книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfДля дальнейшего представляют интерес те матрицы Ка, кото
рые нужное число раз дифференцируемы на промежутке [О, L). Вопрос о дифференцируемости матрицы Ка тесно связан с диффе
ренцируемостью матрицы Дa(U). Покажем, что матрица Aa(U) —
дифференцируемая на [О, L] по крайней мере столько же раз, сколько раз дифференцируема матрица U(т).
Рассмотрим многочлен с коэффициентами, зависящими от пара метра т:
Д(Х) s l " + а,(х)Х»-‘ + ... + <J„_1(T)X+ e„(t). (9-1-7)
Допустим, что корни этого многочлена, не обязательно все разные, разбиты каким-нибудь образом на две группы: Я р ,..., я р и
Я^\ ..., Яр. В соответствии с этим многочлен Д(Я) можно предста вить в виде
Д(Я) - Д1(Я)Д2(Я), |
(9.1.8) |
где А!(Я) — многочлен степени k с корнями Я р ,..., Яр, а А2(Я) —
многочлен степени т с корнями Я р ,..., Яр. Пусть
А^Я) э Я Ч а ^ х )^ "1+ ... + аА_1(т)Я +а4(т), |
^ |
|||
Д2(Я) = Я» + р1(т)Я*-1+ ... +рт _1(т)Я + Рт(^ |
|
|||
Имеет место следующая |
|
|
|
|
Л ем м а 9.1.1. Если на промежутке [О, L] |
являют |
|||
1) коэффициенты ау (у = 1, ..., п) многочлена А(Я) |
||||
ся I раз дифференцируемыми функциями от %(12* 1) и |
|
|||
2) |Я р (т )-Я р (т )| |
> 0 |
(/= 1 , |
у = 1,..., т), |
(9.1.10) |
то коэффициенты aj |
(у = |
1,..., к) |
и |Зу- (у = 1,..., т) многочле |
|
нов ДА(Я) и Д2(Я) являются по крайней мере I раз дифференци руемыми на [0, Ь\ функциями от т.
Для доказательства леммы подставим многочлены (9.1.9) в ра венство (9.1.8) и приравняем коэффициенты при одинаковых сте пенях Я. Получим
<Pi = |
° i "Ь Pi — ai “ |
О» |
|
|
= |
^2 ”Н |
■+* Р2 |
a>i —0, |
|
Ф3 — а3 + а2^1 + а102 + Рз ~ а3 — |
(9.1.11) |
|||
Фп —1— |
-1 |
- l^m ^n-1 |
|
|
fn S aAn - |
e« = °* |
|
||
а Ка, Аа, м а, Л — матрицы типа соответственно п х к0, ка X ка, к0Х п, и х п, представляемые формальными рядами
« во
е) = 2 |
(f), Аа(т, е) = 2 e*Aj*] (х), |
к = 0 |
к=*0 |
|
(9.2.6) |
00 |
во |
М„(т, е) = 2 |
й(т, t) = £ |
А=0 |
* =0 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим выражение (9.2.4) в (9.2.1) и используем при этом равенства (9.2.5):
М'* Е) = 2 [е *"7 ^' Е" Уо + |
E)Aa(t, t)ya + |
о = 1 L
+ *„(т, Е)М„(т, е)Л(х, е)/(1, т, е)] =
= В(*>E)S *о(Т>Е)Уа + /(<. «)• а=1
В полученном равенстве приравняем нулю отдельно коэффициенты при уа (о — 1, 2,...» р) и свободнй член. Будем иметь
+ Ка(т, е)Л0(х, е)] = |
^(х, е)£ с(х, е) |
|
(о = 1 ,..., р), |
|
(9.2.7) |
|
|
|
А(х, е)2 Ка(г, е)А/а(х, е)Д(х, б) - £ „ |
/(Г, х, б)= 0 . |
(9.2.8) |
о- 1 |
|
|
Для доказательства теоремы можно показать возможность по строения членов рядов (9.2.6), удовлетворяющих равенствам (9.2.7) и (9.2.8). Займемся сначала равенствами (9.2.7), Подставим в эти равенства ряды (9.2.2) и (9.2.6) и отделим коэффициенты при одинаковых степенях б. Получим
к - 1 к к - у
2 л м |
dx |
/ = 0 |
|
v = 0 |
|
|
к |
|
= |
2 Ду.(т )4 * -'Ч 0 |
(сг = 1,.... р; /t = 0 ,1 .2 ,...)- (9.2.9) |
|
У-о |
|
Равенства (9.2.9) умножим слева на А0-1 и, учитывая, что
А ^ 1В0 = U, представим их в виде
U (r)K W (x ) = |
КМ (т)АМ (т) + 2 А1*-Л(х)Л*Л(т) + |
|
||||||
|
|
|
|
У- |
1 |
|
|
|
+ V |
W 2 |
[A - .W |
|
------- + |
|
|
||
J t - v |
|
|
|
|
|
(сг= 1 ,...,р ; * = 0, 1, 2, ...)"■. |
||
+ 2 |
А ,(т)Л « -’ ->| (т)Л'Л(х) |
|||||||
/"О |
|
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, обозначив |
|
|
|
|
|
|
||
4 * '" ( * ) |
= 2 |
4 * " Л(*)Л1Л(*) + |
|
|
|
|||
|
;=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jk-vr |
rfK!*_v,(t) |
|
|
|||
+ |
Л )" |
*(х)2 |
|
Л -1 (*) |
rft |
- Bv(t)/C'‘ - y|(x) + |
|
|
|
|
y=0L |
|
|
|
|
||
|
Jfc - |
V |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
А ( х ) ^ _ ,_ л (х)Л“ (х) |
( o = l .........P ) . |
(9.2.10) |
||||
|
У-О |
|
|
|
|
|
|
|
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/(т)Х«>'(т) = |
4 |
0|(т)Л101(х), |
|
|||
1/(т)4«(т) = |
4 “ (x )4 0l(t) + 4»'(х)Л ^(х) + 4 * '" ( х ) |
(9.2.11) |
||||||
|
|
|
(аг = 1, ..., р; |
к = 1 ,2 ,...). |
|
|||
Пусть К = (К 1(т) |
|
УСр(т)) — |
матрица, преобразующая при |
|||||
условии (9.2.3) квадратную матрицу U к квазидиагональному |
||||||||
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/Л,(т) |
0 |
\ |
|
|
Л(т) =
Ол »
идифференцируемая столько же раз, сколько раз дифференцируе ма матрица U.
к
* При к < г, нужно принять
Первое из равенств (9.2.11) будет выполняться тождественно, если принять
/Ci01(x) гг Ка(т), Ai0,(x) = А0(х) (cr= 1 , р). (9.2Л2) В самом деле, используя равенства (9.1.2) и (9.1.3), имеем
|
V |
|
|
t/K '0' = UKa = 2 |
KSASMSK. = К„А0 = х«ял*я. |
|
5 = 1 |
|
Пусть |
Ai°J, |
К1ак~1], Aj*-11 уже найдены. При этом |
jrjU-i] будет известной матрицей. Определим К.]® и Л ^1. Умно жим равенство (9.2.11) слева на М. Получим
AQj,*1= Q[ak] Аа + MKaA ak]l + MD[k~1]. |
(9.2.13) |
Здесь |
|
Q W = MK[k]. |
(9.2.14) |
Матрицу Q\jk\ состоящую из п строк и ка столбцов, коагулируем (разобьем на блоки) следующим образом:
Q i«=col(Q |JI е ^ 1).
где Q\kJ = М '.К ^ — субматрица типа ks х ка. Так как Л имеет
квазидиагональную структуру, то равенство (9.2.13) распадается на р независимых матричных равенств:
A.QlS1= е ‘*'Л0 + М, КаА |
( s = 1, .... л). |
||
Отсюда, принимая во внимание равенства (9.1.3), получаем |
|||
A0Q'*I = <Ж'Л, + ЛШ + М0л1‘ -Ч, |
(9.2.15) |
||
AjQj*1= |
+ MsDlJ- ~11 |
(s * a ) . |
(9.2.16) |
Из (9.2.15) непосредственно находим |
|
|
|
л'*1= к< $ $ - |
e i‘'A0- |
|
(9-2Л7> |
Здесь Q[ak] — произвольная, достаточное число раз дифференциру
емая матрица порядка ка. В частности, можно принять |
= 0. |
Остальные субматрицы матрицы Qlak] однозначно определяются
алгебраическими соотношениями (9.2.16), ибо в этих матричных равенствах A s и Aa (s ет) не имеют общих собственных значений
(согласно лемме 8.7.1).
