея кратных собствен­

ных значений, имеет только отрицательные собственные значе­ ния или комплексные собственные значения с отрицательными ве­ щественными частями, то невозмущенное движение обладает ус­ тойчивостью на некотором конечном интервале времени.

Т е о р е м а 14.6.2. Если среди собственных значений матрицы Р0 имеется хотя бы одно с положительной вещественной час­

тью, тогда невозмущенное движение не обладает устойчивостью на конечном интервале времени, т.е. т = 0.

ПОНЯТИЕ /^-УСТОЙЧИВОСТИ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В данной и последующих главах излагается теория так называ­ емой Ад-устойчивости. Как увидим ниже, понятие Ад-устойчиво­

сти, в частности, охватывает и те понятия устойчивости, которые рассматривались в предыдущей главе (устойчивости по Ляпунову, техническая устойчивость, устойчивость на конечном интервале по Г. В. Каменкову и др.). Это позволяет, построив в начале основы теории Ад-устойчивости со всеми теоремами об устойчивости и не­

устойчивости, приложить эти результаты к понятиям устойчивости

виных формулировках.

§15.1. Построение области допустимых состояний

иопределение понятия устойчивости

Пусть со(t) — некоторая положительная функция и <o(t0) = <о0. Введем в рассмотрение класс Ад п х /г-матриц G(t) = (Gv ..Gn) над полем комплексных чисел, удовлетворяющих на интервале [tQ,T), где Т — число, превосходящее tQ, или символ °°, условиям:

Предполагая, что возмущения (отклонения параметров возму­ щенного движения от параметров невозмущенного движения) пред­

[f0, Т) определим следующим образом.

стоянной матрицей G0 класса К%о} что при достаточно малом р > 0 любое возмущение x(t), начальное значение х0 = x(f0) которого удовлетворяет условию

то невозмущенное движение устойчиво на интервале [tQ, 71), в про­

тивном случае — неустойчиво. ■ Имеющееся в данном определении дополнительное ограничение

множества допустимых матриц условием G(t0) = G0 является суще­ ственным в случае Т < <». Без такого ограничения в постановке зада­ чи оставалась бы слишком большая произвольность, что в свою оче­ редь привело бы к чрезмерно широким границам устойчивости с рис­ ком потери практического смысла в понятии устойчивости.

В то же время в случае неограниченного интервала [г0, оо) рас­

ширение множества допустимых матриц за счет снятия ограниче­ ния G(t0) — G0 не наносит ущерба содержательности понятия ус­

тойчивости, и оно может быть определено так.

О п р е д е л е н и е 15.1.2. Если в заданном классе К% существует такая матрица G(t), что при достаточно малом р > 0 любое возму­ щение х(/0), начальное значение х0 = x(t0) которого удовлетворя­

ет условию (GQ1*0, GQ'XQ) «s р2 на интервале [г0, «), удовлетворяет условию

(G~l(t)xy G~l(t)x)< р2,

то невозмущенное движение устойчиво на интервале [ , <»). В про­

тивном случае — неустойчиво. ■ Понятие асимптотической устойчивости определяется следую­

обладают свойством lim||jc(2)|| = 0. ■

^—►<30