Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

36.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

(л — £,) х л.	Матрицы Kv Мр	а значит и	определяются
посредством	матрицы (см. гл. 5).
	А Ю - Г Н А - М У		(11.3.13)
	5 = fc, + 1
из соотношений
	А( А) = К,М01,	Л/, =

В данном случае, поскольку Хк +1, .... Хп = О,

Л"!	1 Га« 1^
0	0
д 1(л () = и г А>=
0	0
\

Подвергая А ,(Л,) скелетному разложению (см.

АП —k.—l	А
л н 1	л 1р
	0
	•
	0

§ 2.9), получаем

	(Ек \
*i =	О	Ч , = (АТ1АТ'■' АгАГ *1' 1Ар)
и далее	1 ° /
и далее

(ЯН Г *'"' АР) |[o']

(м ,,* ,) - 1=	fcj —Л	,
	д,,1	»

— АП - А, ^11 '»

и, следовательно,

м , = а \\ пм 0{ = а \\ П(Л|,,-*1 Л?, *i 1Л12... Л^ Л1_ , Л1р),

т.е. М1— (£ ^ Л,/ Л, 2 ... Л|^Л|р).

Аналогичным образом матрицы К2 и М2 определяются посред-

ством матрицы А2(Л1) = (Л1—\ Е п), где X,, Х2, Х ^ — суть j =1

собственные значения субматрицы Ли матрицы Av

В данном случае при построении К2 и Мг можно избежать не обходимости определения собственных значений матрицы Лп, если

воспользоваться приемом, указанным в конце § 5.9. Имеем

	Ч	д /	^12	Л п 'А 1р'
р \ = * 1 ^ 1	=	0	0	0
р \ = * 1 ^ 1	=				7
		0	0	0
			F А~1	^12	^Г \|1у1[Р
рг = * п - р 1 =	0	>	0	0		0
рг = * п - р 1 =	1 —к
	1 —к
		V	0	0		0
			0	0		0
И Л И
О -АТ}А			^ii'А р
	11 ^12		^ii'А р
Р2 ~			"п —к.
			"п —к.
Разлагая Рг на множители, находим
AM l2	_—1/4		\
AM l2	-	Л 11 Л 1р		м.2=	(О я,.-*,)•
* 2 =	-			м.2=	(О я,.-*,)•
Еп—к.
Квадратная матрица				Л 11 л 1р
К = (К ,К 2) = 4 /Г .Ч г				Л 11 л 1р
				Л - 1 л	\
		о		Jn - k Ч
				Jn - k Ч
преобразует матрицу	А,	к	квазидиагональному				виду
А = diag (А,, Л2) так, что
	АХК = К А ,					(11.3.14)
Aj = MiAlKl = AiV			A2= M 2AlK2= 0.			(11.3.15)
В самом деле,
М1А1К1= (А,,1А12 ... А1}А1р) \|			=
		=	(Ах} А12 ... Ап1А1р) \|			=	А1Ху

= (О Е, . ti) l'4" '0'

а:, = оаг2 = 0.

В силу (11.3.14) в соотношениях (11.3.11) можно принять

4 0' = /со,	Д1°1эЛ0	(0 = 1 ,2 ).		(П.3.16)
11.3.2. Построение А*1 и Л^1. Построение А'*1»				из мат-
ричного уравнения (11.3.2)	приводится	методом,	изложенным в
§ 9.2. Имеем (см. (11.3.12))
Л KW =	+ JCjpiAj*» +		ч.

Из построенных выше матриц Му и Мг образуем квадратную мат рицу

(МЛ	(е	а ~ха	ЛГ,ЧР'
	C/fc,	11 Л12
W		0	I

Легко проверить справедливость соотношений
М К= К М = Е п,			(11.3.17)
	МА1К = А.		(11.3.18)

Учитывая все эти соотношения, умножим (11.3.12) слева на М. По лучим

AQi1= QiJAa + МКаAj14- M2)i-4,	(11.3.19)
где
Qtfl = MtfJ*I.	(11.3.20)

Матрицу Qi*1, состоящую из п строк и кв столбцов (при о = 1 имеем ку, а при су = 2 имеем ка — п —&,), представим в виде блоч ной матрицы:

	ей*1 = coi (Q[kj е й '			QW),
где Qia —	Здесь	е!*1.	Q!*1.	e ll', е й '	— матрицы
размеров соответственно		куХку,	куХ(п — кг),		(п — ку)х ку,
(п — ку) X (п — ку). Так как А имеет квазидиагональную струк

туру, то равенство (11.3.19) распадается на два			независимых
матричных равенства:
+	+	( s = l,2 ) .		(11.3.21)
При s = а отсюда находим
л'' = A0Q'' - е й 1Л. -	М М * -"	(0 = 1 ,2 ).		(11.3.22)

При s ^ a из (11.3.21) имеем
AsC ^l = Q]5lA0 + MJZ)i‘ - 1'.					(П.3.23)
Из (11.3.23) в силу (11.3.15) имеем
An Q[^ =		при	s = 1,	о = 2;
О = Qjf1Ап + Мгй[к ~11		при	s = 2,	о = 1 .
Следовательно,
Q $ = A-ilM lD\l‘-'K	Qif1= JV/jDj1-11 Л“'.				(11.3.24)
Что касается субматриц		( а — 1,2; А— 1, 2			,...), то в

качестве этих матриц могут быть приняты соответствующих размеров произвольные, достаточное число раз дифференцируе мые матрицы.

Используя произвольность выбора матриц			примем
	(о = 1 .2 ; * =	1 ,2 ,3 ,...).		(11.3.25)
При этом
= [M 2D \к- и л - ‘\| ■ Й*1=			О	/
В соответствии с этим

К\» = tfQj*1=	К гМгО\к~"А ^ = PtD\|* - « Л7,',
К[1' = KQW = K tA tfM tD ? -0 = diag (Arf, 0)P1D ^ ~ lK
Итак,
K\k] =	= diag (>lJil, 0)P£2)i*-«.			(П.3.26)
Выражения для	при условии (11.3.25) принимают вид
AW = MaD\f-~ 11 (о =		1,2).		(И .3.27)

Матрицы К)**, A £*J, D\f ~ представим в виде блочных матриц

где К\\К К.\£, Л-21» * Z)!!1 — матрицы типов соответственно kt х A,, А{х (и — А,), А,- х Ар А, х (n —At).

Из соотношений (11.3.26), (11.3.27), используя вышеприведен

ные (см. (11.3.12))			выражения для				нетрудно установить
следующее:
^l*1—О	при	А =	1, 2 ,..., Ц, — И-2— 1;
ХДО = 0	при	у =	2,	.., р\	А — 1, 2,..., \|ij		(iy 1»
				при	А =	1, 2, 3,...;	(11.3.28)
				при	А =	1, 2, 3,...;
К $ = 0	при	/ =	2,	.., р,	А=	1, 2,
Л}? = 0	при	j =	2,	.., Pi	А	1, 2,..., Ц‘	1; v (11.3.29)
				■^22 ~ ^21^11*^12 ... ^21-^llMlp\|.
						О

В силу последних соотношений матрицу A(t, е) можно записать так:

		A2(f, е) =					е),	(11.3.30)
где
£(£) . =diag (Bv				* - iS £ v ....
Я-
	' B°2U, •)'		'■»**(<»£)				ЩрО.*)'
я°(<, е) =								(11.3.31)
я°(<, е) =							*
							*
		«)(			*)		(f, е>
		«)(			*)		рру ’	*)
Я?((, е) =	2	e‘AjSi-',1+*l(0 .				<= 2, 3 ,.... р.
Матрица - 8 ° ( * ,	е )	такова, что
					_		(^ 2 2 (0 •••
		(Л Й о			-	(	О
					-	(

причем (см. (11.3.29)) блок B22(t) - А22А2ХАХ{АХ2 является при г ^ 2 и условии (11.3.2) невырожденной матрицей; точнее Idet Л22| э. с, > О на /. Это следует из условия (11.3.2) и равенства

*Ахх Л12	—del Лр det (-^22” А2{АХХАх2)>
det Агх А22

И	вообще,	матрица	J3°(*, 0) = B(t) = (Btj(t)) в	силу условия
( \ \	3 7.V П П	- Й И П 1Л А Л П А Л и	п б п Я Л Я Р Т янялпгиинл М Я Т П И Т Г Р	А ( снойгтипм

	'в и	V
		V
det		>СХ> 0,		/ =	2 ,3 ,...,	г,
	л *			2 ^ г ^ р.
	л *
А Ж	ЖЖ W 1 \| А П / П П ^ i r j g l		л M U V U V I W		^	/ т л ^ я я л

дующим выражениям для членов разложения А/а(/, е):

A/i01 = Ма, М™ = М,(К™ М * '» + + ^ М ) ( а = 1,2; Л = 1,2, 3,...),

где

(11.3.32)

к еле-

(ПЗЗЗ)

!м^к^
КГ'1= (/с\|1 4 41), М ' « =	M\|t\| .
\	2 1

Соотношения (11.3.33) позволяют последовательно определить чле ны разложения Ma(t, е).

Несколько подробнее рассмотрим разложение M2(t, е). С этой

целью матрицы М[к^ представим в виде блочных матриц

'м &

М ^1= ...

мЩ

\ р2,

где му£ — матрица типа к fXn. Соотношения (11.3.28) приводят к равенствам

М{I1= 0 ,	/ = 2, 3, ...,р; Л=1, 2, ...,ц1—	1.	(11.3.34)
Учитывая (11.3.33), имеем
	/ оо	\
	2 еА ф ~^ + 1
	*=о		(11.3.35)
М2(/, е) =	М2+ Л ->‘. 4 ‘1 4\|		(11.3.35)
М2(/, е) =	М2+ Л ->‘. 4 ‘1 4\|

\ А= 0 / В силу (11.3.32) и (11.3.33) уравнение (11.3.5) уравнения (11.3.3) принимает вид

е"‘ = ^°(Л + /(<. е).

в форме записи

(11.3.36)

где

# 1 = {\h.Ek ’ V-iEk > VpEk )’ /о» е) = М2(/, е) fifty. (11.3.37)

Вышеизложенные результаты позволяют сформулировать следу ющую теорему.

Т е о р е м а II .3.2. Пусть

Iе Матрица A°(t, е) голоморфна по обеим переменным в обла сти /x Q и имеет асимптотическое разложение вида (11.1.4).

2°. Матрица в области I х Q голоморфна по е и удовлетво ряет условиям существования и единственности решения задачи Коши.

3°. Матрица А(1) = Л°(/, 0) удовлетворяет условию (Г1.3.2). Тогда 1° Система (11.1.3) может быть формально удовлетворена

выражением

х = £,(/, е)у, + K2(l, г)у2,

где у, и уг — соответственно решения векторно-матричного уравнения

Ц*- = А,(/, e)yt + Mx(l, е)fifty

к{-го порядка и уравнения

e"i	= fi°(/, е)у2 + /(** е)	(11.3.38)
п — кх-го порядка.
2° Если в условии	(11.3.2) г >2, то матрица B{t) обладает
свойством (11.3.38).

3е. Матрицы Ka(t, е), Aa(f, е), 13°(f, е) определяются соотно

шениями (11.3.6), (11.3.15), (11.3.16), (11.3.26), (11.3.27), (11.3.28), (11.3.31), (11.3.33), (11.3.35), (11.3.37).

Уравнение (11.3.38) порядка п — кх имеет такую же структуру,

что и исходное уравнение (11.1.3), поэтому, если в условии (11.3.2) г > 2, то к уравнению (11.3.8) применима доказанная теорема и, зна чит, снова можно произвести отщепление подсистемы порядка к2, со

ответствующей второй по темпу группе движений. При этом остав шаяся часть системы будет иметь порядок п — кх—к2 и по форме

опять будет аналогична исходному уравнению; поэтому при г 5* 3 в условии (11.3.2) возможно отщепление подсистемы, отвечающей третьей по темпу группе движений, и т.д. Этим путем при г = р — 1 можно произвести полное расщепление р-темповой сингулярно воз мущенной системы на р однотемповых подсистем.

§11.4. Приближенное решение уравнения (11.3.1)

В§ 11.3 было приведено построение формального решения век торно-матричного уравнения (11.3.1)

W = Ж = £)-v + е),

где Л°(г, е) — квадратная матрица п-го порядка, определенная на интервале / = [/0, Г) ( Г > / 0) и в области Q = {е: е *5 е0) , допуска ет асимптотическое разложение (11,1.4); tp(/, е) — столбцовая мат

рица типа n x l , определенная	в области / х й		и голоморфная в
этой области по обеим переменным;		— квазидиагональная мат
рица, а именно
= diag (Я, , (f."		Et ,..., Л -	).
1	2		р

Согласно теореме 11.3.1 (или теореме 11.3.2) векторно-матричное уравнение (11.3.1) допускает формальное решение

причем	х=	К(т, £)у,	(11.4.1)
причем
“jf =	т, е)у + М(т, e )£ fV ,		(11.4.2)
где
£(т, е) = Я(т) + 2 tkK [k](x),		М(т, е) = М( т) +	£ в*Мш (т),
* =1			* =1
А(т, E) = A ( T) + 2 E*A W (X).			(11.4.3)
А(т, E) = A ( T) + 2 E*A W (X).

к =I

***т* j-ц.

Здесь /Г, М, Л — блочные матрицы, а именно:

м.

	К = ( К 1К1>, А = (^ д '	м = ' м [
	V	м = ' м [
	V
	В соответствии с этим

*»*'= (*]*! 4*1),

A'*J =

'л|*1 0 '

О >

м \к\ _

ir i

1м [ к] /

В соответствии с формальным разложением (11.4.1)—(11.4.3) при ближенное решение хт уравнения (11.3.1) представляется так:

	** = *">(!, £)у,т>		(11.4.4)
dy			(11.4.5)
' /71	= A(w,(i, e)ym+	M<">(т, е)££><р,	(11.4.5)
' /71
dl
dl

где

	т
К(т)(г, е) =	К(х) + ^	e*KU,(x),
	k=1
	.72
Л*<н’>(т, е) =	М (х)+^£*М и \|(х),		(11.4.6)
	*= I
	т
е) = Д(т) + ^		£Л1*(т).

к=1

11.4.1. Асимптотические оценки приближенного решения. Для построения асимптотических оценок приближенного решения (11.4.4)—(11.4.6) мы также, как и в § 9.10, воспользуемся методом Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [25]. В соответствии с основной

идеей этого метода матрицу Кт(х, е) будем рассматривать как мат рицу некоторого преобразования переменных в уравнении (11.3.1):

x =		в)у.	(11.4.7)
В результате подстановки (11.4.7) в (11.3.1) получаем
el*.&'п)(т, е) ^ = [£JU°(/, е	) е )	- е»*.+1	]у +

С другой стороны, имеем (см. (11.3.7)):

(U е) = ^(т, е)Л(х, е) +

е ) . (11.4.8)

+1dK£ - их

и, значит,
e>*i+1d- m^ ' е> = Л°(х> е)/^ш>(т, е) -
- ^'">(х, е)Л<я,>(т, е) + е",+ 1Л'1(х, е),	(11.4.9)

где Л!, — матрица, регулярная относительно е в окрестности точки

е = О,

Используя (11.4.9), уравнение (11.4.8) представим так:

At">(T, е) ^	= A<m>(x, e)A(w,(x, е)у+
	_1 Е'и + 1^ ( Tj е)^ +	£j'Vp(/, е ) .	(11.4.10)
Матрица К^,п\ х , е ) является регулярной		функцией от	е , причем
А^,н)(х, 0) =	К(х) — невырожденная матрица. Поэтому существует

такое положительное число EQ, что при е ^ е^ матрица /^п9(т, с) — невырожденная.

Предполагая, что е ^ е0> умножим обе части уравнения (11.4Л0)

на 1С<м>“ 1(т, б) слева. Получаем

I I = А^>(т, е)у + в” *■1Х<т) ~1ЛТДт, е) у +

	+ A<w>" 1(т, е)	е).	(11.4.11)
Вычитая	из равенства (11.4.7) равенство	(11.4.4), имеем
х — Хт =	/Д'п>(т, е)(у — ут). Отсюда
	£)11 Ну — y,nW		(н.4.12)

Таким образом, задача по оценке нормы разности л* —х т сво дится к оценке нормы столбцовой матрицы z — у — у т , которая,

как это следует из равенств (11.4.5) и (11.4.11), удовлетворяет уравнению

^	=	Л(»”)(т, e)z +		е) _	м^т\ т, е)]£<п£><р(г, е) 4-
				4* ет +1К('п)		г )		у .	(11.4.13)
	Оценку погрешности приближенного решения проведем раз
дельно для промежутков 0				L	и ^ г ^	(L,		t2 — фиксиро
ванные числа).					оценка	на	промежутке 0 < т			.
	11.4.2.		Асимптотическая
Запишем (11.4.11) в виде
			& = A M y + tm + LN2y + N r						(11.4.14)
Здесь N 2 , N 3			— матрицы, регулярные относительно е в						окрестности
е =	0.	Оценим сначала на промежутке [О, L]					решение y(l) одно
родного уравнения
			^1 = д(ш)у		zm + lN 2y,				(11.4.15)

начальное значение которого ограничено условием || у(0) || $ с0. Пе

регруппируем слагаемые правой части (11.4.15), принимая во вни мание (11.4.6). Будем иметь

	dt	—Лу 4- еЛГ4у,				(11.4.16)
	dt	—Лу 4- еЛГ4у,
где
т		л =	(Ai	° N	0\	(11.4,17)
N A - 'Z	1дШ + t,nNv		(Ai	° N	0\
N A - 'Z	1дШ + t,nNv		о	л.	о о
к«*1

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.67 Mб1Материаловедение..pdf
#
12.11.202316.8 Mб3Материалы для сооружения газонефтепроводов и хранилищ..pdf
#
12.11.202315.41 Mб4Материалы кабельного производства..pdf
#
12.11.20236.51 Mб0Материалы Межрегиональной научно-практической конференции (юбилейные чтения), посвященный 50-летию методического объединения библиотек государственных вузов Пермского края и 65-лет..pdf
#
12.11.20238.28 Mб9Материалы на основе ненасыщенных полиэфиров..pdf
#
19.11.202336.1 Mб7Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем..pdf
#
12.11.20234.43 Mб2Матричные алгоритмы в теории оболочек вращения..pdf
#
19.11.202326.59 Mб1Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем..pdf
#
12.11.202310.37 Mб1Матричный метод анализа электрических цепей..pdf
#
12.11.202312.84 Mб6Машинный анализ и моделирование электрических цепей..pdf
#
13.11.202322.92 Mб5Машины для монтажных работ и вертикального транспорта..pdf