книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Введенное выше понятие устойчивости, по существу, является понятием устойчивости относительно заданной области предельных отклонений на заданном промежутке времени Д = [/0, Т), геомет­

рия которой, как увидим далее, в значительной мере определяется заданной функцией со(/). Мы будем называть устойчивость в этом смысле Кд-ycmойчивостьго.

§15.2. Геометрический смысл понятия /^-устойчивости

Влевой части соотношения (15.1.2) стоит эрмитова норма коор­ динат ,vt, л2, хп, которая при любом х принимает только веще­

ственные неотрицательные значения. Геометрически соотношение (15.1.2) в пространстве координат х1, х2, хп при каждом фикси­

рованном / представляет собой д-мерный эллипсоид, ограниченный поверхностью

P2 = (G-l(t)Ga(t)s, G-\t)G0{t)s) = s2.

Отсюда s = ±р, так как G lGa есть столбцовая матрица, у которой

j - й элемент равен единице, а все остальные равны нулю. Точки пе­ ресечения этих лучей с поверхностью (15.2.1) находятся от начала координат (х = 0) на расстоянии рш= сор.

В самом деле, полагая, например, s= ±р, имеем

учитывая, что ||G?cf(/)|| = со. Рассмотрим плоскость х = (G;, Gj)s

s = порожденную парой (7t, Gj столбцов матрицы G. Найдем si

линию пересечения этой плоскости с поверхностью (15.2.1). Под­ ставим в (15.2.1) вместо х значение (С?,, Gj)s\

(G-'x, G-'x) = (G-l(0„ Gj)s, C-‘(G„ Gj)s) = p2

Положим

представляет собой матрицу с двумя столбцами, причем у первого столбца i-й элемент, а у второго столбца j-й элемент равны едини­ це, остальные же элементы этих столбцов равны нулю, т.е. имеем

Таким образом, линия пересечения выделенной плоскости с эллипсо­ идом (15.2.1) представляет собой эллипс, описываемый уравнением

Найдем еще точки эллипсоида (15.2.2), экстремально удален­ ные от начала координат. Это, очевидно, те точки, в кото'рых s^j — max, min. Введем вспомогательную функцию: vp = SjSj +

+ ' \ ( s } + s 2):

Отсюда

s2 = 4 X2sf, sj — 4 \ 2s2.

Складывая последние равенства и учитывая, что sj + s2= р2, полу­

чим 4 X2 = I, т.е. X= ±-^.

При X= —^ имеем s. —Sj = 0. Отсюда s: = Sj и далее 2sj = р2,

V2 г .

что приводит к следующим значениям s( и sy — Sj = -у Р* Ь со­ ответствии с этим

/У2 ’

T P

max, min (G, Gj) V2 (Gi + Gy)P*

T P

При X = ^ имеем s, + = 0, т.е. s-t = —Sj.

Итак, вершинами эллипса (15,2.2) служат точки ±(V2/2)x X (G,. ± G^. Диагонали прямоугольника, описанного вокруг эллип­ са (15.2.2), направлены по лучам

На основании вышеизложенного можно утверждать следующее. Лучи GjS и расположены симметрично относительно главных

осей эллипса (15.2.2) и направлены по диагоналям прямоугольни­ ка, стороны которого касаются эллипса (15.2.2) в его вершинах

±(vT/2)(Gj±Gy).

15.2.1. Определение диаметра области (15.2.1). Пусть

nyctb K = G l. Тогда при замене переменных х = К"1у имеем

где / .. = К] Кj — скаляры. С целью определения диаметра области (15.2.1) составим вспомогательную функцию

Отсюда имеем

%г = 1 у, - Ъ , = о 0 = 1 . 2

J i=1

Умножая каждое из полученных равенств на yi и складывая, будем иметь

или

>, У= •

Отсюда находим

2 ЛуУ,Уу = V »

/,У =1

и потому для экстремальных значений ||х||2 имеем ||х||2 = Хр2 и, значит,

Линейная однородная система (15.2.5) имеет ненулевое реше­ ние лишь при условии, что X является корнем характеристического многочлена \ J C K - ХЕ\ или, другими словами, является собствен­ ным значением матрицы 1 C К.

Таким образом, наибольший и наименьший диаметры области

где Xmax, Amin — соответственно максимальное и минимальное соб­

ственные значения матрицы К*К. Полуоси эллипсоида (15.2.1) определяются формулой

где Xj — собственные значения матрицы 1C К.

З а м е ч а н и е 15.2.1. Формула (15.2.9) определяет диаметры области (15.2.1) через собстпенлмс значения матрицы К'К. Интересно получить выражения диамет­

ров области (15.2.1) через матрицу (СГ^'СГ1 эрмитовой формы (СГЧт, G~1.r). Мат­ рица этой формы Л = (G-1)*^-1 связана с матрицей К'К соотношением

(СГ'Гб*-1 = ( /Г Т /Г 1 = = (/(/Г )-1.

Па основании полученного соотношения получаем следующее заключение. Если Хр Х2, • Хл — собственные значения матрицы JCK, то собственными значениями

матрицы Л служат числа 1/Хг 1 1/Х^; при этом матрица К*К, как матрица, эр­

митово-сопряженная матрице КК*> имеет своими собственными значениями сопря­

пряженной матрицы К’К являются вещественными числами, т.е. Х; = Ху, получаем окончательно следующие выражения для параметров области (15,2.1):

где ^min и ^тач — соответственно минимальное Vi максимальное собственные значе­ ния матрицы A = (Gr l)mGri эрмитовой формы (Сг1дс,(Г1д:).

Общее выражение полуосей эллипсоида (15.2.1) через собствен­

где [л — собственное значение матрицы А.

Итак, в (п + 1)-мерном пространстве координат х,, х2>..., хп и

времени t равенство (15.2.1) определяет некоторую трубку (назо­ вем ее р^-трубкой),

ориентация главных осей этого эллипсоида может меняться произ­ вольно и сами оси могут деформироваться (т.е. могут меняться раз­ меры полуосей). При этом строго определенные значения, равные

(o(jf)p, принимает расстояние от начала координат до любой из точек пересечения с поверхностью эллипсоида всех лучей ± £?в(0£» в час­ тности, при to = const это расстояние остается неизменным.

На основании вышеизложенного возможно следующее геомет­ рическое толкование понятия Кд-устойчивости. Невозмущенное движение считается устойчивым на заданном промежутке [/0, Г), если существует такая р^-трубка, пределы которой при t0**t < Т

не покидает ни одно из тех возмущений х(/), которые в начальный момент времени tQ находились внутри или на поверхности этой трубки. Если же такой рю-трубки не существует, то движение не­ устойчиво.

§ 15.3. О методе исследования 2Сд-устойчивости

Основным методом исследования .Кд-устойчивости, как и в тео­

рии Ляпунова, является метод функций Ляпунова (второй или пря­ мой метод Ляпунова), состоящий в том, что задача сводится к оты­ сканию некоторых функций переменных i, х1? х2, . х п (функций

Ляпунова), полные производные которых в силу уравнений возму­ щенного движения обладают некоторыми определенными свойства­ ми. Формулировки определений функций, применяемых во втором методе Ляпунова, были приведены выше (см. § 14.1, 14.2).

В теории ^-устойчивости, как увидим ниже, используются и другие функции V(t, х), свойства которых в сочетании со свойства­ ми функций V(t, х) позволяют судить об устойчивости или не­ устойчивости невозмущенного движения, и которые не обладают непременно признаками знакоопределенности или знакопостоянства. Эти функции мы также будем называть функциями Ляпунова.

Приведем основные идеи метода, которыми мы пользуемся при исследовании ^-устойчивости. Область предельных отклонений в

ляет некоторую трубку (рш-трубку), которая при каждом фиксиро­

ванном t в сечении представляет собой л-мерный эллипсоид, огра­ ниченный поверхностью

Невозмущенное движение является устойчивым, если все возмуще­ ния системы, которые при t = /0 находились внутри или на повер­

хности эллипсоида

при V* е [t0>Т) не покидают пределы этой рш-трубки.

Если уравнения возмущенного движения подвергаются некото­

то в новых переменных область предельных отклонений (15.3.1) приобретает вид

Исследование устойчивости чрезвычайно упростится при следу­ ющих условиях:

1°. Если преобразование (15.3.4) приводит к уравнениям возму­ щенного движения более простой структуры (например, к уравне­ ниям, где линейная часть имеет диагональную матрицу);

2°. Если при этом матрица K(t) сама является матрицей класса Л!д, ибо при этом можно, приняв G(t) = K(t), привести выражение области предельных отклонений к чрезвычайно простому виду

После этого остается из уравнения возмущенного движения относи­ тельно у (линейная часть которого имеет диагональную матрицу) получить соответствующее выражение для нормы вектора и иссле­ довать соотношение (15.3.6)..

§ 16.1. О скелетном разложении матриц

Как известно, произвольную прямоугольную т х «-матрицу А ранга г можно представить в виде произведения двух матриц В и С, имеющих соответственно размеры т х г и г х п:

В этом параграфе рассмотрим некоторые подробности, связанные с подобным представлением квадратных матриц, и в частности эрми­ товых матриц. Приведем сначала следующие две леммы о собствен­ ных значениях эрмитовой матрицы (см. [1, с. 371]).

где В — некоторая, вообще говоря, прямоугольная п х т — мат­ рица, необходимо и достаточно, чтобы она не имела отрица­ тельных собственных значений.

ные отношением

где H = ( h l /г2 ... hn) — квадратичная матрица, столбцы кото­ рой обладают свойством

причем выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

а) h^hj — 0 (i ф у; j = 1, 2, ..., it);

б) В — диагональная матрица.

Тогда

Доказательство леммы следует из соотношения

А = £ £ 2 А,Л * А Д- У=1 k=1 г —1

При условии (а)

При условии (б)

С л е д с т в и е 16.1.1. 2? частном случае, когда В — единичная матрица, будем иметь

Л ем м а 16.1.4. Пусть А — вещественная диагональная мат­ рица с диагональными элементами (Ар •••> И-п» удовлетворяю­ щими условию

Тогда имеет место скелетное разложение

где R — квадратная матрица порядка п, столбцы Лх, Rlt ..., Яп которой имеют одинаковую эрмитову норму:

где V — произвольная унитарная матрица, удовлетворяет соотно­ шению (16.1.8). Согласно лемме 16.1.3 имеем

откуда, учитывая также (16.1.4), получаем (16.1.9).

Покажем теперь, что действительно существует такая унитар­ ная матрица V, и даже ортогональная, что построенная в форме (16.1.12) матрица R удовлетворяет условию (16.1.9). Соотношения (16.1.8)—(16.1.10) приводят к следующим равенствам относитель­ но столбцов Vj матрицы V:

Уравнение (16.1.14) в л-мерном вещественном евклидовом про­ странстве описывает конус 2-го порядка. При этом

что является, как известно, необходимым и достаточным условием существования л-мерного угла с попарно ортогональными ребрами, вписанного в конус (16.1.14).

Учитывая это, в качестве V. матрицы V можно принять единич­

ные векторы, направленные по ребрам этого л-гранного угла. Тогда матрица R, определенная формулой (16.1.12), будет обладать свой­ ствами (16.1.8)—(16.1.10).

Утверждение 2 леммы непосредственно следует из выражения