книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

§ 13.7. Пучок решений линейной системы

Рассмотрим все те решения линейной системы

с непрерывной на / вещественной матрицей P(t), которые удовлет­ воряют начальному условию

где А0 — эрмитова матрица с неотрицательными собственными значениями, р — положительная постоянная. Другими словами, требуется определить уравнение оболочки, которая заключает в се­ бя пучок всех тех решений системы (13.7.1), которые берут свое начало внутри или на поверхности эллипсоида (13.7.2).

В монографии [1] (гл. 15, § 3) дано решение этой задачи в предположении, что матрица Л0 не имеет нулевых собственных

значений. Пучок решений определяется при этом в форме

( H~x(t)x, H~x{t)x) ^ р2, где Я — некоторая невырожденная мат­ рица, все столбцы которой в каждый фиксированный момент вре­ мени имеют одну и ту же эрмитову норму. Ниже приведем соотно­ шение, определяющее пучок решений линейной системы (13.7.1), справедливое в случае произвольной эрмитовой матрицы А0 с неот­

рицательными собственными значениями.

представляет оболочку пучка решений системы (13.7.1), удовлетво­ ряющих начальному условию (13.7.2) при выполнении следующих двух условий:

1 . А(10) = AQ.

2е. Для всякого решения x(i) системы (13.7.1), удовлетворяю­ щего условию x*(t0)A0x({0) = р 2, выполняется соотношение

Свойство 2° эрмитовой формы V(t, х) означает, что полная про­ изводная от V по t в силу системы (13.7.1) тождественно равна ну­ лю, т.е.

Значит, матрица А формы V со свойствами Iе и Т представляет собой решение уравнения (13.7.1) при начальном условии A(t0) = А0 и в соответствии с теоремой 13.6.3 определяется

формулой (13.6.10).

Т Е О Р И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И Д В И Ж Е Н И Я

ГЛАВА 14

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ. КРАТКИЙ ОБЗОР

Вводные замечания. В самых разнообразных област51х челове­ ческой деятельности — физике, биологии и т.п, — неизменно воз­ никает потребность в анализе свойств прочности и неподатливости процессов действиям возмущений, способности процессов противо­ стоять всякого рода возмущениям, и это определяет то пристальное внимание, которое оказывалось и оказывается исследователями прошлого и настоящего такой характеристике качества процессов, каковой является «устойчивость».

Что такое «устойчивость движения», что подразумевать под «ус­ тойчивостью», какой математической или иной формулировкой определить это понятие? Эти вопросы неизбежно возникают перед каждым, кто занимается изучением качества движения. Интуиция подсказывает, что понятие устойчивости должно содержать во вся­ ком случае следующую концепцию: движение устойчиво, если ма­ лые воздействия на него приводят к малым эффектам (отклонени­ ям), и неустойчиво, если это (в определенных рамках) имеет место не всегда. Для практических целей это интуитивное определение понятия устойчивости, разумеется, непригодно и должно быть за­ менено математически строгим определением, которое, с одной сто­ роны, с возможной полнотой и строгостью характеризовало бы ус­ тойчивость как объективное качество движения и, с другой сторо­ ны, допускало бы возможность построения удобного рабочего аппарата для изучения свойств устойчивости конкретных движе­ ний, вплоть до установления рабочих критериев устойчивости и не­ устойчивости исследуемого движения.

Формы движения, с которыми сталкиваются исследователи,-чрез­ вычайно разнообразны и не допускают единой абстрактной модели и единого мерила «потребительской стоимости» их свойств и характе­ ристик, и поэтому, видимо, невозможно ввести общее понятие устой­ чивости, которое всеща и полностью удовлетворяло бы потребностям практики и было бы принято всеми как единственно верное.

Многовековая эволюция теории устойчивости, начиная со вре­ мен Аристотеля, отслеживая>потребности физики и техники минув­

ших веков, привела в конце концов к теории устойчивости в смыс­ ле А. М. Ляпунова как к лучшей и наиболее совершенной из всех теорий, которые могли быть созданы в главном русле теории устой­ чивости.

Рассмотрим кратко характерные особенности понятия устойчи­ вости в смысле [87] Ляпунова.

§14.1. Устойчивость движения по Ляпунову

14.1.1.Определение понятия устойчивости по Ляпунову.

Рассматривая голономную механическую систему с * степенями свободы, А. М. Ляпунов понятие устойчивости движения вводит следующим образом.

Пу сть <7р q2, ..., qk — независимые лагранжевы координаты, а

q[, q'2, ..., q'k — обобщенные скорости голономной механической сис­ темы. При определенным образом заданных силах координаты qt

удовлетворяют системе к обыкновенных дифференциальных уравне­ ний 2-го порядка. Каждому частному решению этой системы уравне­ ний соответствует определенное движение механической системы.

Выделим движение механической системы, которому соответст­ вует решение

Qj = fj(t) ( / = 1 , 2 ,...,*)

системы уравнений, определенное некоторыми начальными значе­ ниями (в момент времени t0, условно принимаемый за начальный):

Сравнивая это выделенное движение системы с другими движения­ ми, возможными для данной системы при тех же силах, А. М. Ля­ пунов называет это движение невозмущенным, а все остальные, с которыми оно сравнивается, возмущенными.

Возмущенные движения отвечают иным начальным значениям обобщенных координат и обобщенных скоростей механической сис­ темы:

Здесь tj и t'j — некоторые вещественные постоянные, именуемые

возмущениями. Заданием этих постоянных соответствующее возму­ щенное движение полностью определяется.

Отклонения возмущенных движений от невозмущенного могут быть определены не только разностями координат, но в общем случае и через разности некоторых зависящих от движений величин. Пусть Qi> •••> Qn — некоторые данные непрерывные вещественные функ-

ции величин q.t q\ и времени t, которые для невозмущенного движе­ ния после замены qj = /у(0 и q'j = f'j(t) обращаются в известные функции Fs(t) (s = 1, 2, ..., л). Для каждого возмущенного движе­ ния Qs ( s — 1, 2,...» п) являются функциями времени t и возмуще­ ний еj, е'у (у = 1, 2,..., к). Когда все возмущения е е равны нулю, разности xs — Qs — Fs будут равны нулю для всякого t.

Возникает вопрос, а если £у. и е'у отличны от нуля, можно ли, ограничивая £у. и е) по модулю достаточно малыми числами Ej и Ер сделать модули разностей xs меньше любых наперед заданных сколь угодно малых положительных чисел Ls при всяком t, превос­ ходящем f0? Решение этого вопроса, как отмечает Ляпунов, зави­

сит как от характера рассматриваемого невозмущенного движения, так и от выбора функций QP Q2»•••> Qn и момента времени (0. При

определенном выборе последних ответ на поставленный вопрос бу­ дет,характеризовать в известном отношении невозмущенное движе­ ние, определяя собою то свойство последнего, которое Ляпунов на­ зывает устойчивостью, или противоположное ему, называемое не­ устойчивостью.

Ограничиваясь исключительно теми только случаями, когда ре­ шение поставленного вопроса не зависит от выбора начального мо­ мента /0, Ляпунов дает следующее определение устойчивости дви­

жения.

О п ре д ел ен и е . Пусть Lv Lv ..., Ln — произвольно малые положительные числа. Если при всяких Ls, как бы малы они ни бы­ ли, могут быть выбираемы положительные числа Ev Ег, ..., Ek, Е[, Е'г, ..., E'k так, чтобы при всяких возмущениях £у.£у, удовлетво­

В приведенном определении понятия устойчивости по Ляпунову область предельных отклонений координат задается в форме л-мер- ного параллелепипеда (рис. 14.1). Однако, без ущерба для «меха­ нического» смысла, вложенного в понятие устойчивости по Ляпуно­ ву, возможен и иной выбор формы предельных отклонений коорди­ нат. Так, Н. Г. Четаев [112], перефразируя определение устойчивости Ляпунова в координатах xs = Qs — Fs, представляет

определение понятия устойчивости по Ляпунову в следующем виде:

О п р е д е л е н и е . Если при всяком произвольно задаваемом чис­ ле А, как бы мало оно ни было, может быть выбрано положитель­ ное число X так, чтобы при всяких возмущениях х10, ..., хп0, удов­

летворяющих условию 2 *so < X и при всяком t, превосходящем tQ, i

выполнялось неравенство 2 дг*0 < А, то невозмущенное движение

устойчиво; в противном случае — неустойчиво.

Если невозмущенное дви­ жение устойчиво и при этом любое возмущенное движение при достаточно малых началь­ ных возмущениях стремится к невозмущенному движению, т.е. если

задач устойчивости. Методы, которые используются при исследовании устойчивости, могут быть

подразделены на две группы. Методы первой группы характеризу­ ются тем, что при решении задач устойчивости в том или ином ви­ де используются решения дифференциальных уравнений возму­ щенного движения или оценки этих решений, а также некоторые характеристики этих решений. Ясно, что решение задач устойчиво­ сти не представляет трудностей, если удается проинтегрировать уравнения возмущенного движения. Но этого, конечно, удается до­ стигнуть далеко не всегда. Подходы к решению задач устойчивости с использованием решений уравнений возмущенного движения или же каких-то характеристик этого решения принято называть пер­ вым методом решения задачи устойчивости.

А. М. Ляпуновым был разработан второй (или прямой) метод изучения устойчивости, не требующий интегрирования дифферен­ циальных уравнений возмущенного движения. Второй метод иссле­ дования устойчивости, который еще часто называют методом фун­ кций Ляпунова, стал основным методом исследования устойчиво­ сти, не только в постановке Ляпунова, но и в других постановках задачи устойчивости.

Основная идея метода функций Ляпунова состоит в том, что за­ дача исследования устойчивости сводится к отысканию некоторых функций переменных /, xIf ..., хп — функций Ляпунова, полные

§ 14.3. Об основополагающих концепциях теории Ляпунова

Понятие устойчивости по Ляпунову основано на следующих трех концепциях.

бесконечно малыми величинами. В настоящее время общепризнан­ ным является следующее толкование характера лимитации откло­ нений, принятой Ляпуновым: в определении устойчивости Ляпунов использовал понятие числа, а не бесконечно малой величины. По­ этому существо понятия устойчивости по Ляпунову лежит не столь­ ко в характере изменения величин | —Fs| при стремлении воз­

мущений еj, e'j к нулю, сколько в оценках численных величин воз­

(Н. Г. Четаев [112, Примечание 3, с. 464]).

Вто рая к он ц е п ц и я . В определении устойчивости Ляпунова не предполагаются иные возмущающие факторы, кроме начальных возмущений.

Т р е т ь я ко нц еп ц ия . В определении устойчивости Ляпуно­ ва предполагается неограниченное изменение аргумента t.

Первая концепция позволяет с успехом применять ляпуновскую теорию устойчивости для решения многообразных прикладных за­ дач, ибо «для прикладных задач имеет значение не только (и не столько) факт существования чисел еу. по заданным числам Ls,

удовлетворяющих определению устойчивости по Ляпунову, но и оценка этих чисел и проверка пригодности оценок в конкретных условиях задачи» (Н. Н. Красовский [89], В. В. Румянцев [99]). Благодаря этой особенности теория устойчивости Ляпунова в насто­ ящее время завоевала всеобщее признание и с большим успехом применяется в теории автоматического регулирования, а также в смежных областях прикладной механики и техники.

Вторая концепция является уже несколько более обременитель­ ной для применения теории во многих прикладных задачах, ибо обычно механическая или техническая система находится под воз­ действием не только начальных возмущений, но, главным образом, возмущающих сил, приложенных на протяжении всего интервала времени ее функционирования (так называемых постоянно дейст­ вующих возмущений). Однако, как показала дальнейшая эволюция теории устойчивости, учет постоянно действующих возмущающих факторов и соответствующая модификация теории не приводят к изменению принципиального характера основ теории Ляпунова. Методы исследования устойчивости, разработанные Ляпуновым и

его последователями, позволяют безболезненно снять обремени­ тельные ограничения на характер приложенных к системе возму­ щающих факторов.

Третья концепция — неограниченность интервала изменения аргумента i — предоставляется уже серьезным препятствием для приложений. Большинство объектов исследования, по крайней мере все технические объекты, функционируют в течение конечного промежутка времени. Ограничение же в определении устойчивости Ляпунова отклонений Xj на неограниченном интервале времени яв­

ляется весьма существенным моментом, и на этом целесообразно остановиться поподробнее. Устойчивость по Ляпунову, по сути де­ ла, означает равномерную непрерывность х} (решений дифферен­

циальных уравнений возмущенного движения) на интервале [/0, »). Если перейти к ограничениям возмущений на конечном ин­

тервале времени, даже сколь угодно большом, содержательный смысл понятия устойчивости теряется, поскольку при непрерывных правых частях уравнений возмущенного движения на любом конеч­ ном интервале времени равномерная непрерывность решений xs(t) имеет место всегда.

Во избежание отмеченного затруднения возникает, естественно, желание, связав некоторым соответствием свойства процесса на ко­ нечном и бесконечном промежутках времени, свести задачу об ус­ тойчивости на конечном промежутке времени к исследованию ус­ тойчивости по Ляпунову. В некоторых случаях это вполне возмож­ но. Так, в случае линейной автономной системы свойства движения на конечном и бесконечном ( [/0, оо) ) промежутках находятся в

тесной связи, и поэтому при исследовании такой системы, если да­ же рассматриваемый промежуток времени конечен, может быть ис­ пользовано понятие устойчивости, введенное для бесконечного про­ межутка времени, полагая, например, что процесс устойчив на за­ данном конечном промежутке времени, если он устойчив по Ляпунову, и неустойчив на заданном конечном промежутке, если он неустойчив по Ляпунову.

Установление с достаточным основание такого соответствия воз­ можно все же в исключительных случаях. В общем случае понятие устойчивости, введенное для неограниченного промежутка време­ ни, строго говоря, не может быть использовано для оценки свойств процесса в пределах конечного промежутка времени, и вот почему. Задача об устойчивости реальных процессов обычно сводится к ис­ следованию решений некоторых систем дифференциальных, интег- ро-дифференциальных или другого типа уравнений. Исследование устойчивости процесса путем анализа решений соответствующих уравнений допустимо и имеет смысл лишь при условии полной адекватности математической модели физической реальности. Если

такая адекватность выполняется в пределах только конечного про­ межутка времени, то свойства решений уравнений при t -* ею не имеют никакого отношения к свойствам на рассматриваемом конеч­ ном промежутке. Но даже если адекватность математической моде­ ли (системы уравнений) физической реальности соблюдается при всех t > /0, это еще не означает что между понятиями устойчивости

на конечном и неограниченном промежутках времени возможно ус­ тановить разумное взаимно однозначное соответствие.

В самом деле, рассмотрим два векторных уравнения

правые части которых отвечают условиям

В силу свойств правых частей решения этих двух уравнений в пре­ делах конечного промежутка tQ^ t ^ Т совпадают. Поэтому, если

эти два уравнения представляют собой два разных процесса, то на конечном промежутке времени [/0, Т) эти процессы могут быть ли­

бо одновременно устойчивы, либо одновременно неустойчивы (ис­ ходя из единого определения понятия устойчивости). Между тем, может случиться, например, что тривиальное решение первого уравнения устойчиво по Ляпунову, а тривиальное решение второго уравнения неустойчиво, поскольку решение задачи устойчивости по Ляпунову определяется свойствами функций /, и / 2 на проме­

жутке [/0, »), а при 1 > Т эти функции, тождественно совпадаю­ щие на конечном промежутке [/0, Г], могут отличаться друг от друга как угодно.

§ 14.4. О путях дальнейшего развития понятия устойчивости движения

В силу отмеченных в предыдущем разделе обстоятельств, потреб­ ности в первую очередь бурно развивающейся техники XX века вы­ звали в последние десятилетия более или менее интенсивные разра­ ботки других практически содержательных вариантов теории устой­ чивости, основанных на несколько иных, чем в теории Ляпунова, концепциях. Усилия многих исследователей, в частности, были на­ правлены на определение понятия устойчивости процессов на конеч­ ном интервале времени и построение соответствующей теории.

Определение понятия устойчивости движения на конечном ин­ тервале времени, по-видимому, впервые было дано Н. Г. Четаевым [112]. В настоящее время известно несколько отличающихся друг от друга постановок задачи устойчивости на конечном интервале