книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfреализует полное расщепление системы (8.6.7), а именно приводит ее к виду
dz
= K zia + г р м 0л (cr= 1, 2, ..., р; i = 1, 2, ..., *0).
Чтобы удовлетворялось и начальное условие для исходного век тора х , решение г должно удовлетворять соотношению
|
*(f0) = |
*Х(*о)2(*о) = с» |
|
т.е. z(t0) = |
x Ч '0)Мс- |
|
|
8.6.5. |
Расщепление |
сопряженной |
системы. Биортогональ |
ность. Рассмотрим однородную сопряженную систему |
|||
|
i t = -[Г у. |
(8.6.15) |
|
Пусть по-прежнему собственные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (8.6.1). Пусть X — фундаментальная матрица од нородной системы dxf dt = Ux, a У— фундаментальная матрица со пряженной системы (8.6.15). Мы знаем, что Т Х = const, в частности,
У Х = Е . |
(8.6.16) |
В силу соотношений (8.6.6) и (8.6.8) при Л = О имеем X = К ^ , где
'Л, 0 '
К = ( К { ... Кр]),
0
\
Из (8.6.16) находим
У = (Х*)~1= (е^ЧС)'1= (/Г 1)%ГЛ\
или У = М*е~А *. Учитывая, что М* = (М\ |
м р , имеем |
У= 2 Ке~л'°'-
0=1
Наконец, e_/V является фундаментальной матрицей подсистемы с номером а системы
~ |
Л * г 0 |
(<т = 1, 2 , . . . , р ) . |
(8.6.17) |
Из вышеизложенного следует, что замена переменных
У = '2 K za
О » 1
преобразует сопряженную систему (8.6.15) к расщепленной систе ме (8.6.17).
Две системы векторов alt а2, |
bv bv ... называются биорто- |
гональными, если |
|
(а,, Ь}) = Ь)а; = 0 |
|
Назовем системы матриц Av Av ... и Bv Bv ... биортогональными, если B’jA. = 0 (/ ^ у).
Таким образом, фундаментальные матрицы решений системы од нородных дифференциальных уравнений и соответствующей сопря женной системы представляются посредством двух систем биортого-
нальных матриц Klt К2, ..., Кр и Mv М2, ..., Мр. |
|
||
§ 8.7. Теория возмущений |
|
|
|
Здесь рассматривается уравнение |
|
|
|
|
= (А + вВ)х + h(t), |
дс(/0) = с, |
(8.7.1) |
где А и В — постоянные матрицы, а е — некоторый (малый) па |
|||
раметр. |
|
|
|
8.7.1. |
Метод последовательных |
приближений для однород |
|
ной системы. Применяя формально метод вариации произвольных |
|||
постоянных к уравнению (8.7.1) при h(t) = 0, получаем |
|
||
|
t |
|
|
|
x(t) = еА(<_Vc + ej eA^ ~ s^Bx(s)ds. |
(8.7.2) |
|
Интегральное уравнение (8.7.2) (типа Вольтерра) можно решить методом последовательных приближений. Будем иметь
x (0)= e A ( t - t a)Ct |
t |
jf O ) = eMt - t^c _j_ g J eA{i - s)gcA(s - tjtfg c |
и т.д. Отсюда последовательно могут быть определены хР\ х^1\ ..., представляющие собой приближенные решения однородной систе мы (8.7.1). Эта последовательность, как легко доказать, сходящая ся.
Заметим, что построение каждого нового приближения связано с необходимостью вычисле интеграла от некоторой матрицы,
8.7.2. О решении одного матричного уравнения. Основная лемма. Рассмотрим матричное уравнение
АХ = ХВ -f- С, |
(8.7.3) |
где X — прямоугольная матрица типа и х л, А и В — квадратные матрицы порядков т и п соответственно, С — т х п-матрица.
Л е м м а 8.7.1 (основ ная лемма). Если матрицы А и В не имеют общего собственного значения, то уравнение (8.7.3) име ет единственное решение X.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть / Аи J B — жордановы формы мат риц А и В, так что
А = T J AT ~ \ B = S J BS ~ \ |
(8.7.4) |
где Т и S — невырожденные матрицы порядков т и п |
соответст |
венно. Подставляя (8.7.4) в (8.7.3), получаем |
|
ZJB + T~lCS, |
(8.7.5) |
II ч |
>< |
(8.7.6)
предполагая, что уа — решения уравнений |
|
- j f = & aya (о = 1 , ... ,р ), |
(8.7.13) |
0*0
а постоянные матрицы Ка, Аа представлены формальными рядами
*=0 |
А=О |
(8.7.14) |
|
||
Подставим (8.7.12) в однородное уравнение (8.7.1) и исключим |
||
d y j d t с помощью равенств (8.7.13). Получим |
|
|
2 К к у . - ( л + tB) 2 К у„. |
|
|
0=1 |
0=1 |
|
Это соотношение будет выполнятся тождественно, если |
|
|
( А + гВ)К0 = К 0Ка |
(о = 1, ..., р). |
(8.7.15) |
Подставляя сюда (8.7.14) и приравнивая члены, содержащиеся в одинаковых степенях, имеем
АК$>I = |
|
|
|
ЛК'У = 4 " Л'01 + |
- |
BKloI, |
(8.7.16) |
АК™ = K MA W + * '0,ЛМ + |
- |
ВК[а‘1, |
|
Положим |
|
|
|
К 1а0]= К а, Л ^ = А 0 |
|
(о = 1, 2 |
, р), (8.7.17) |
где Ка, А а — матрицы, фигурирующие в разложении (8.6.3). При этом первое равенство (8.7.16) выполняется тождественно. Из ос
тальных |
равенств последовательно |
могут |
быть определены |
/££‘1, Д1«, |
Л р , .... В самом деле, пусть уже найдены КЦ\ Л^1 |
||
(i —О, 1, 2,..., к — 1). Определим |
Л^*1, |
используя (к + 1)-е |
|
равенство (8.7.16), которое с учетом (8.7.17) можно представить так:
|
АКМ = КША0 + КаА™ + D[k~Ч |
(8.7.18) |
Здесь D\^~11 = |
+ ... + |
— уже из |
вестная матрица.
Равенство (8.7.18) умножим на
/Г 1= М = col (M j ... M X
Получим
AQw = Д0 + МКаАМ + MD[k~ , |
(8.7.19) |
где QW = М К \^ . Ввиду квазидиагональной структуры матрицы Л равенство (8.7.19) распадается на р независимых равенств:
A,Qj« = QjS'Ao + |
( i = l ....... |
р). (8.7.20) |
При s = а имеем МаКа = Ек , и следовательно,
о
AcQio = Й ‘„'Л, + М02 )« -11 + Л>«.
Отсюда
д[« = _ м ов1*-И + |
- Q WA ,. |
(8.7.21) |
При s ^ a имеем MsKa = 0, и поэтому
AsQl? = QiS'A, + MsDl“- О. |
(8.7.22) |
Так как As и Ла не имеют общих собственных значений, то матрич ное уравнение (8.7.22) по лемме 8.7.1 имеет единственное решение.
Неопределенной осталась лишь матрица QhkJ . Так как не оста
лось никаких невыполненных условий, то в качестве Q[akJ можно взять произвольную постоянную матрицу порядка ка (ка — поря
док блока Л0), и, в частности, можно принять |
= 0 . Зная QlkK |
легко определить К ^ : |
|
Klak] = KQ[k]. |
(8.7.23) |
Полученные рекуррентные соотношения (8.7.21) и (8.7.23) при нимают особенно простой вид, когда все собственные значения мат рицы А простые. Тогда, если К составить из всех собственных век торов матрицы А, то Л будет диагональной матрицей, причем по главной диагонали будут расположены отвечающие этим собствен
ным векторам собственные значения |
..., Хп. При этом согласно |
(8.7.22) |
|
К -К |
’ |
и (8.7.23) принимает вид |
|
Упрощается и выражение (8.7.21). Так как теперь Л0, |
ска- |
|
лярные величины, то |
|
|
Л'*1 = |
- ‘I. |
|
Приближенное решение однородного уравнения (8.7.1) можно получить из формул (8.7.12) и (8.7.13), удерживая в формальных рядах (8.7.14) некоторое число первых членов
р d №
|
*П = 2 4 " Ч . |
- j t— |
|
где |
0=1 |
|
|
|
|
|
|
|
т |
т |
|
|
4 " " = 2 е* 4 41 - 4 ”° = 2 Е‘ 4 * ’ • |
||
|
Л.=0 |
к =0 |
|
Поскольку |
— постоянная матрица, то |
= е№*са и |
|
|
Xт = f |
4 “>«AS’V |
|
|
о=1 |
|
|
8.7.4. Асимптотический метод для неоднородного уравне ния. Решение неоднородной системы (8.7.1) будем строить в виде
х |
(8.7.24) |
|
О «* 1 |
где у0 — решение уравнения
^ = ЛЛо + Й оА(0 |
( а - 1,2.......р). |
(8.7.25) |
После подстановки (8.7.24) и (8.7.25) в (8.7.1) имеем
2 4 Л л + 2 К м лъ = ( л + « 5 ) 2 4 л + НО-
0 = 1 0 = 1 0 = 1
Отсюда, приравнивая коэффициенты при уа и свободные члены, получим соотношение (8.7.15) и равенство
2 4 Я > ( 0 = НО- а» 1
Чтобы выражения (8.7.24) и (8.7.25) представляли собой фор мальное решение уравнения (8.7.1), нужно Ка и Лс определить,
как это указано выше, а М0 выбрать так, чтобы выполнялось ра венство
|
2 |
= Е. |
(8.7.26) |
|
0=1 |
|
|
В обозначениях |
|
|
|
|
К = (К 1. . . к р)> |
М = |
(МЛ |
|
м п |
||
|
|
|
|
равенство (8.7.26) принимает вид |
|
р) |
|
|
|
||
|
КМ — Е. |
(8.7.27) |
|
Мы имеем |
00 |
|
|
|
|
||
|
к = tf + J V / c 1*1, |
|
|
|
|
1 |
|
где К 141 = (/г}*1 |
). Матрицу М также будем строить в форме |
||
ряда по степеням е: |
|
|
|
|
м - М + 2 |
гкМш . |
|
|
к= 1 |
|
|
Подставляя ряды, представляющие к и Af, в (8.7.27) и приравни вая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим
к м = е , K M lli + к 11Ш = о , K M W + к М м 11] + A:I21M ==O, ...
Умножая все эти равенства слева на К~[, получим соотношения, определяющие последовательно М, М111, м 121, ...:
М = /Г 1, |
Л/Ш = - А""1А™М = |
М, |
М121 = —м (К и]М 11] + К12]М) |
|
|
и т.д. Таким образом, и неоднородную систему (8.7.1) можно при вести к расщепленному виду (8.7.25).
В частном случае, когда все собственные значения матрицы А различны, систему (8.7.25) можно получить в виде независимых уравнений 1-го порядка.
ГЛАВА 9
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАТРИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (ПЕРВЫЙ МЕТОД)
Решение и исследование нестационарной системы дифференци альных уравнений
A(t)% =B(t)x + m |
(9.0.1) |
из-за переменности ее коэффициентов (элементов квадратных мат риц А и В) обычно сопровождаются значительными трудностями. Расщепление, т.е. преобразование к системе, состоящей из некото рого числа не связанных друг с другом подсистем уравнений мень шего порядка, представляется очень эффективным средством упро щения дифференциальной системы (9.0.1).
В настоящей и следующей главах приводятся два различных метода асимптотического расщепления и интегрирования линейной дифферен циальной системы, содержащейпараметр еи совпадающей, в частности, при е = 1 с системой (9.0.1).* Применимость этих методов для прибли женного расщепления и интегрированиядифференциальных системви да (9.0.1) можно ограничить классомдовольно распространенныхв при ложениях систем с медленно меняющимися коэффициентами.
§ 9.1. Дифференцируемость матрицы, преобразующей квадратную матрицу к квазидиагональному виду
Квадратную матрицу U(т), собственные значения которой раз-
биты на р групп |
.... № |
|
|
Р |
|
(ст= 1, 2,..., р\ 'Zka — п) так, что на |
|||||
|
|
(Т |
|
|
0*1 |
промежутке 0 ^ т < L выполняются условия |
|
||||
| |
- Х^| > 0 ( ; |
1 = |
1,2 |
.......1 = 1, 2 |
............... ks), (9.1.1) |
* Асимптотическому расщеплению линейных дифференциальных систем, содержащих параметр, на независимые подсистемы уравнений 1-го порядка и асимптотическому ин тегрированию таких систем посвящено большое количество работ. Некоторые из них ука заны в нашей краткой библиографии. Значительно более подробный перечень работ в этом направлении содержится в библиографии, приведенной в работах [10, 11, 38, 39].
при каждом фиксированном х €= [О, L] можно представить так (см. гл, 5):
и = 2 К аЛаМа, |
(9.1.2) |
0 = 1
где Ка, Л0, Ма — матрицы типа соответственно п X kc, ка х ка, ках п , удовлетворяющие равенствам
M0KS |
» |
S = |
о |
СТ |
|
(9.1.3) |
|
|
0 , |
S Ф |
сг |
( Ег — единичная матрица порядка г). Собственные значения мат рицы Ла суть собственные значения матрицы U, включенные в группу сг.
Введя блочные матрицы |
|
|
Л. |
0 |
'А/,' |
* = ( * , . . . Кр), |
|
Ь М — • *1 |
0 |
л . |
м п |
|
п |
|
будем также иметь |
|
(9.1.4) |
U = КАМ, |
|
|
М К = К М = Еп. |
(9.1.5) |
|
В качестве матрицы Ка может быть взята любая матрица, состав ленная из ка линейно независимых линейных комбинаций столбцов матрицы
р |
ki |
\,(U ) = п |
(9.1.6) |
S-1 |
у* 1 |
s&cr |
|
ранг которой равен ка и, в частности, из ка линейно независимых
столбцов этой матрицы. Зная матрицу К, легко определить М и Л, используя соотношения (9.1.4) и (9.1.5).
Пусть Ка, Л0, Ма (о = 1,..., р) — построенные таким путем
матрицы. Тогда выражения KaNa, |
N ; lAaNot где Na - |
произвольная невырожденная матрица порядка ка, представляют
общий вид матриц, осуществляющих разложение (9.1.2). Соответ ственно, если N — квазидиагональная матрица, составленная из матриц Na, то KN является общим выражением матриц, преобра
зующих матрицу U к квазидиагональному виду.