книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

произвольная, нужное число раз дифференцируемая матрица типа ка х 1. В частности, можно принять QM = 0 .

Итак, указанным путем можно последовательно определить члены рядов (10.3.19), с помощью которых представляется фор­ мальное решение уравнения (10.3.1) в форме (10.3.17), (10.3.18). Теорема доказана. ■

10.3.3. Случай простых собственных значений матрицы сис­ темы. Если на сегменте [0, L] все собственные значения матрицы

U остаются простыми, то, оставляя в каждой группе по одному соб­ ственному значению, будем иметь

| Х0(т) — Х5(т) | > 0 (s ^ o ; s, о = 1, ..., п).

В соответствии с теоремой 10.3.2 решение системы (10.3.1) может быть представлено равенствами

В формуле (10.3.26) в данном случае а0 — скалярная величина. По­

(о — 1, ..., л). Легко видеть, что последние соотношения в точности совпадают с соответствующими соотношениями, приведенными в § 8.6, и лишь отличаются некоторыми обозначениями, а именно:

Таким образом, в рассматриваемом случае применение обоих методов расщепления, как и следовало ожидать, приводит к одина­ ковым результатам.

Матрица А, отвечающая оператору А в произвольном базисе, свя­ зана с матрицей J соотношением подобия: А = KJK~l. В соответст­ вии с этим линейная стационарная система dx/dt = Ах (А = const) при замене переменных х = Ку распадается на р неза­ висимых подсистем

= Л Л (а = 1 , ... ,р )

(у,, ур — субматрицы столбцовой матрицы у с размерами соот­

Теоремы предыдущего параграфа показывают, что, подобно ста­ ционарной системе, и однородная дифференциальная система при из­ вестных условиях может быть расщеплена на подсистемы, матрицы коэффициентов которых имеют структуру матрицы / 0. Действитель­

но, если, например, какое-нибудь уравнение расщепленной системы (10.3.18) представить в виде системы уравнений 1-го порядка, то по­ лучим систему с матрицей типа / 0. Оказывается, что и неоднородная

дифференциальная система при довольно общих предположениях может быть расщеплена на подсистемы с матрицами типа / 0.

Рассмотрим векторно-матричное уравнение

A(x,e)4A=B(T,z)x+f(t,T,e) (x=zt), (10.4.3)

где х а / — столбцовые матрицы типа их1, а Ли 5 — квадратные матрицы порядка п, допускающие на сегменте 0 ^ т < L разложе­ ния (сходящиеся или по крайней мере асимптотические) по степе­ ням параметра е:

по т всех порядков, а Д^т), кроме того, является невырожденной матрицей,

б) собственные значения матрицы П(х) = А^{(х)В0(х) разби­

странствами п-мерного пространства R относительно линей­ ного оператора U, которому в некотором базисе отвечает

определяющие вектор х, в систему (10.4.3) и отделяя в полученном

относительно е, необходимо и достаточно, чтобы члены разложений матриц Ка и Л0 были решениями матричных уравнений

В силу условия (б) теоремы могут быть построены квадратные матрицы

же раз, сколько раз дифференцируема матрица £/, и удовлетворя­ ющие соотношениям (10.1.2).

Далее, поскольку Ла-мерное подпространство Rc, отвечающее группе о собственных значений матрицы U, — циклическое, то ми­ нимальный аннулирующий многочлен этого подпространства <ра(Х) есть многочлен степени ка, коэффициенты которого

но сделать так, чтобы Ла совпадала с /„ в форме (10.4.1). Учитывая это, далее будем считать, что в разложении (1.2) Aa = Ja

(о> — 1, ..., р).

С помощью соотношений (10.1.2) легко проверить, что при под­

Остальные члены разложений матриц Ка{т, е) и Аст(т, е) после­ довательно могут быть определены следующим путем. Допустим,

В том случае, когдаЛ**] (к = 1, 2, ...) имеют структуру (10.4.8), к-е равенство (10.4.12) эквивалентно системе уравнений

где

d[k-i] = ^ - 1 ^ - ц + _ + u d u - i ] +

о

Пользуясь соотношениями (10.1.2), равенство (10.4.14) можно пре­ образовать к виду

Полученные соотношения позволяют последовательно опреде­ лить члены разложения (10.4.7), посредством которых представля­ ется формальное решение системы (10.4.3) в форме (10.4,5)— (10.4.6). Тем самым теорема доказана. ■

Аналогичным путем доказывается и следующая Т еорем а 10.4.2. Пусть на сегменте [0 ,L\

а) матрицы Ак(т), Вк{т) (к = 0, 1,2, ...) имеют производные

R2, ..., Rp являются инвариантными и циклическими подпрост­

ранствами п-мерного пространства R относительно линейного оператора U, которому в некотором базисе отвечает матрица U.

Тогда формальное решение системы (10.4.3) может быть представлено равенствами

§ 10.5. Асимптотические оценки приближенного решения системы

Вектор (столбцовую матрицу) xm(t> е), определенный равенст­

вами (10.4.5) и (10.4.6) или (10.4.19), (10.4.20) в предположении, что в разложениях (10.4.7) (соответственно (10.4.21)) оставлены лишь члены порядка не выше т относительно е, назовем прибли­ женным решением системы (10.4.3). Итак, приближенное решение представляется равенствами

условия дифференцируемости матриц Av, i?v, сформулированные в

теоремах 10.4.1 и 10.4.2, могут быть ослаблены; для формального построения приближенного решения хт достаточно существования

лишь первых m —v производных матриц Ау и Bv (v «s m).

При условии, что матрицы Av и Bv (v < т) имеют на [0, Ь\

производные по т до (m — v + l)-ro порядка включительно, а f(t, т, е ) — непрерывная вектор-функция, регулярная относитель­ но е в окрестности точки е = 0, имеют место следующие оценки для приближенного решения хт (в данном случае полученные оценки совпадают с теми, которые были получены в § 9.10).