Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4628 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

..pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
36.1 Mб
Скачать
☆

Т е о р е м а 10.2.3. Если U — матрица простой структуры, то решение уравнения (10.2.1) может быть представлено в виде

П ,

о= I

где = Ка, а 1о = —Ха (Хп — собственное значение, а Ка — ему отвечающий собственный вектор матрицы U).

Эта теорема следует из теоремы 10.2.1, если (при условии, что U — матрица простой структуры) принять р= п.

§ 10.3. Преобразование однородной нестационарной системы дифференциальных уравнений к расщепленной системе

Рассмотрим однородную нестационарную систему вида

А (х , е)

= В(х, г ) х

(т = е/),

(10.3.1)

где /1(т, е), В ( т, е) — квадратные матрицы порядка п, допускаю­ щие разложение по степеням параметра е (сходящиеся или по крайней мере асимптотические):

Л(т, е) = 2 е*Ла(т)’

В { х, е) = ^ eAf№ )

( t e [ 0 , L ] ) , (10.3.2)

k= 0

Jt =0

 

причем det Л0(т) ф 0.

10.3.1. Преобразование к расщепленной системе уравнений 2-го порядка. Предположим, что матрицы А(х, е), В(т, е) четного

порядка п и собственные значения матрицы U{т) = Л^*(т)5(т) могут быть разбиты на р = п/ 2 групп, по два собственных значения в каж­ дой группе, так что

| х;°>(т) - Х</>(х) | > 0

(х, / = 1, 2; т Е [0, L]).

(10.3.2а)

Тогда имеет место следующая Т е о р е м а 10.3.1. Пусть па сегменте [О,Ь\

а) матрицы Ak(x), Bk(т) (Х = 0, 1, 2, ...) имеют производные

по т всех порядков,

б) инвариантные подпространства R,, R2, , .. ,R p п-мерного

пространства R, соответствующие указанным выше р группам собственных значений матрицы U, являются циклическими.

Тогда формальное решение уравнения (10.3,1) может быть пред­ ставлено в виде

р

^'о

(10.3.3)

f|a(*. £)

dt + C2a ( T« е) ?

I L

где скалярные функции qa являются решениями уравнений

А

dt1 + ffl o ( T> Е) + « 2 а ( т > е)Яо = О (10.3.4)

(а = 1, 2, ..., /?);

С/0(т>£) (/ = 1, 2) — векторные функции, представляемые фор­ мальными рядами

Е) = X в ^ 1 (т )

(/ = 1, 2);

(10.3.5)

а уст(т, е) (у = 1, 2) — скалярные функции, представляемые рядами

а /0(*>Е) = 2 е*ауо (т)

(/= 1 ,2 ) . ,

(10.3.6)

*=о

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим выражение (10.3.3) в (10.3.1), исключая при этом d2q j d t 2 с помощью (10.3.4), и в полученном таким образом тождестве приравняем коэффициенты при qa и d q jd t (cr= 1,..., р). Будем иметь

- € ,л „ + С2„) = -вСю.

•rfCe^f - £ „ 0 * ) = .в£0

( о = 1 , 2 .......

р),

или компактнее:

- f i „ V

+ Cy.,o) = ^ ;о

(10.3.7)

 

2 , ...» р; С3с = 0 ) .

( / = 1 , 2 ; o' = 1,

 

Подставим ряды (10.3.2), (10.3.5) и (10.3.6) в (10.3.7) и приравня­ ем коэффициенты при одинаковых степенях е. Получим

(/ = 1,2; о = 1, 2,...

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i|M

 

 

 

 

 

d f j —

 

+ Л, (« ;» '!$ - | » ) 1е1)I +

 

 

 

 

 

 

it

’

 

 

r f j s —

V

 

 

+ X2(a;«U|«' -

%fl u ) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

^ .[«}S«J?+ aJ9-6}“+, ^ S -

i t

 

—

J S « ! S + ^

 

и, вообще,

[ я , !! * - " + . . . + Bk%f + л 4( « $ | | ? -

 

 

 

 

d'tr"

—

V

! $ , „ )

+

 

 

 

+

* * - .

«}.■'!!? +

« J S I t l i ' - s y i , . -

 

ig '

+ *.

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

^ k

s - i,a ? +

 

 

 

 

 

r f f t - 21

 

-

 

 

+ « } « в - п - ц * +- . ? - ^ - ) "

 

 

 

 

 

 

_ a l * - l I f c [ U _

•••

-

g H lfc[* -n

+

V ...

‘

 

 

 

 

 

a/o

Mo

 

“yoMa

~

</t

Первое из соотношений (10.3.8) в развернутом виде запишется

так:

 

У? = £/5|? +ой'51?,

0=i/|j? + ой'II?.

(10.3.9)

 

 

Умножим первое равенство (10.3.9) слева на U и сложим со вто­

рым. Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l/J!!? + a|?l/ll?

+ «4?!l?= 0,

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( t /2 + a j ? t ' + a i ? £ „ ) l ! ? = ° .

 

 

 

 

 

Поэтому система (10.3.9) эквивалентна системе

 

 

 

 

 

( U ^ a \^ U

+ a ^ E n)kl°J = 0 ,

®

= tfll? + « . №

 

 

Тем же путем преобразуем (fc+l)-e соотношение (10.3.8).

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У? = nil? + о,1:1!!? + «!°Д1? - 4 гк" .

 

(10.3.10)

 

 

 

о = 1/5Й1+ «

т е + « т е

- 4

$ - " .

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(£/25i*l +

aj?t/|j‘l + aj?||?) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ a f ? l / | [ ? + ol*1! ! ? - И й - " - < * £ - « = 0,

И Л И

(£/*+ a g 't/ + a g '£„)!{*' = -(a j« £ / + agl £„)&[<? + </'*->

где dlk~ '1= Ud\k~ 11 + dj*-11.

Таким образом, система (10.3.10) эквивалентна системе

(l/2+ a g 'tf + ag? £„)*!« = - (a jJ 'lH - a JJ'E jy » 1+

</J,‘ ’ ".

У*1=

+ «КОД + e|«y*l - d|‘ - ".

 

Вместо уравнений (10.3.8) далее будем рассматривать эквива­

лентные им соотношения

 

 

 

Ч>„(*/)У? = 0,

У? =

+ agiy»1,

 

'Pa(£/)l!J, =

- (o ! 5 't/+ « i;| E„)ysl + 4 ‘ ‘ ".

('0-3.il)

Ш 1= ЬГ%!5' + a g 'll?

+ а |? у ;' - d\k- "

(к = 1, 2, ...),

тае f 0(X) = X2 + og'X + ag>.

Используя (10.2.1) (при соответствующем разбиении собствен­ ных значений матрицы U на непересекающиеся группы), равенства

(10.3.11) приводим к виду

 

2 jrJ%(A,)M sy « = о,

у « = t/igi + в|му«|,

5 = 1

 

2 ЛГ,-Р.(Л,)М',У*1= - ( a I ‘lE + al*l£ „)y»l +rf'* -«, О0-3-12)

У ? = + aj« y « + o g iy ? - d\k- " (к. = 1, 2,...).

По условию теоремы инвариантное подпространство Ra, соответст-

,вующее группе о собственных значений матрицы U, — цикличе­ ское. Поэтому минимальный многочлен этого подпространства есть многочлен 2-й степени с коэффициентами, определенными по фор­ мулам Виета:

Ч>„(Х) = X2 + арХ + «Р ,

а р = -(Х Р + ХР),

а Р = Х рхр.

Примем a fj = а(р (/ =

1, 2). Тогда <ра(Х) = ^Х ),

т.е. фа(Х) •—

минимальный многочлен подпространства RCT, следовательно,

*Ро(*о) = °* Положим

(10.3.13)

о»

где ад — некоторый двумерный вектор-столбец. Легко видеть, что

при таким образом определенных <рс(Х) и ^ первое равенство

первой группы соотношений (10.3.12) выполняется тождественно. Действительно,

£ « .Ч > .(А ,)А /,|{ « =

£ K # J \ , ) M

s K„aa = К # Ж

) а . = 0 .

5 = 1

5 = 1

 

 

Второе же равенство определяет

 

 

Допустим, что уже

построены

a*-'0J (/= 1 ,2 ;

/ = 0,1,..,,

А: —1). Покажем, что к + 1 группа равенств (10.3.12) вполне опре­

деляет

и а $ . Имеем

2

= -(а{51А:0Л0 + а {$ К а)аа + d [k~11.

5*1

 

Здесь

является известной величиной. Принимая во внимание

равенство (10.3.13), получим

£ Л>о(Л5)МД!*' = -(a !* '/roAo + al*l/:0)a<, + 4 * - ‘', 5*1

или, обозначив

*Го"

= (Ло аоflo). *4*' = „ш

а2о

получим

2

^-Р„(Л5)Л/Д!*'

к у у у + d'J-^".

5 =

1

 

При умножении обеих частей последнего равенства слева на М это равенство распадается на р независимых матричных соотно­ шений

4>„(As)?i?

= ~ М ,К У У а + м у у Ч (s = 1,.... р), (10.3.14)

где

— М

. Обозначив

rQ!?'

• • •

Q [ k ]

\yipo)

будем иметь Q{

так что если удастся из (10.3.14) опре­

делить

, то легко построить и искомый вектор £{*• по формуле

US' = KQW.

 

При

s & e имеем

MsKa = 0, а <р0(Л5) в силу условия

(10.3.2а) — невырожденная матрица. Поэтому

( s ^ a ) .

При s — о имеем МаКа = Е1%<р0(Л0) = 0. Поэтому из (10.3.14) следует, что

= M0Sg~ **.

(10.3.15)

Так как Ra — циклическое подпространство, то согласно лемме 10.1.2 существует такая столбцовая матрица аа, которой отвечает линейно независимая система векторов а0, Л0а0. Пусть а0 выбрана из этого условия. Тогда векторы Лааа и а0 линейно независимы и, значит, Я?а — невырожденная матрица. При этом матричное ра­

венство (10.3.15) разрешимо относительно а ^ . Решая его, находим

a[ak]= & ? M adl,*~l]-

Что касается субматриц Q \^, то здесь имеется известная произ­

вольность. В качестве QlkJ может быть взята произвольная квадрат­ ная матрица 2-го порядка, имеющая достаточное число производ­ ных. В частности, можно принять Q^kJ = 0 . Зная £{*' и а}*1, легко

определить и по формулам (10.3.12).

Таким образом, изложенный метод позволяет последовательно построить члены формальных рядов (10.3.5) и (10.3.6), с помощью которых представляется формальное решение уравнения (10.3.1) в форме (10.3.3), (10.3.4). Тем самым теорема доказана. ■

10.3.2.Общий случай

Те о р е м а 10.3.2. Пусть на сегменте [0 ,L]

а) матрицы Ак(т), Вк(т) ( к = 0, 1, 2,...) имеют производные по х всех порядков,

б) собственные значения матрицы U(x) = А^1(х)В0(х) разби-

ты на р групп

...,

(о =

р

п, так, что

1, ...» р), 2

 

 

О

0=1

 

 

I ЦС)Ы-

лу>(х) | > о

 

(s^cr; i — 1,..., ka; / = 1 , . . . , ^ ) ,

причем соответствующие этим группам инвариантные подпро­ странства Rp R2> , Rp являются циклическими подпростран­

ствами п-мерного пространства R.

Тогда формальное решение уравнения (10.3.1) может быть представлено в виде

р

 

dk°~lq

 

 

 

* = 2

 

«) -^ГГГ +

 

 

 

а= I

 

 

 

 

 

 

 

 

+

«)

 

e)«J.

(Ю.3.17)

где qa (а =

1, 2, ...,

р) — скалярные функции, удовлетворяющие

уравнениям

 

 

 

 

 

dtk°

®lo(T’ e) dtkn- 1 +

lo(T»E)

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

аЛа(т, е)?о= 0

(cr= 1, ...,/>),

(10.3.18)

а £уо(х»e),

а уа(т, E)

—■соответственно векторные и скалярные

функции, представляемые формальными рядами

 

 

 

со

 

со

 

 

Су0(х>е) = 2

а.0(т, в) = 2

ЕМ *'(Т)-

(10.3.19)

 

 

Jfc=о

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя метод,

использованный выше,

подставим выражения (10.3.17) и (10.3.18) в уравнение (10.3.1) и

приравняем коэффициенты

при

qa, d q jd t,

dk°~xq jd tk*~l

(a = 1,..., p). Получим

 

 

 

—C la « /o

+ Cy + La) = B?ja

 

( / = 1>

cr= 1,..., p; fjtg+io555®)*

Аналогично тому, как были получены формулы (10.3.8), отсюда находим

y 0i l a = ^ 0a] + « 5 0a1 ^ 0a1 -

Щ io = ^}S + a}S5}« + aJ8 ® - rfJSf.

La = < * } S + a J S ® + а У °Д !а -

 

S $ Ie =

+ «}?«? + «JSU? -

< _11>

( / = ! , . . . ,

k —0, 1, ...J

a S

Для доказательства теоремы достаточно показать, что при соответ­ ствующем выборе членов рядов (10.3.19) матричные соотношения (10.3.20) выполняются тождественно.

Первое соотношение (10.3.20) в развернутом виде представля­ ется так:

= ^ й1+ « т е 1,

у ? = v i s + « т е . -

(10.3.21)

 

 

 

 

 

 

 

iSo = ^1°!-, о +

о 51?.

о =

v l f i

+ « puis1•

 

Равенства

(10.3.21)

 

умножим

слева

соответственно на

С/*»-1, Uko~2, ..., U, Еп и сложим. Получим

 

 

(1А +

аМ£/*а-‘ + ... + <4°L, „ U + a jp iS jy j1= 0.

(10.3.22)

Заменив последнее равенство системы (10.3.21) равенством (10.3.22), далее вместо системы (10.3.21) будем рассматривать эк­ вивалентную ей систему

'р„(^)1й| = о.

1, ....

= т ?> + « р д й 1

(10.3.23)

(У =

— X),

 

где

 

 

 

<р0(Х) = ЯЛ +

1+

+ a к[oj- I a

 

 

 

о

 

Тем же путем преобразуем (& + 1)-е соотношение (10.3.20), которое в развернутом виде выглядит так:

(10.3.24)

Умножим эти равенства слева

соответственно

на Uk«г1, f/*a-2, ...

..., U, Еп и сложим. Получим

 

 

 

(Uko+

а{%ик*-1+ а $ и ко~2+ ... + apL1V + a i« £ ),)l|« =

 

 

о

о

 

=

+ a ^ iA " 2 + ••

+ < '-u,V + <4*Я„)1Й' + dlk-'K

 

 

 

О

о

где

+ ... + U d W a 4 * ;" .

Таким образом, вместо системы (10.3.24) можем рассматривать эк­ вивалентную ей систему

fa W ?!? = - ( “!»

' + < * + ...

+ а1‘11„ £ Н -а '« £ „ )|!;1 + 4 ‘-Ч>

О

О

(10.3.25)

 

 

 

 

- d[j t l]

(/ = 1, 2

, ка—. 1).

 

Теперь покажем, как, используя полученные соотношения, по­ строить члены рядов (10.3.19). Положим

11? = *„в„,

(10.3.26)

где аа — некоторый /^-мерный вектор (матрица-столбец). Тогда

первое равенство (10.3.23) (используя (10.1.2) при соответствую­ щем разбиении собственных значений матрицы U на группы) мож­ но преобразовать к виду

* аЧ>а( Л > 0 = 0.

(10.3.27)

Так как инвариантное подпространство R„, соответствующее группе а собственных значений матрицы U — циклическое, минимальный многочлен этого подпространства является многочленом степени ка, коэффициенты которого определяются по формулам Виета:

гр0(Х) = Хко+ а^ЯЛ"1+ ... + aj^ X + 4°),

о а

арт = -(JtfO + ... +

Х£0),

 

+ ... +

о

 

 

о

 

 

о

 

 

а£> =

( - I ) U P

Xjp.

 

 

 

 

а

 

а

 

 

Примем

а [?J = аИ. Тогда <р0(Х) = зра(Х) и,

значит, <ра(Лэ) =

= -ф0(Л0) = 0 согласно лемме 10.1.1.

 

 

 

В этих условиях равенство (10.3.27) выполняется тождественно.

Допустим, что

уже

найдены

oJ{j

( /=

1,2,

i = 0, 1,

— 1). Определим Ц*1,

(/ = 1, 2,...,

к0). Пользу­

ясь равенствами (10.1.2) и (10.3.26), первое равенство (10.3.25) представим так:

ХЧ>0(Л)А^|*1 = -АГ0(а1«Л‘.-‘ + а ^ Л У 1+ ...

 

 

X «1*1

1*1

-И

Отсюда

 

 

<Р„(Л)СЙИ ----- ШСа(а|«Л*.-‘ + а ^ М у г + ...

 

+ olw-i о К +

К + Ш * - » .

(10.3.28)

Здесь

 

 

QM = М ||« =

• • •

 

 

в я

 

a Qj? “ -W,y? — субматрица типа ks х ка.

Равенство (10.3.2$) распадается на р независимых матричных

соотношений

 

<р.(Л,)ей] =

+ tt^ A jr 2+ ...

... + <4*L,„ л„+ <4*££* )«»+мЛ к~1< и = 1 .... р).

а

о а

При s & a имеем MsKa = 0, а «p0(As) в силу условия (10.3.16) — невырожденная матрица. Поэтому

Q\a = ФвА(Л , ) M sdok~ 11

(« *

°0•

При s - о имеем МаК0— Еко, а <р0(Л5) = 0. Поэтому

( а $ Л У 1+ a^A ja-2 + ... +

0 Л„ + o.[k\E k )аа = Mad lak~li,

или

 

 

(10.3.29)

-2V4*1= Mcdlak

11 >

 

где

 

 

/а 1«\

 

 

 

& о= (Aj“ laa AJ- 2аа

ас),

 

и1о

«Р1-

 

 

 

a [*J

 

 

 

а*а°У

Так как подпространство Ra — циклическое,

то по лемме 10.1.2

при соответствующем выборе столбцовой матрицы а0 столбцы мат­ рицы -й?ст будут линейно независимы.

Пусть аа выбрана из этого условия и столбцы матрицы _2?0 ли­ нейно независимы. Тогда как квадратная матрица с лирейно

независимыми столбцами, — невырожденная матрица. Учитывая это, из (10.3.29) находим

<4‘l = S n 'M -d * -n

(k = 1,2,...).
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности