книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

кнормированной плотности нормального распределения, что

Ф и г . 2.4.5. Распределение накопленной вероятности t.

всех пособиях по статистике и в приложении В этой книги1 ) . Распределение t определяет вероятность того, что значение t меньше или равно, чем некоторое выбранное значение t:

t*

Р (*) = /> {*<**} = J P(t)dt.

— оо

В некоторых таблицах для каждой степени свободы ѵ приведена вероятность получения значения t, большего по абсолютной величине чем указанное в таблице. Другие таблицы учитывают свойства симметрии распределения t и содержат лишь вероятность получения значения t, большего чем указанное в таблице. В каче­ стве примера приведем часть таблицы В.З, в которой представлена

Р (t) == Р {t < t*} для v = 5:

!) Более полные таблицы можно найти в [9—11].

Из этих значений видно, что 95% площади под кривой плотности распределения вероятности заключено между значениями t от —2,571 до +2,571, а 5% площади лежит (симметрично) вне этого интервала (фиг. 2.4.6).

pit)

р(і)

2.4.3.Распределение отношения дисперсий

Распределение отношения дисперсий, исследованное Р. А. Фи­ шером (обычно обозначается F), оказывается весьма полезным в дисперсионном анализе и при построении моделей, что будет обсуждаться в последующих главах. Если взяты две выборки, причем одна из них состоит из nt независимых измерений случай­ ной переменной Хи распределенной по нормальному закону со

1,0

числителя и знаменателя, связанные соответственно с s] и s2, могут отличаться от п — 1, если выборочные дисперсии вычис­ ляются по некоторой формуле, отличной от (2.4.2). Если <з\ = = а\ = о*2, то, используя соотношение (2.4.10), можно выразить

— [ Р (F) dF, даны в приложении В (табл. В.4).

Плотность распределения вероятности F определяется выра­ жением

Г (Ѵ* + Ѵ Л

2.4.4. «Перенос ошибок»

Важной особенностью экспериментов является то, что экспе­ риментальные результаты можно использовать для оценивания среднего значения и дисперсии случайной переменной, которую нельзя измерить непосредственно. Например, измерив все случай­ ные переменные, кроме одной, по балансу веществ можно оценить среднее значение и дисперсию оставшейся случайной переменной. Здесь и будет рассмотрен вопрос о том, как исследователь может предсказать среднее значение и дисперсию неизмеряемой пере­ менной, зная ,эти характеристики для измеряемых переменных.

Среднее значение линейной функции случайных переменных равно такой же линейной комбинации соответствующих средних значений, как следует из соотношения (2.2.1г). Таким образом, если Y = аХ + Ъ, то

Дисперсия линейной функции случайных переменных определяет­ ся формулами (2.2.9) или (2.2.9а). Например, для одной случайной переменной X

Теперь проиллюстрируем на примере применение формул (2.2.1г), (2.2.9а), (2.4.20) и (2.4.21).

Пример 2.4.5. Погрешность показаний расходомера

Расходомер (фиг. П.2.4.5) выдает некоторый выходной сигнал, характеризующий суммарную величину поступающих в него

Ф и г . П . 2 . 4 . 5 .

двух потоков. Величина каждого из потоков содержит некоторую ошибку; кроме того, в выходной сигнал вносит ошибку и сам

Величины xt и у измеряются в милливольтах. Ошибки в сигна­ лах, указанные ниже в процентах от средних значений этих сигналов, представляют собой три стандартных отклонения в еди­ ницах измерения х. Математическое ожидание ошибок равно нулю. Исходя из этих данных, требуется вычислить ошибку у и z, также выраженную через три стандартных отклонения. Коэффи­ циент усиления расходомера равен единице.

Далее, предполагая, что ошибка, вносимая расходомером, адди­

Если функциональная связь между переменными нелинейна, то, для того чтобы применить формулы (2.4.20) и (2.4.21) или (2.2.1г) и (2.2.9), предварительно необходимо линеаризовать функцию. Среднее значение и дисперсия, вычисленные для линеа­ ризованных выражений, являются приближенными и применимы лишь в малой окрестности выбранной точки, где функция заме­ няется линеаризованным выражением.

Основным аппаратом, используемым при линеаризации, являет­ ся разложение функции в ряд Тейлора относительно среднего значения или некоторого другого опорного значения в исследуе­ мой области. Разложение функции одной переменной / (х) в ряд

Требуется найти среднее значение и дисперсию Р (в кгс/см2 ), предполагая, что для воздуха

п= 1 г-моль,

а— 1,347 -106 кгс/см2 -(см3 /г-мо ль)2 ,

Ъ= 38,6 см3 /г-моль,

Решение

Поскольку уравнение Ван-дер-Ваальса нелинейно относитель­ но V, его необходимо сначала линеаризовать. Разложим эту функцию в ряд Тейлора, опуская все члены выше первого порядка:

Эти результаты справедливы для небольших отклонений от F 0 .

Пример 2.4.7. Оценка ошибки коэффициента теплопередачи1 )

Рассмотрим лабораторный эксперимент по нагреву воды {неустановившийся режим) в открытом котле с паровой рубашкой. Полный эффективный коэффициент теплопередачи определяется формулой

WCP ijT_\

AkT, эфф V dt ) '

*) Взят из работы [12].

А— покрытая водой площадь котла, через которую может происходить теплообмен, м2 ;

А^эфф — эффективная разность температур пара и воды в про­ извольный момент времени, Ts — Tw, °С;

dT

—£t тангенс угла наклона кривой зависимости температу­ ры воды от времени в произвольный момент времени.

Предполагается, что все перечисленные величины являются случайными переменными. Начальная температура равна ком­ натной.

Требуется найти математическое ожидание коэффициента £7Эфф и определить его точность при условии, что ДГэфф = 30 °С.

Решение

Учитывая выражение (2.4.26) и считая все переменные незави­ симыми, запишем

Од : По мере нагрева имеет место увеличение объема воды, приводящее к увеличению площади смачиваемой поверх­ ности. Однако термин «эффективный коэффициент тепло­ передачи» означает, что это увеличение площади не учи­ тывается и используется значение площади при комнат­ ной температуре. При известной геометрии котла по резуль­ татам измерения высоты жидкости была оценена площадь