книги из ГПНТБ / Измайлов А.Ф. Аналоговые вычислительные машины и их применение в ВМФ учебное пособие с элементами программированного обучения
.pdfометра будет использовано только 75, но значительно упростит реализацию всех коэффициентов машинного урав нения.
Для определения единого масштаба переменных восполь зуемся известными характеристиками полиномов Лежандра:
в интервале |
: |
|
O ^ P n ( t ) * i ■ |
|
п (п+4) |
|
0 * Р ' ( О ! |
следовательно, выходные иапрявения интегрирующих блоков должны быть ограничены
U' ^ |
2 |
1 |
|
п(п + -/) |
= ( 0 ,0 3 4 7 - 6 - 7 ) т х - 1 , 626 |
. |
|
(7г ^ 2 |
|||
215
Отсюда
WOt
—5 0 ^ е д .
2 е д
Начальные условия определяются по формуле
U2 (0 )= 2 Х (0 ) т х= - 2 ^ S O - ~ 3 J , 2 5 t ,
при этом
O^Cf2 ^ iO O t ;
O ^ C /f ^ 3-1,256 .
Решение дифференциального уравнения Лежандра и ре зультаты обратных масштабных преобразований представ лены на рис. 3.23.
216
Рис. 3.23
.'17
§ 10. 0 решении нелинейных дифференциальных урав нений на Ш
Подготовка нелинейных уравнений заключается в про ведении масштабных преобразований, которые преследуют цели, тождественные рассмотренным выше, но выполняются
внесколько ином порядке:
-выбор масштаба аргумента;
-выбор масштаба переменных;
-настройка функциональных преобразователей;
-составление блок-схемы;
-определение коэффициентов передачи блоков. Масштабы переменных устанавливают на втором этапе;
они нужны для настройки ФП и входят в условия определе ния коэффициентов передачи, которые должны не только реализовать коэффициенты машинного уравнения, но и скомпенсировать "самопроизвольное" умножение произведе ния (или частного) переменных на величину, зависящую от масштабов тх , возникающее при работе блоков про изведения или деления.
Оптимальные величины масштабов аргумента и перемен ных определяют, кейс и прежде, на основе информации, по лученной либо путем анализа излучаемого физического процесса, либо из предыдущих решений аналогичных за дач, либо в результате пробных решений на АВМ. Иногда бывает возможным использовать для нахождения масштабов решение соответствующих линеаризированных задач или их моделирование на АВМ.
Для иллюстрации рассмотрим подготовку уравнения Ван-дер-Поля к набору на АВМ:
213
p * x (t) - 1 , 2 [ j - x ( t ) ] p x |
( t ) t W x C i ) |
= o ; |
||
x ( 0 ) = 1 |
j |
f > x ( 0 ) —0 . |
(3 .64) |
|
Масштаб аргумента выбираем, стремясь к выравнива |
||||
нию коэффициентов! |
|
|
|
|
/77. |
|
~ |
У |
|
V /44 |
12 |
|
||
t |
|
|||
Выбранная величина |
m t |
преобразует |
уравнение |
|
(3.64) к виду |
|
|
|
|
р гХ (? ) - 0 ,1 [ l - X |
2( 'i) ] f > X ( 7 ) + X ( 7 ) = 0 • |
|||
Х(0)-1 ; РХ(о)—О. |
(3.б5) |
|||
Построим уравнения для напряжений, используя еди |
||||
ный масштаб переменных; |
|
|
||
тх р 2Х~0,1т1(р Х + 0,1т 2хХ тх р Х ~ г |
+ т уХ = 0 |
|||
тх
или
и ? и
tjp*x-o,w■-Kv-Lpi tCrx. 0 ,
‘m v
C/x ( 0 ) = i - m x -, Uf X ( 0 ) - 0 . |
(3.66) |
Составим блок-схему (рис. 3 .2 4 ). Предполагая, что выходное напряжение U2 пропорционально переменной X » установим связь между всеми выходными сигналами.
219
2 2 0
Разрешая эту систему относительно напряжения U2 , получаем
Р* к« *7 Р U2 ^2 ~ кЧк12P^2+ ki3 кг к$кг U~
откуда |
|
|
|
г |
ОР . |
|
|
т . |
к /3 к Ц ~ |
0 ^ |
(3 .69) |
* |
||
Afik2 k3= |
i * |
|
Оптимальную величину |
масштаба тх найдем методом |
|
пробного решения. Из первого уравнения условий (3.69) следует:
/77, " \[орсч*к 12 |
к7 3*>6 ] [ к~~к7 |
Если, например,блох №I (рис. 3.24) - суммирующий |
|
интегратор АВМ МПТ-9, |
а блок №7 - потенциометр, то |
к1г = 1 , 10, 100; |
|
к? = |
0,001 - 1 , 0. |
Варьируя эти коэффициенты передач, получаем воз можность отыскать оптимальную величину масштаба, если
она |
находится |
в интервале (3,16-1000) в/ед . |
|
Составим таблицу требуемых значений коэффициентов |
|
к |
и ки |
(табл. 18). |
2 2 1
Таблица IS
Остальные коэффициенты определяются обычным поряд
ком. Для |
пробного решения выберем какое-либо малое |
||||||
значение |
масштаба, |
например тх= 2 |
oS^g , на |
блоках |
|||
установим |
к? * |
0,25, |
кц = Ю |
и, кроме |
того, |
||
к1г=к13= кг= k3 = i; |
к^ = 0 |
, 4 |
, зададим начальное условие |
||||
U2 (0) = |
40 в. Наблюдая процесс (рис. 3.25, кривая I ) , |
||||||
развивающийся в АВМ, |
находим, что |
|
|
||||
|
/ < 7г ( Т ) / |
= 4 0 S , |
|
|
|||
|
' |
‘ |
'м а к с |
|
|
||
а прочие выходные напряжения изменяются в меньших диа пазонах.
Вычисляя
|
4 0 ё |
т х |
2 еЭ 7 |
2 0 ^ e d |
приходим к выводу, что оптимальным значением масштаба
переменных должно |
быть |
число |
50 |
в/ед , т .е . |
в схеме |
нужно установить |
k„ |
= I , |
к7 |
- 0,400, а |
конденсатор |
операционного блока №2 предварительно зарядить до на пряжения 50 в.
Дифференциальное уравнение Ван-дер-Поля описывает незатухающие колебания, амплитуда которых еиределяется
2 2 2
коэффициентами уравнений.и не зависит от начальных ус
ловий |
(ср.кривые I и I* |
) . Это лишний раз |
подчеркивает, |
что в |
подобных задачах |
масштабы переменных |
в первую |
очередь связаны с коэффициентами уравнений, т .е . с ко эффициентами передач блоков.
Особенности подготовки, связанные с применением функциональных преобразователей, рассмотрите самостоя тельно, в ходе выполнения задания*
Задание 25. Решить на АБМ уравнение свободных ко лебаний физического маятника, который первоначально от клонен на угол
p Zf ( ' i ) + 0 , 3 f f ( 7 ) + s i n f ( ' E ) ^ 0 - 7
¥ > ( 0 ) = f - ; f > f ( 0 ) = 0 .
Выбор масштаба переменной произвести на основе ана лиза решения линеаризированного уравнения:
p 2f('Z) + 0 , 3 f f ( 7 ) + ¥ ( ' Z ) = 0 j
; ff(0)=0.
Подтвердить целесообразность такого подхода.
|
Решение. В нелинейной задаче момент сил земного |
||
притяжения пропорционален |
s in у |
, а в линейной - |
|
(f |
. Поскольку |
|
& |
|
<f>>sincp • |
|
|
|
|
7 |
|
то с линеаризацией связано завышение величины момен |
|||
та, |
являющегося первопричиной колебаний. Линеаризиро |
||
ванный процесс протекает более энергично, чем реаль |
|||
ный, |
т .е . характеризуется |
большими амплитудами и ско |
|
ростями. Следовательно, пределы изменения выходных |
|||
напряжений операционных блоков в схеме набора нелиней ного уравнения (рис. 3.25) не будут превосходить со ответствующих пределов напряжений, относящихся к ре шению линейной 'задачи.
Интегрируя линеаризированное уравнение, приходим к выводу, что величина масштаба всецело определяется
начальным условием, значение |
которого [ф>(О)=^г] |
|
- "максимум ыаксиморум". Этот |
вывод целиком распростра |
|
няется на случай нелинейной задачи, и |
||
ЮОё |
'■6 0 ^/ед • |
|
аг |
||
|
||
2
Настройку ФП производим на основе принятого мас штаба. Чтобы -исключить введение в блок-схему инвер тора, функциональный преобразователь должен модели ровать функцию sin<f .
Блок-схема набора нелинейного уравнения изображе на на рис. 3.26. Реализация коэффициентов уравнения никаких особенностей не имеет.
Настройка ФП может быть произведена по таблицам, которые включены в заводское описание КНБ и составле-