книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

a(t) — эрмитова норма столбцов матрицы K(i). Учитывая это, имеем

Хдо. Далее в силу равенства (17.2.2), которому удовлетворяет мат­

рица А эрмитовой формы У, получаем dv/dt = 0, т.е. условие 3° теоремы 16.2.1 удовлетворяется. Условие 2° этой теоремы также бу­ дет выполняться, если

а=1

удовлетворяется также условие 2е теоремы 16.2.3.

Таким образом, неравенство (17.2.13) представляет собой необ­ ходимое и достаточное условие устойчивости тривиального решения линейной системы (17.2.2).

§ 17.3. Критерии устойчивости тривиального решения линейной системы

Необходимое и достаточное условие устойчивости (17.2.13) по­ зволяет сформулировать ряд более простых условий устойчивости и

Те о р е м а 17.3.1. Пусть на промежутке [/0, Т)

Г.a(t) ^ <o(t)\

2°. ц (0 < 0 .

Тогда невозмущенное движение (тривиальное решение уравнения

(17.1.2)) устойчиво на [f0, Т).

Доказательство теоремы следует из выполнения неравенства (17.2.13) при условиях Iе и 2° настоящей теоремы. Действительно, при условии 2°

2 ехр [2 ца( 0 0 - *о)] < п ехР 2 К О - О=1

Поэтому

£ 2 ехР I2 Р»(0(* “ *о)]«2(0 * ехР 2 И-(0а2(0 < 0=1

< ехр 2 КО со2(0 < co2(f).

Т е о р е м а 17.3.2. Пусть на промежутке [/0, Т)

Г. a (t) < ш(*);

2°. И о(0^0 (h)(0 = maxReA.o(0)-

О

Тогда невозмущенное движение (тривиальное решение уравнения. (17.1.2)) устойчиво на интервале [/0, Т).

Так как

Отсюда видно, что условие 2° данной теоремы означает выполнение п. 2“предыдущей, уже доказанной теоремы 17.2.1. Это и доказыва­ ет настоящую теорему 17.3.2. ■

Т е о р е м а 17.3.3. Пусть на неограниченном промежутке

[*о> °°)

Iе. а(/) < а>(0;

2" к о < -by

где b — положительная постоянная. Тогда невозмущенноё движе­ ние (тривиальное решение уравнения (17.1.2)) асимптотически устойчиво на [*0, «>).

В самом деле, при выполнении условия 2° очевидно выполняет­ ся и условие 2* теоремы 17.3.2. Для доказательства теоремы оста­

ется показать, что все решения уравнения (17.1.2), удовлетворяю­ щие условию

(К l(t0)x, (К '(/0)*) < р2.

удовлетворяют условию Нш дс(<) —0. Но последнее имеет место в

силу того, что

exp J Re Xa(t)dt < J V-(t)dt < expj (—b)dt =

0 0 0

= exp [—b(t — f0)] -*0 при t -* °o.

Следующая почти очевидная теорема определяет условия существо­ вания конечного промежутка времени, на котором процесс устойчив.

Т е о р е м а 17.3.4. Если па промежутке [/0,

то существует конечный промежуток [<„*, Т) С [/0, f j, на кото­ ром невозмущённое движение (тривиальное решение (17.1.2)) ус­ тойчиво. Иными словами, процесс K% — устойчивый на проме­

§ 17.4. Нелинейные системы

Рассмотрим нелинейную систему уравнений возмущенного дви­ жения в виде

где P(t) — квадратная матрица порядка п, непрерывная на задан­ ном промежутке [f0, Т), h(t, х) — столбцовая матрица, такая, что

на промежутке [f0, Т)

(17.4.2)

равномерно no t. Примем функцию Ляпунова в виде

где A(i) — матрица, рассмотренная в предыдущем параграфе, т.е. решение матричного дифференциального уравнения

а (0 — некоторая дифференцируемая по t функция, причем а(/0) = 0. Полная производная по t функции (17.4.3) в силу урав­ нения (17.4.1)

Если da/dt > е> 0, то знак правой части равенства (17.4.6) в силу (17.4.2) при достаточно малых ||x|| определяется знаком про­ изводной da/dt.

1. Примем а(/) ——e(t — t0) (е>0). Тогда da/dt — —е и dV/dt< 0 при достаточно малых |]х||. В этом случае функция (17.4.3), как легко видеть, удовлетворяет условиям 1° и 3° теоремы 16.2.1 об устойчивости. Если

iS p [e - ”'/ r '( 0 ] ^ » 2(0 .

то будет выполняться и условие 2° теоремы 16.2.1. Так как

i e'< '- V S p ^ - 4 0 > ;S p А -‘(1).

то получаем условие устойчивости в виде

2. Положим а(/) = е(/ —10). Тогда dV/dt> 0 при достаточно малых ||х||, так как da/dt = е > 0. В этом случае, как легко видеть, функция (17.4.3) удовлетворяет условиям Г и 3° теоремы 16.2.3.

Если

то будет выполнено и условие 2° теоремы 16.2.3 о неустойчивости. Так как

то условие неустойчивости системы получаем в виде

§17.5. Еще один метод построения функций Ляпунова

Впредыдущих разделах построение функций Ляпунова и усло­ вий устойчивости основаны на возможности преобразования линей­ ной системы к диагональному виду. Однако матрица такого преоб­ разования в качестве сомножителя содержит фундаментальную матрицу X , точное выражение для которой в конечном виде далеко не всегда удается получить. В связи с этим представляется целесо­ образным построение функций Ляпунова и с их помощью условий устойчивости, с использованием преобразования линейной системы

ксистеме, близкой к диагональной.

Для поставленной цели нам надо построить матрицу K(t) пре­

Л — диагональная матрица с диагональными элементами А.,, Х2, ...

.... Хп; Q (0 — нормирующая диагональная матрица, обеспечиваю­ щая выполнение условия (17.5.3), причем й (/0) = Еп (Еп— единич­

ная матрица порядка п \ Если принять М0 = K~l(t0), то требование 1° также будет удовлетворяться. Действительно, так как /(г0) = Еп = / “'(/0). то ПРИ 1 — *о имеем

*('о) = K(to)E„K-'(t0)G0Ean (,B) = С0.

Полная производная по t от функции V в силу уравнения возму­ щенного движения (17.1.2) определяется соотношением

dVdt = / Re

Пусть Kj(0» 1*2(0 »•••> p.„(0 — диагональные элементы диаго­

a vmax(r) — максимальное собственное значение эрмитовой матри­ цы R. Тогда при выполнении неравенства

М О + v „ , ( 0 < ( £ > 0 W е Ко. И ) 07.5.17)

будем иметь dV/dt < 0 при достаточно малых ||у||.

Таким образом, функция V, построенная в форме (17.5.13), удовлетворяет условиям Г и 3е теоремы (16.2.1). При выполнении

система устойчива.

Исследование устойчивости системы по предлагаемой методике нужно проводить в следующей последовательности. Тем или иным способом строятся матрицы К, А и Pv удовлетворяющие соотноше­

нию (17.5.11). Затем определяют матрицу Q из условия (17.5.3) и

условия а2(0 ^ а>2(0- Наконец, проверяют выполнение соотноше­ ния (17.5.17).

Построение матриц К, A, Pi на основе (17.5.11) удобно прово­

дить с использованием алгоритмов асимптотического расщепления неавтономных систем уравнений (см., например, [1, с. 392—395]).

ГЛАВА 18

^-УСТОЙЧИВОСТЬ НА НЕОГРАНИЧЕННОМ

ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

§ 18.1. Вводные замечания

Понятия Ад-устойчивости на конечном интервале [*0, Т) (Т< оо) и неограниченном ([Z0, »)) интервале нами были опреде­

то невозмущенное движение устойчиво на интервале [*0, Т). В про­ тивном случае — неустойчиво. ■

Первоначально в определении понятия Ад-устойчивости требо­ валось лишь существование матрицы G(t) в классе Ад, удовлетво­

ряющей неравенствам (18.1.1) и (18.1.2) без дополнительного огра­ ничения множества допустимых матриц условием

Однако, как показали подробные исследования при отсутствии ог­ раничения (18.1.3) в случае Т< « получаются чрезмерно широкие границы устойчивости в ущерб содержательности понятия устойчи­ вости как характеристики качества движения. Что касается случая неограниченного интервала Д = [/0> »), то расширение множества

допустимых G(l) за счет снятия ограничения (18.1.3) не наносит

Представляет интерес и выяснение того, в каком соотношении находятся понятия .^-устойчивости, введеные выше, и классиче­

ское понятие устойчивости в смысле Ляпунова. Этому вопросу по­ свящается следующий параграф.

$ 18.2. Устойчивость по Ляпунову и Ад-устойчивость

на неограниченном интервале времени

Рассматривая механические системы, возмущенное движение которых описывается системой уравнений вида

Г. оно устойчиво (в смысле определения 18.2.1);

2е, для любого t Е [а, «>) существует Д = Д(*0) > 0 такое, что все решения *(/), удовлетворяющие условию ||х(*0)|| < А, облада­

ют свойством lim ||х(0Н = 0. ■ /-♦Oft