книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Отсюда

т

МаК^> = Ек + 5 У 0 Й 1.

к - 1

и, значит, ранг матрицы МаК равен к0. Поэтому ранг матрицы не меньше чем кв, а так как эта матрица состоит из к0 стол­

уравнения (9.9.2), а произвольные матрицы Q}® (£ = 1,..., т) вы-

т

браны так, что Ек 4* Y £hQlo — невырожденная матрица, то матри-

женных решений уравнения (9.2.1), соответствующих ка собствен­ ным значениям матрицы U, включенным в группу с.

§ 9.10. Асимптотический характер приближенного решения

В предыдущих параграфах данной главы изложен метод постро­ ения приближенного решения линейных дифференциальных систем в зависимости от поведения собственных значений матрицы коэф­ фициентов уравнений U{т) на рассматриваемом промежутке изме­ нения аргумента. Вообще говоря, в каждом случае могут быть построены оценки для погрешностей приближенных решений. Од­ нако, как увидим ниже, эти оценки получаются довольно громозд­ кими и грубыми, особенно в случае систем уравнений высокого по­ рядка, и поэтому при решении конкретных технических задач они мало что могут дать для установления степени близости прибли­ женного решения к точному.

Для практических целей более приемлемым путем для анализа может оказаться путь сравнения соседних приближений ,хт и

хт +1: разность хт+, — хт в какой-то мере дает представление о

погрешности приближенного решения. Вместе с тем, поскольку приближенные решения уравнений получаются на основе формаль­ ных решений, известный теоретический интерес представляет уста­ новление того факта, что приближенные решения при е-*0 опре­ деленным образом сходятся к точным решениям уравнений.

Здесь

Для установления асимптотических свойств построенного таким образом приближенного решения воспользуемся методом Н. Н. Бо­ голюбова [8], который неоднократно применялся для тех же целей в работах и других авторов [19, 39]. В соответствии с основной

идеей этого метода будем рассматривать & т)(х, е) как матрицу не­ которого преобразования переменных в уравнении (9.10.1):

С другой стороны, имеем (см. § 9.2, (9.2.7))

и, значит,

еЛ(т, t) dl6""£'е> = В(т, e)K<“>(i, е) -

— Л(х, e ) ^ m^(x, е)ЛП1(х, е) — Em +1//j(x, ё), (9.10.7)

где Nl — матрица, регулярная относительно е в окрестности точки

£ = 0.

Используя (9.10.7), уравнение (9.10.6) представим так:

Л(х, е)К<т >(т, е) & = А(х, г)& т\х, £)Л<т>(х, е)у+

+ еm + lNl(x1е)у+ /(f, х, е). (9.10.8)

Матрица Ktm\x , е) является регулярной функцией от е , причем 0) = АГ(х) — невырожденная матрица. Поэтому существует

Отсюда

Таким образом, задача по оценке нормы разности х —х т сво­ дится к оценке нормы столбцовой матрицы г — у —•у , которая,

как это следует из равенств (9.10.3) и (9.10.9), удовлетворяет уравнению

^—Д(т^(т, E)Z 4-

+ [ ^ " ‘(т, е)Я(т, е) - Ж т\х , е)&т\ т, е)]/(Г, т, е) +

+ e* +ijK<».r,(x> Е)д(т, е)А1(т, е)у. (9.10.11)

Оценку погрешности приближенного решения проведем раз­ дельно для промежутков 0 < т $ 1 и ^ t К t2 (L, tv t2 — фиксиро­

ванные числа).

Запишем (9.10.9) в виде

Здесь JV2, N3 — матрицы, регулярные относительно е в окрестности

е = 0. Оценим сначала на промежутке [0, L] решение y(t) однород­ ного уравнения

регруппируем слагаемые правой части (9.10.13), принимая во вни­ мание (9.10.4). Будем иметь

где

Из (9.10.14), перейдя к сопряженным выражениям, получаем

Уравнение (9.10.14), умноженное слева на у*, сложим с (9.10.15), умноженным слева на у. В результате приходим к следующему диффе­ ренциальному уравнению относительно нормы столбцовой матрицы у:

Поскольку Л + А* — эрмитова матрица, то

где р — наибольшее собственное значение матрицы 1/2 (Л + Л*). Далее, при заданных е, > 0 (е, < е0) и при данном номере при­

ближения т можно указать такое не зависящее от в постоянное число av что для всех т е [0, L)

Принимая во внимание (9.10.17) и (9.10.18), из (9.10.16) получаем

< (ц + еа^ЦуН (е < £,)•

Отсюда

ИКОН < Пл'СО)Ilexp $ (р 4- zax)di =

о

Если на сегменте [0, L] все собственные значения эрмитовой матрицы l/г(Л + Л*) неположительны, то

и, значит,

ИКОН < 1|у(0)||ехр (a,L) < с0ехр (а,£) = с

[0,^], eG (0,et)).

Таким образом, имеет место следующая

Л е м м а 9.10.1. Пусть на сегменте О ^ т ^ L все собственные значения эрмитовой матрицы 1/2(Л 4 А*) неположительны. Тог­ да существуют положительные числа с и е, (е, < е0) такие, что любое решение у(0 однородного уравнения (9.10.13), начальное значение которого ограничено условием || у(0) || < с0, удовлетворя­ ет неравенству

||у(0И«с ( r e [ 0 , i ] , e e ( 0 , е,)).

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (9.10.12). Так же, как и для однородного уравнения, легко получить следующее диф­ ференциальное уравнение относительно нормы столбцовой матри­ цы КО:

= / (Л + Л*)у + е/(ЛГ4 + JV*4)y + y*N3 4 N*3y. (9.10.21)

В силу свойств матрицы N3 существует такое положительное число

Бели на сегменте 0 ^ т ^ L все собственные значения эрмитовой матрицы 1/2 (А 4 Л*) неположительны, то, учитывая (9.10.20), име­ ем из (9.10.22)

г

ИКОН < IIK0)l|exp (ajO 4 a3exp (a,x)$ е~ы\1,йТ «5

о

<ехр (^т)(||К О )|| + а 30-

Отсюда следует

Отсюда

t

IIKOll * llz(0)||exp $ (р. + za4)dt +

о

Если все собственные значения матрицы Уг(Л + А*) неположи­ тельны, то, учитывая (9.10.23), имеем

В самом деле, согласно (9.10.10) и (9.10.28)

непрерывности матрицы 1/г(А(х) + А*(х)) на [0, L] следует ограни-