книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfДокажем некоторые вспомогательные предложения, позволяю щие установить связь между устойчивостью по Ляпунову и ^ - у с
тойчивостью на неограниченном интервале времени.
Л емм а 18.2.1. Если a(t)-функция, ограниченная на [t0, »), и
существует хоть одно решение системы (18.2.1), неограниченное на [?0, «) С [а, оо), то невозмущенное движение (тривиальное ре
шение системы (18.2.1)) не обладает К^-устойчивостыо на про межутке [/0, оо).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть система (18.2.1) имеет решение £(*)» удовлетворяющее условию
(С-Ч<о)!«о), О-'Оо)У(о)) S Р2,
гд.е (?(/) — некоторая матрица класса Кд, а р> 0 и это решение не ограничено на [f0, оо), т.е.
lim ||£(*)|| = <»• |
(18.2.4) |
(-*оа
Вдоль этого решения }*(/) для положительно-определенной эрмито вой формы
v(t, х) = (H(i)x, х), |
я(<) = ((Г ‘(0)*С"Ч0 |
|
|||
будем иметь |
|
|
|
|
|
ГО, КО) г (^„("(ОШОИ1^ |
HWOII1. |
(18'г5) |
|||
где цт1п(Я (0) |
— минимальное собственное значение матрицы Н. |
||||
Используя |
оценку |
(#(*)) > 1/V2CB собственных |
значений |
||
эрмитовой матрицы H(t), из (18.2.5) в силу (18.2.4) |
получаем |
||||
lim V(t, |(/)) = |
что |
и доказывает лемму. ■ |
|
||
(-+GQ |
|
|
|
|
|
Л ем м а 18.2.2. Пусть m(t) |
— ограниченная функция и невоз |
||||
мущенное движение (тривиальное решение уравнения (18.2.1)) IC^-устойчиво. Тогда каждое решение x(t) системы (18.2.1) огра ничено на [*, оо).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из ^-устойчивости невозмущенного дви жения следует, что в заданном классе Хд существует такая матри
ца G(t), что при достаточно малом р> 0 любое решение х(t) сис темы (18.2.1), удовлетворяющее при t = tQусловию
Матрица A(t) представляется в виде |
|
||||
|
|
|
А = (А'"1) '* - 1, |
(18.2.12) |
|
где X — решение матричного уравнения |
|
||||
|
d X |
=/>(/)*, |
X(t0) = EH. |
(18.2.13) |
|
|
^ |
||||
Здесь P(t) |
t —b |
|
|
|
|
= —— Еп. В соответствии с (18.2.11) имеем |
|||||
|
X(t) = |
|
exp (it-b)2 |
Е... |
|
|
|
|
2а2 |
2о2 /. |
|
Рассмотрим частное решение системы (18.2.10) |
|||||
|
x°(t) |
= ^ ехр |
(t—b)2 |
(18.2.14) |
|
|
2о2 |
||||
|
|
|
|
|
|
с начальным значением
*°('0) = £ехр
«о-*>2 2а2
Пусть G(l) — произвольная матрица из класса К%, определяющая рш-трубку
v{u х) = (H(t)x, х) = р\ |
H(t) = (c - 1(0 )’G-,(0. |
Имеем оценку
V(t, |
х ) < ||Я ( 0 Н ^ е х р |
(t-b)2 |
|
Постоянную с в решении (18.2.14) определим ограничением
|с| «(||Я((0)||п) - = с х р 1 ^ .
Тогда вдоль рассматриваемого решения при t = /0 получим
(tQ-b)2
V(t0, x(t0)) ^ ||Я(Г0)||пр2ст2(||Я (/0)||л) ехр
а, например, когда t = b,
Таким образом, в окрестности точки / = b функция V(t, я) может принимать значения, превосходящие р2, что свидетельствует о Кд-
неустойчивости решения, хотя на [*0, ») все решения рассматрива емой системы ограничены. Этот пример показывает, что система, устойчивая по Ляпунову, может не обладать свойством Кд-устой-
чивости.
Пусть теперь со(t) — ограниченная положительная функция и со(*0) < со0. Предположим, что система (18.2.1) устойчива на [*0, »)
(Ад-устойчива). Значит, в заданном классе К% существует такая матрица G(t), что при достаточно малом р> 0 любое решение х({) системы (18.2.1), начальное значение х0 = x(t0) которого удовлетво ряет условию
(G-'(<0)*„, ( Г ‘(10)*о)*Р2 |
(18.2.15) |
при всех t > *0, удовлетворяет условию
(G“1(0^(t), G~l(t)x(t)) ss р2. |
(18.2.16) |
Обозначая (G“1(/))*G_1(0 = H(t), из (18.2.16) в силу неравенств
,Sto(tf(0)JI*(r)ll2« W O * . *) < iw ( " ( 0 ) l l * ( 0 l l 2
имеем при всех t > t0 неравенство pmin(tf(f))||*(0ll2< Р2 Отсюда в силу неравенства pmin(# (/)) ^ 1/V2co0 для всех t> t0 имеем нера венство
11*0)11 <е. |
(18.2.17) |
где число е > VV2co0p при соответствующем выборе произвольного достаточно малого числа р можем сделать достаточно малым. При р < е/ V2O)0 из неравенства
P«inW'o))ll*(*o)l!2<P2
следует неравенство
11*0Ь)11<а. (18.2.18)
Неравенства (18.2.17) и (18.2.18) доказывают устойчивость си стемы (18.2.1) по Ляпунову.
Результаты настоящего параграфа можно оформить в следую щую теорему.
Т еорем а 18.2.1. Если невозмущенное движение (тривиальное решение уравнений возмущенного движения) обладает К^-устой-
чивостью, то оно устойчиво и в смысле Ляпунова. Обратное име ет место не всегда.
= ( l T l(t)x, J T l(t)x), |
где |
K(t) = (K^t) K2(t) ... Kn(t)) — мат |
|||
рица, столбцы которой имеют одинаковую эрмитову норму: |
|||||
I W I I - V T ^ - a d ) |
(0<f<oo, |
1 = 1,2,..., п). |
|||
Введем в рассмотрение рш-трубку |
G~l(t)x) = р2, где |
||||
G(t) = |
(<o(t)/a(t))K(t). Легко видеть, что G(t) С /С£. |
||||
Пусть теперь JC°(0 |
|
t < «>) — какое-нибудь нетривиальное |
|||
решение системы (18.3.1), удовлетворяющее соотношению |
|||||
|
« ? - '(i0)* V o ) . с - ' е д Л ' о ) ) « |
?г. |
|||
Вдоль |
этого решения |
в |
силу |
(18.3.4) имеем V(i, *“(0) ^ |
|
$ V(tQi x°(t0)). Поэтому, принимая во внимание условия (18.3.3),
получаем для всех t > t0 |
|
|
(G~l(t)x°(t), G -40^°(0) ^ |
|
|
^ aHt) |
V{u *°(0) |
V(t0, x*(t0))< p2, |
^ co2(/) |
что и доказывает теорему. ■ З а м е ч а н и е 18.3.1. Применительно к системе (18.3.1) извест
ная теорема Ляпунова об устойчивости движения формулируется так.
Т е о р е м а Л я п у н о в а (об устойчивости). Если для диффе ренциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противопо ложного знака с V или тождественно равна нулю, то невозму щенное движение устойчиво.
Легко видеть, что теорема 18.3.1 и теорема Ляпунова идентич ны. В теореме 18.3.1 лишь несколько сужен класс функций Ляпу нова, привлекаемых для исследования устойчивости с детализа цией, использующей скелетное разложение эрмитовой матрицы, что делает эту теорему более конструктивной.
В случае, когда заданная функция со(<) ограничена на [*0, <»),
имеет место следующая Т е о р е м а 18.3.2 (об асимптотической устойчивости). Пусть су
ществует положительно-определенная эрмитова форма V(ty х) = = х*A(t)x, допускающая бесконечно малый высший предел при х - * 0 и имеющая отрицательно-определенную производную по t в силу системы (18.3.1), и, кроме того, функция a(t) в разложении
матрицы A(t) по теореме оскелетном разложении эрмитовой мат рицы удовлетворяет условию
в(0 ^ |
аМ |
(18.3.5) |
|
а (t0) ^ |
«(/0)’ |
||
|
причем со(/) < со0 < оо. Тогда тривиальное решение x(t) sO систе мы (18.3.1) асимптотически устойчиво на [f0, оо).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме (18.3.1), тривиальное решение системы (18.3.1) устойчиво на {*0,<»). Из устойчивости
тривиального решения x(t) sO системы (18.3.1) следует существо вание такой матрицы G(t) Е К%, что при достаточно малом р > 0 все решения x(t) системы (18.3.1), удовлетворяющие условию
G-'VJxOo» <Р2.
при всех t > iQудовлетворяют условию
( t r 4 0 x ( 0 . G - ' ( 0 * W ) s p 2-
Остается показать, что для каждого нетривиального решения х° = x°(t) системы (18.3.1), удовлетворяющего условию
(G -'(l0)*4<o)> С-‘(<оК('о)) « Р2. |
(18.3.6) |
при достаточно малом р0 > 0 выполняется соотношение |
|
lim ||х°(ОИ — 0. |
(18.3.7) |
/ноо |
|
Величина р0 может быть выбрана настолько малой, что при усло вии (18.3.6) будет иметь место и соотношение
|
(G~‘(l)x”(0> |
« Р2 |
при всех |
t > tQ. При ограниченной o>(f) гарантируется ограничен |
|
ность x°(t) на [Г0, «»), так что |
||л:о(011 < Л< оо. |
|
Дальнейшие рассуждения с целью доказательства соотношения |
||
(18.3.7) |
проведены по известной схеме, используемой при доказа |
|
тельстве теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости (см., например, (87J).
По условиям теоремы при ||дс|| Ф О |
|
V(U х) = x*A(t)x Ss Ж(х) > О, |
(18.3.8) |
V{U х -И ^О О сО , |
(18.3.9) |
где W(x) и Wx(x) — некоторые положительно-определенные фор мы. Тогда функция V(t, x(t)) — монотонно убывающая и, будучи ограниченной снизу, имеет конечный предел
V(t, х°(0) = V(ty x°(t)) = v > 0. (18.3.10)
Покажем, что v не может быть положительным. Предположим, что
v> 0. Тогда наше решение x°(t) |
удовлетворяет равенству |
|
11*4011 |
(*е[*0,°°))> |
(18.3.11) |
где |3 — положительная постоянная, т.е. траектория этого решения вне сферы радиуса (3. В самом деле, в противном случае существовала бы последовательность tx, ..., tk, ... такая, что lim x°(tk) = 0, а это при t -* Т < оо приводит к тождеству х°(0 = 0, противоречащему на шему предположению о том, что x°(f) — нетривиальное решение си стемы (18.3.1), В силу существования бесконечно малого высшего предела функции V(f, х) при л - » 0 имеем lim V(tk>х°(гк)) = 0, что при v > 0 противоречит (18,3.10), так как, если v есть предел функ ции V(t) = V(t, x°(t)) при t-* а», то для любой последовательности tk-* оо должно быть выполнено условие V(tk) v.
Итак, в случае v > 0 имеет место неравенство |
(18.3.11). Обоз |
начим |
(18.3.12) |
у = inf ^ ( ^ > 0 . |
|
NIUHft |
|
Тогда, интегрируя неравенство (18.3.9) в пределах от *0 до t и учи тывая, что |3< ||лсг°(т)|| h при tQ^ x K t , будем иметь
|
t |
v(l) = V(t„) - $ Wt(x)dx |
|
или, так как |
|
^ i ( 0 < - Y < 0 |
( М И *(0Н < А), |
(18.3.13)
Из неравенства (18.3.13) следует, что при г, достаточно большом, V(t, x°(t)) < 0, что противоречит положительности функции
V(t, х). Итак,
v = lim V(t, |
x'(t)) = 0 . |
(18.3.14) |
|
|
00 |
|
|
Покажем теперь, что |
||дс°(^)|| |
0 при /-*«>. |
Действительно, |
пусть е > О произвольно мало и |
|
|
|
/ = |
inf |
W(x) > 0. |
(18.3.15) |
Из |
(18.3.14) следует, |
что существует момент T > t 0 такой, что |
|
V(T, х°(Т)) < I. Отсюда, в силу монотонного убывания функции |
|||
V(t, x(t)), получаем при l > Т |
|
||
|
|
V(t,xe( t ) ) < l , |
(18.3.16) |
и, следовательно, ||хв(0|| < е при t > Т, |
|
||
|
Действительно, если для некоторого момента tx> Т выполняет |
||
ся |
противоположное |
неравенство ||х‘(£|)|| > е, |
то> учитывая |
(18.3.15), (18.3.16), мы имели бы V(t, xe(/t)) > Ж(дсв(/,)) > I, что,
очевидно, невозможно. |
Итак, на |
основании |
(18.3.16) имеем |
lim ||jc*(OII = 0 , что и требовалось доказать. ■ |
|
||
(-+VO |
|
|
|
З а м е ч а н и е 18.3.2. |
Нетрудно |
видеть, что |
приведенная те |
орема 18.3.2 (об асимптотической устойчивости) вполне согласу
ется с известной теоремой |
Ляпунова, которая |
формулируется |
так. |
(об асимптотической |
устойчивости). |
Т е о р е м а Л я п у н о в а |
Пусть для системы (18.3.1) существует положительно-опреде ленная функция V, допускающая бесконечно малый высший предел при х —*• 0 и имеющая отрицательно-определенную полную произ
водную V в |
силу этой системы. |
Тогда тривиальное |
решение |
|||
х = 0 системы асимптотически устойчиво по Ляпунову. |
||||||
Т е о р е м а 18.3.3 (о неустойчивости). Если для любой матрицы |
||||||
G(t) из класса |
К% производная |
по |
1 от функции |
V(t,x) = |
||
= (G~l(f)x, G~l(f)x) |
в силу системы |
(18.3.1) обладает таким |
||||
свойством, |
что |
при |
некотором |
tx> t0 в любой окрестности |
||
||дг|| < I (I ^ h < z) найдется точка |
.т(/1), где К(/,, *(<,)) > 0. то |
|||||
тривиальное |
решение |
х = 0 системы |
(18.3.1) неустойчиво на |
|||
К*)•
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (7(0 € К% — произвольная матри
ца класса К%. Тогда функция |
|
V(t, х(0) = (G~'(t)x(t), <Г*(0*(0) |
(18.3.17). |
является положительно-определенной эрмитовой формой.Пусть при некотором tx> tQв любой окрестности ||.т|| < / (/ < h < z < °°) най
дется точка ((,, *((,)), где полная производная по t от формы V(t, x(t)), вычисленная в силу системы (18.3.1), удовлетворяет не равенству V((, *(/,)) > 0. В силу непрерывности формы K(f, ,т(0) следует существование такого интервала [/,, t{ 4- А/), где выполня
ется неравенство V(t, x(t)) > 0 |
(/t ^ t < + А/)- В силу этого на |
|/,, /[ + ДО имеем V(t, х(0) > |
V(tv *((,)). |
Если в области ||jt|| < / некоторое решение системы (18.3.1) удовлетворяет условию V(tv x(tx)) ^ р2, то это решение на интер вале [/j, tx + Д /) будет удовлетворять неравенству V(tx>x(t) ) > р2,
что и доказывает теорему. ■ Имеет место более сильная
Т е о р е м а 18.3.4 (о неустойчивости). Если полная производ ная по t любой положительно-определенной эрмитовой формы V(t, х) = x*A(t)x, где
^ Е ^ Г ,(0 = « 2 |
(18.3.18) |
i=1 |
|
( ^ ( 0 — собственное значение эрмитовой матрицы Л({)) в силу системы (18.3.1) в области ||x(f)|| ^ h< z имеет вид
=XV(t, х ) + W(t, х), |
(18.3.19) |
где к — положительная постоянная, a W (t, х) или тождествен но обращается в нуль или — знакоопределенная функция, то тривиальное решение х = 0 системы (18.3.1) неустойчиво.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Эрмитова форма V(t, х) = х*Ах при ус
ловии (18.3.18) определяет рш-трубку |
|
|
V(t, х) я (G~l(t)x, G~l(t)x) *5 р2, |
(18.3.20) |
|
где G — матрица, такая, что ( С _ ,( 0 ) * ^ ~ 1 ( 0 = |
МО*а |
р — произ |
вольное достаточно малое число такое, что |
р2< h2/V2a>. Из |
|
(18.3.19) получаем |
|
|
|
|
<18-3-21) |
Выберем начальное значение x(tQ) решения x(t) системы (18.3.1) таким образом, чтобы
*4*0' *(*о» <Р2 |
(18.3.22) |
Так как 11,(0 > l/V2co на [f0, <»), то из (18.3.22) имеем ||JC(0II Ь, где 6 = V2co — сколь угодно малое положительное число.
Покажем, что это решение необходимо покидает в некоторый момент времени рш-трубку (18.3.20), т.е. в некоторый момент вре
мени /] вдоль тривиального решения x(t) выполняется неравенство
V(h* х 0 0 ) = > Р2-