книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfТак как в данном случае U = А~1В — постоянная матрица, то Ка, А0, М д (о г= 1 ,...,р ) — также постоянные матрицы. Учитывая это, из (9.2.16) последовательно при k = 1, 2, ... получаем
Q j a = 0 |
( а ч * о г ; £ = |
1 , 2 , . . . ) , |
|
|
так как d K jd x — 0. Полагая и Qj*J = 0 |
(о = 1,.... р; к = |
1, 2 ,...), |
||
будем иметь |
|
|
|
|
Л£*>=0, *£*1=0, |
м£*] = 0 (о = 1,..., р; к = 1 ,2 ,...). |
|||
Таким образом, Аа = А0, Ка — Ка, Ма = Ма. Поэтому равенст |
||||
ва (9.7.1) и (9.7.2) принимают вид |
|
|
||
х = '£ К ауд, |
= А0у0 + MaA~lf |
(аг= 1,..., р). |
(9.7.3) |
|
0=1 |
|
|
|
|
Решая (9.7.3), находим |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
уа = |
еА.‘са + j |
(')<*'. |
|
|
|
|
О |
|
|
где сд — матрица-столбец произвольных постоянных. В соответст вии с этим
* = 2 |
^ 0А 'с 0 + \ |
2 |
0 = 1 |
0 |
о=1 |
Преобразуем |
последнее |
выражение. Полагая сд = Мдх(0) и |
учитывая, что
2 Кде*о*Мд = еКАШ = ev\
0=1
получим
t x = eutx(0) + J
о
что представляет собой известное выражение для общего решения системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Таким образом, в частном случае системы линейных дифферен циальных уравнений с постоянными коэффициентами применение метода, изложенного выше, приводит к известным результатам классической теории линейных дифференциальных уравнений.
§ 9.8. Расщепление сопряженного векторно-матричного уравнения
В условиях теоремы 9.2.1 формальное решение системы диффе ренциальных уравнений, представленной в виде
% = U(t)x + h(l, т, е). |
(9-8.1) |
определяется равенствами |
|
р |
(9.8.2) |
x - ^ , K 0(xt t)yat |
= А0(т, е)уа + Ма(т, е)Л(/, т, е) (cr = 1, ..., р). |
(9.8.3) |
Члены формальных разложений Ка и Аа удовлетворяют равенствам (9.2.11), где для рассматриваемого уравнения (9.8.1)
(X) = X К ? -» (x)AW(T) + |
(9.8.4) |
/ =1 |
|
Можно показать, что формальное решение уравнения |
|
^ = - £ Г ( т)2> |
(9-8-5) |
сопряженного однородному уравнению (9.8.1), может быть пред ставлено равенствами
2 = 2 ^ ( т>еК . |
(9.8,6) |
о = 1 |
|
7Г = -Л„(т, е К , |
(9.8.7) |
где Ма и Ка — матрицы, фигурирующие в формулах (9.8.2).
Прежде всего, применяя метод, использованный в § 9.2, постро им рекуррентные соотношения для членов формальных рядов
М*а{х, е) = 2 е*л4*](т)> К Ь |
е) = 2 e*Ai*I4'c)- |
(9.8.8) |
k-Q |
k~0 |
|
Для этого подставим (9.8.6) в (9.8.5), принимая во внимание равенства (9.8.7) и (9.8.8), и отделим в полученном таким
образом тождестве коэффициенты при и0, пропорциональные е*
(к = О, 1 ,2 ,...). |
Получим |
|
|
|
||
|
|
|
|
»w[0J* |
|
|
IT М " 1* = М ^ А ^ * + М ^ А '11*----- |
|
|||||
1ГМ™* = Mi2l*Ai01* + Mi0,‘Ai21* + |
dM ^ |
|||||
M i^A i'1*----- - f - , |
||||||
Переходя к сопряженным выражениям, имеем |
|
|||||
|
|
М™ и = Л r°J Mj,01, |
(9.8.9) |
|||
MWU = A J>]M[ |
ak][ |
+ Л W M W - Ъ ] * - " |
(к = 1, 2, ...), |
|||
|
||||||
где |
|
* - 1 |
|
имI*—1] |
|
|
|
|
|
(9.8.10) |
|||
|
|
|
|
|
||
Имея в виду, что |
а= 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
t/ = £ ^аЛ<,М0 = КАМ, |
|
|||
|
|
о= 1 |
|
|
|
|
положим Л/^°* = |
Л/о9 Л?1 = Ла. При этом первое равенство (9.8.9) |
|||||
удовлетворяется тождественно. |
|
; M\k~ ^ , Л£*-11 уже |
||||
Допустим, что |
Afipi, Л*,01; |
Л£1]; |
||||
найдены. Определим М[^ и Л ^1. Умножим (к + 1)-е |
равенство |
|||||
(9.8.9) справа на к и введем обозначение |
|
|
||||
|
|
QW = - м |
ак][ К. |
|
(9.8.11) |
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
Qlak]А = AaQiA) + Aj**МаК + Ъ [к - 11 К. |
(9.8.12) |
|||||
Матрицу Q[ak], состоящую из к0 строк и п столбцов, представим в
виде следующей блочной матрицы: |
QW = (Q^l Q\Q |
QjfJ), где |
Ql*J — —М\р Ks — субматрица типа |
ках кг При этом равенство |
|
(9.8.12) распадается на р независимых матричных равенств |
||
е'*)Л0 = A„Qj» - Л'« +д1,‘ -"А:а, |
(9-813) |
|
ей1Л, = л 0(2й ' + д |‘ - " к , и * о ) . |
(9.8.14) |
|
Из (9.8.13) находим
л£« = - ё 1 £ ]Л0 + Л0<2$ + Ъ ^ ~ » К а;
здесь QM — произвольная, нужное число раз дифференцируемая квадратная матрица порядка ка. Равенства (9.8.14) однозначно
определяют остальные субматрицы матрицы
Определив |
с помощью равенств (9.8.14) субматрицы |
|
( s ^ o ) и задавшись произвольной матрицей Q ^ , |
мы будем иметь |
|
матрицу |
после чего легко вычислить М\^ |
по формуле (см. |
(9.8.11)) M Qlk] = -Q '* 1М,
Полученные соотношения позволяют последовательно опреде лить члены формальных рядов (9.8.8), посредством которых пред ставляется решение уравнения (9.8.5).
Теперь покажем, что с точностью до произвольных матриц члены рядов (9.8.8) совпадают с членами рядов и Л0, фи
гурирующих в формулах (9.8.3). Установим сначала справедли вость равенств
МаК\1] + M [al] Ks = 0, Мак12] + AfW К.\1] + Mj21Ks = 0, ...,
MaK\k] + М М к\к~Ц + + A flQkiKs = 0 (s?6a), |
(9.8.15) |
Имеем (см. (9.2.12), (9.8.4) и (9.8.9), (9.8.10))
UK, = К,Л„ |
£/*!'! = /fl»As + XsA|‘l + |
(9*8.16) |
М„и = А„Ма, |
М ^ и = Л0Л/1" + Л1"Л/0 - ^ 2 . |
(9.8.17) |
Равенства (9.8.16) умножим слева соответственно на |
М Ш и Ма |
|
(сг ^ s) и сложим друг с другом. Получим |
|
|
M M UK+ M0UK[lI = (M l"K s + MaK[")A s + Мс |
(9.8.18) |
|
Аналогично, умножая (9.8.17) справа на X]11 и Ks (s^cr) и складывая, будем иметь
dM„
M 'UK'" + м '" и к , = Л„(м0х;ч + M'»KS) - - j f К,. (9.8.19)
Вычитая из равенства (9,8.18) равенство (9.8.19) и учитывая, что
d K t |
d M |
n |
|
d ( M |
K ) |
—г1 + |
- ~ К Г= - |
dx |
= 0 |
( s * а), |
|
а dx |
dx |
~~5 |
|
|
|
получим
( A / l 'I j f , + M CK [ " ) A S = М М . * ' 1' + Д/ i'lJ C ,) .
Отсюда, так как А0 и As не имеют общих собственных значений, получаем
|
|
М М ка + МаКМ = 0 . |
|
|
|
|
|
||
Тем самым доказано первое из равенств (9.8.15). |
|
|
|
|
|||||
Допустим, что уже доказаны первые k — \ |
равенств (9.8.15). |
||||||||
Установим справедливость £-го равенства. Имеем |
|
|
|
|
|||||
UKS= KsAs, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и к \" |
= А'ЧЛ1 + х 5л;и + |
^ £ , |
|
|
|
|
|
||
и к ы |
= |
|
+ АГП1Л1» + |
|
|
|
|
|
|
и к \» = лг;*'л, + |
/С5д1‘1+ |
... + *(*- Нд[1| + |
rf/d*-1! |
|
|
||||
S |
* |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
Умножая эти равенства соответственно на Л/1*1. |
СГ |
>•••» |
м |
„ |
|||||
складывая, получим |
|
|
О |
* |
|
Q и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M l* U K g + |
... + Маи к \* = |
( М ШКз + ... + MaK W )A s + |
|
|
|||||
|
+ (Afi*“ I*Jr, + |
... + |
AfeJCj*-U)A}‘l + ... |
|
|
|
|||
|
+ (M al]Ks[ |
+ Md^UJ)AU-U + M0KSAW + |
|
|
|
||||
|
|
+ |
|
|
dtfl*-1) \ |
|
|
||
|
|
° |
dx |
|
|
(9.8.20) |
|||
|
|
\ |
|
|
|||||
Аналогичным приемом из системы |
|
/ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
MaU = Л0МС, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*4" и = Л „ М + Л1'1м о _ |
^ £ , |
|
|
|
|
|
|||
А/И£/= ЛЯЛ/1,У.+ Л™ |
+ л»!М'Ч - ^г, |
|
|
|
|
||||
ММ и = Л0А/1« + Л '« |
+ ... + л 14 |
|
|
dx |
|
|
|||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л/0£/«1« + ... + |
= л „ (м 0л:1‘1+ ... + |
л/'*1л у |
+ |
|
|
||||
|
+ л у ч л ^ - и |
+ ... + |
+ ... |
|
|
|
|||
+ |
+ Mn\Kl) + к ш м 0к , - |
|
|
|||
( dM_ |
+ ... |
+ |
rfA /j* - 1 ! |
|
(9.8.21) |
|
d x |
*J4-' |
—j --- К, |
s |
|||
|
|
dx |
|
|||
Приравняем правые части равенств (9.8.20) и (9.8.21), учтя при |
||||||
этом, что по предположению первые к — 1 |
равенств (9.8.15) спра |
|||||
ведливы и что |
|
|
|
|
|
|
d |
K |
|
,, |
d M ^ - ^ |
|
|
+ M° - ^ + n f * 1 * - '+ - + - h - K‘ = |
||||||
= |
+ + MoJCl*-«)=0 |
(s*»or). |
||||
Получим
++ л4»'/ул1 = л,,(м(,*:;‘|+... + л4*|/с,).
Отсюда |
Л/0А:'а1+ |
+ Mlak' Ks = 0. |
Тем |
самым по индукции установлена справедливость равенств |
|
(9.8.15) |
при любом к. Так как |
|
Ч Л , = 2 e‘ A/i*' 2 е‘*1И =
к—О к=0
=M„KS + г(М,К[" + МЦ'К,) +
+1г(М0К™ + Л/Ш К'11 + М » К,) +
то на основании (9.8.15) |
|
|
|
|
|
MaKs - |
0 |
(s^or). |
|
|
(9.8.22) |
В силу произвольности |
выбора Q |
и Qi*1 |
(& = |
1 ,2 ,...; |
|
а = 1, 2 ,..., р), равенства (9.8.15), |
вообще |
говоря, |
при |
s — а не |
|
имеют места. Но если принять |
|
|
|
|
|
о й -о й . |
0Ш -0Й + ^ " 4 П. |
|
|
||
Qi3J = Ql3J + м !,"К 11 + м м * !* ,.... |
|
|
|||
а й 1= Qi*1+ м [ " ч 'Г " |
+ - + м ° ~ " |
'• |
|
||
то эти равенства будут выполняться и при s = о. Действительно,
MaKW + м [" К [к- " + ... + |
A/l*-11* ’11+ М ^1Ка = |
|
= |
+ Л/Ш *•* “ п |
+ М>*" 11iCj11Qi*1МКа = |
Если |
определены согласно |
(9.8.23), |
то, как легко проверить, |
||||||||
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МаКа = |
Ек |
|
(о = 1, 2, |
,,/>). |
(9.8.24) |
|||||
Объединяя соотношения (9.8.22) и (9.8.24), получим |
|
||||||||||
Обозначим |
|
М К= Еп. |
|
|
|
|
(9.8.25) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
'а!*1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ql‘l = (Q|‘! Q|*l |
|
Ql*l), |
e'*' = |
el*1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ~ P / |
|
Тогда, очевидно, /Г1*1= KQ[k], |
M [k] = —Q}k]M, Согласно (9.8.25) |
||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М К = Е п, |
МАГ111 + |
|
К = 0, |
|
|
|||||
|
M Klki + |
|
|
|
+ |
... + |
|
М ШК = о, |
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q ll] - |
Q ' " |
= 0 , |
|
||
|
|
_ |
Q [21 - |
Q |
m Q m |
- Q 121 = 0 , |
|
||||
|
QI31 _ |
Q U 1 Q 12] _ |
Q |2 ]Q |1| |
_ |
Q |3| |
_ o, |
(9.8.26) |
||||
Ql*l _ QUIQ U-D _ _ |
_ |
Q |*-1]Q |1] _ |
Q[k| = Q, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д[1|= с ш } Q [2) = Q (2 |_ Q |I|Q „1I |
|
|||||||||
|
QI31 = |
QI31 _ QH1QI2] _ |
|
|
|
.... |
(9.8.27) |
||||
|
Q|*I _ Ql*l — Q IHQ U-H _ |
- |
|
Q ^ -'JQ 1'], |
|
||||||
Имеют место следующие соотношения: |
|
|
|
||||||||
|
|
QlIlQlU _ |
QlllQllI, |
|
|
(9.8.28) |
|||||
|
Q ,1JQ !2| + Q UIQ IU = |
QMIQI2I + Q [2|Q [IJ |
|||||||||
Q ID Q 131 |
_|_ Q [2 |Q |2) + |
Q [3]Q [I| |
= Q l l l Q l 3 l |
_|_ |
Q I2|Q [2| + Q | 3 l Q | l | f |
||||||
Равенство Ql'lQl*! = |
Q IHQ !*I |
очевидно |
в силу |
первого |
равенства |
||||||
(9.8.27). |
Из первого |
равенства |
(9.8.27), |
умноженного |
справа на |
||||||
Q12*, вычтем второе равенство, умноженное слева на Q(^. Получим
Q IHQ UI _ Q U1Q |2| _ Ql.lQl.lQi.i. |
(9.8.29) |
Умножая справа равенства
MJU = А дМа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
м " 'и = л 0м м +ДШАГ0 - |
|
|
|
|
|
|
||
М™ U = АаМ™ + Л'21 Ма + А 1" М а1][ |
dMW |
|
|
|
||||
dx ’ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М ак][ U = Л0М[к] + Л^> М0 + |
... + Л],11 М {к ~ 11- |
dM^~l] |
||||||
|
dx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответственно на ЛГ**1, К^к 11, |
Кс, тем же путем получим |
|||||||
м аи к ш + ... + м},к'и к а = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= М*1- |
dMa |
fj. |
.1 |
|
dM%-4 |
K. |
N |
(9.8.34) |
- |
Klk~U |
+ ... + — °— |
|
|||||
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
Из (9.8.33) и (9.8.34) следует, что |
|
|
|
|
|
|
||
ЛШ = Aj‘i - |
f x (Мак ? - н |
+ + м ^ - " к „ ) |
|
|||||
или, наконец, так как выражение, заключенное в круглые скобки,
тождественно равно нулю, то А ^ = |
(Л = 1, 2, ...). |
Пример 9.8.1. Система, сопряженная однородной системе дифференциальных уравнений, рассмотренной в качестве примера в § 9.2, имеет б и д dz/dt = -U*z, где
|
t |
0 |
0 |
U'= |
1 -м - 4 |
2г - 4 |
|
|
t2 |
/2 |
|
|
1 |
-г+ 4 |
2г- 4 |
|
|
/2 |
/2 |
Согласно вышеизложенному решение этой системы представляется так:
2
z = 2 M*0va = M ' v ,
0=1
где
|
|
dv |
~ |
(а= 1, 2), |
|
|
||
|
|
dt |
- -Alv |
|
|
|||
или, что то же самое, |
а 0 |
|
|
|
|
|
||
dv |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= -Л v |
v = |
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
||
В данном случае |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
+ |
<3 + 2 |
t - <3 +2 |
М* =М** |
-1 |
1 |
<3) . л*= |
|
||||
(2 |
|
/(Г3 -1) |
|
|||||
t — |
|
О |
||||||
|
-1 |
I /-■т |
|
|
О |
|||
|
|
|
|
|
|
|||