Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

31.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 9515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

142				Глава	3
									Таблица	3.5.1
К р и т е р и и д л я		с р а в н е н и я		среднего		з н а ч е н и я		нового продукта
	(или переменной)			с некоторым			стандартом		[8]
	Стандартное			Используемый			критерий
Гипотеза	Стандартное			проверки 1) (гипотеза					Замечания
Гипотеза	отклонение а			принимается,			если нера		Замечания
				венство	удовлетворяется)
	Неизвестно;	исполь	I Х	~ И 0 І >		h _ а / 2		Yn	Двусторонний
	Неизвестно;	исполь	I Х	~ И 0 І >		h _ а / 2		Yn	к р и т е р и й	t
И Ф Но	зуется s и з	выборки
И Ф Но			\ x - ^ \ > u i				_ a l i	y l	Двусторонний
	Известно		\ x - ^ \ > u i				_ a l i	y l	Двусторонний
	Известно								к р и т е р и й	U
	Неизвестно;	исполь							Односторонний
	Неизвестно;	исполь							к р и т е р и й	t
М > Но	зуется s из	выборки	—				ax		Односторонний
М > Но
	Известно
	Известно								к р и т е р и й	U
				—			SX		Односторонний
	Неизвестно;	исполь	^ - X > t t			_ a	y -		к р и т е р и й	t
	зуется s из	выборки		—			ax		Односторонний
			н	—	и	^	ax		Односторонний
	Известно		н	- х >	и	^	а у -		к р и т е р и й	U
	Известно								к р и т е р и й	U

1) В каждом случае находится значение t или U для выбранного уровня значимости а; число степеней свободы для t равно п — 1. Предполагается, что генеральная сово

купность имеет нормальное распределение.

Пример 3.5.1. Проверка гипотезы относительно среднего

Десять разных термометров сопротивления откалиброваны по стандартному, который показывал 1000 мВ . Ниже приведены показания этих термометров:

986	1002
1005	996
991	998
994	1002
983	983

Можно ли считать, что эти отклонения обусловлены нормаль ными вариациями случайной переменной — показаний в милли вольтах, или на их характеристики повлиял некоторый фактор (при транспортировке или изготовлении).

Статистический анализ и его применения 143

Решение

Испытаем гипотезу, состоящую в том, что среднее по ансамблю

показаний	десяти термометров			р. отлично от р 0 = 1000,				выбирая
в качестве	Н0 первую		гипотезу	из табл. 3.5.1, а именно				\і ф	ц 0 .
Так как дисперсия ах			неизвестна,		нужно	воспользоваться			кри
терием
			І ^ — Ы >	* 1 - « / 2 -^7=-		•
					Y п
Выбирая а = 0,05, так что а/2 = 0,025, и						* i _ a /	2 = 2,26,	можно
подсчитать
			Х = ^ — і - = 994,0,
		sx	= Л	'	= 64,9,
			ѵ = л — 1 = 9,
			\| Х - і х 0	1 =	6,0,
«1-./2 t p f - -			2,26	1 / 2 = 2,26-2,55 =			5,76.
Так как 6 >		5,76,	можно сделать вывод, что для					уровня
значимости	а =	0,05	(но не для а		= 0,01)	гипотезу Я 0		следует
принять.

В табл. 3.5.2 приведены критерии проверки гипотез относи тельно средних по ансамблю двух продуктов (или переменных), для каждого из которых получена оценка по выборке. В этом

случае	можно проверить:
1. Отличаются ли средние значения каждого из продуктов
(или переменных), не уточняя при этом, какое из них						больше.
2. Превосходит ли среднее значение продукта (или перемен
ной) А	среднее	значение	продукта (или переменной)			В.
Снова можно		выделить	подклассы	критериев в	зависимости
от степени имеющейся информации				о величине	стандартного

отклонения измеряемой величины. Как и раньше, если вычислен ная разность оказывается больше правой части неравенства, то гипотеза принимается; в противном случае она отвергается.

Кривые оперативных характеристик и	таблицы,	позволяющие
определить объем выборки для каждого	критерия,	можно найти
в справочнике Национального бюро стандартов		[81.

Чтобы проиллюстрировать общую процедуру проведения про верки гипотез при сравнении двух средних, проследим в общих чертах, как используется первый из критериев табл. 3.5.2. Осталь ные критерии применяются аналогичным образом.

										Таблица	3.5.2
	К р и т е р и и			д л я с р а в н е н и я средних значений д в у х					продуктов
				(или	переменных)			[8]
		Стандарт		Используемый критерий
Гипотеза		ные откло		проверки 1) (гипотеза при				Замечания
Гипотеза			нения	нимается, если неравенство				Замечания
		для Л и В		удовлетворяется)
		ОА « ОВ,		\| A \ A - Z B \| >				\(пл-1)*\	+	(пв-і)а*в- ] V . F
		ОА « ОВ,		\| A \ A - Z B \| >
		оба не
		известны >h-a/2sp\			П а П	в	)	V = «A + «в — 2
		°А ф о\в		[ХА-ХВ\>				і' —значение	* ! _ а / 2 Д л я V
		оба не		> * ' ( А	+ *	) 1		степеней свободы,
f U Ф Ив		известны		> * ' ( А	+ *	) 1	Л	(«yA+«yj»)a
f U Ф Ив				ПА	ПВ			(«yA+«yj»)a
											-2
								"A + l		«B +	l
		аА	и о в	\ХА-Хв\>
		известны

О"А « о-в ,

х А

- х в

V -

r ( « A - l ) s A

+ ( « B - l ) s

оба не

> ч -

« °

( П

)

„A+

rej3_2

известны

+ П

1 1

v = n A

+ n B — 2

п А

°А

0"в,

ХА — ХВ^>

г'

— значение

для

оба не

степеней свободы,

Ѵл> Ив известны

>*'

( s

s %

Y'2

(*і/»А + «Улв)а

-2

(SA /"A)2

(4/лв)а

п в

«А + 1

ПВ+1

ПА

аА

и о в

известны

ХА — ХВ^>

ПА

ПВ

1) Для получения выборок А и В проводится тгд и пв

наблюдений;

t берется для

-j- rig — 2 степеней

свободы. s p и

другие

объединенные значения

s обсуждаются

в разделе 2.4.1. Предполагается, что генеральная совокупность имеет нормальное рас пределение.

Статистический

анализ и его

применения

145

Предположим, что имеются выборки случайных переменных А и В, распределенных по нормальному закону с указанными ниже средними значениями и дисперсиями:

			А		в
Выборочные	значения	ХАі, ХА^,	%АПА	^ в 4 . Хщ,	Х В г І £
Среднее по	ансамблю		ц А		\ів
Дисперсия по ансамблю			а А		o ß

Можно вычислить	следующие				выборочные статистики:
—		1	П Л
			і=1
—		1	П *
			і=1
				ПА
& =	-Т7=тЪ				(ХА-ХА)\
		пА-		і=1
				і=1
^ =		- ^ - г ^ ( х в - х в г ,
		п в -
				і=1
		VA =		пА	— 1,
		ѵ Б	=	п в	— 1.

Выборочные средние

ХА

я X в

распределены

по нормальному

закону с параметрами

(и.Л , оА/пА)

(ц.в , о-Упв ) соответственно.

Разность двух средних D = ХА

— X в

также

распределена

по

нормальному закону относительно значения Ô =

и.А — ц,в

с дис

персией

Ѵаг{£} =

- ^ - + - ^ - .

(3.5.1)

п А

n B

Если sA

значимо не

отличается

от s|,

проверяются

гипотезы

ц Л

= р в

и а\ та ав = оЛ

Если эти гипотезы справедливы, то разность

D = ХА

—

Хв

распределена

по нормальному

закону

относительно

Ô =

[іА

—

— u.B = 0

дисперсией

V a r { 0 H o " ( J L +

1 L . ) .

(3.5.2)

146

Глава 3

Используя выражение (2.4.12), можно вычислить следующую оценку для о2 :

	Ѵ А«А + V B S В
	4 = л, J . «	Д л я	ѵ = ѵ А + ѵ в = и А + п в —2.
	Ѵ А + Ѵ В
Таким	образом, статистика				_
	* = •
		* B	і	/	1 4-	1
					l"A	«В
имеет	^-распределение	с ѵ = геА		+	тгв	— 2 степенями свободы.

Если величина t значимо отлична от нуля, следует считать, что

И А Ф И В -

Пример 3.5.2. Сравнение двух средних

Два разных сорта бензина использовались для определения числа пройденных километров по шоссе на литр израсходованного бензина. Каждый сорт бензина (октановые числа 90 и 94) исполь зовался в пяти идентичных автопробегах по одному и тому же маршруту; были получены следующие результаты:

		Октановые числа
		94	90
Выборочное	среднее, км/ л	22,7	21,3
Выборочное	стандартное отклонение, км/ л 0,45		0,55
Различны ли	эти сорта при уровне	значимости а = 0,05?

Если это так, то является ли бензин с октановым числом 94 значимо лучшим по сравнению с бензином с октановым числом 90?

Решение

Прежде всего проверим гипотезу, что [ І 9 4 Ф ^ І 9 0 . Предположим,

что сг9 4 «

а 9 0 ; способ

проверки

этого предположения

будет изло

жен

в разд.

3.6.

I Y

У | | (

о /І"94 + "90\

1 /

\X9i-Xç)0\>ti-a,2Sp[

П ы П з

)

( ^ 4 + n 9 0 S l / 2 ^ / 5 + 5_n/2 =

S p =

[

4.(0,45)11+4.(0,55).

= { ^ 2

)

m =

h-a/2

= 2,306,

v = 5 + 5 —2 = 8,

I X M

- X e o

I = 22,7-21,3 =

1,4,

2,306-0,50.0,632 = 0,73.

Так

как

1,4 >

0,73,

гипотеза

принимается

(л9 4 Ф

| І 9 О .

Статистический анализ и его применения 147

Затем проверим гипотезу, утверждающую, что			u^4	> Иэо,
по-прежнему предполагая, что а 9 4 «	од0.
( Л 9 4 — Ä 9 0 ) > t i - a S p \	„ 9 4 „ 9 0	) .
•Х94—Х90 = 1)4,
ti-aSp ( - Щ - ) 1 / 2 = 1,860-0,50.0,632 = 0,59.
Эта гипотеза тоже принимается.
Все рассмотренные до сих пор критерии		опирались	на	опре
деленные предположения о характеристиках		исследуемых случай

ных величин. Конечно, на практике некоторые или даже все эти предположения могут оказаться неверными. При этом для одних критериев отклонения могут быть более серьезными, чем для дру


гих. Те критерии,	которые	относительно менее чувствительны
к отклонениям от	предполагаемых характеристик,		называются
устойчивыми. Так как в каждом критерии используется			несколько
предположений, устойчивость		критерия оценивается по раздель

ному влиянию отклонений от нормального закона, независимости, равенства дисперсий и случайности.

Основополагающими предположениями для критерия t являют ся: 1) измеряемые случайные переменные распределены по нор мальному закону и 2) выборки являются случайными. Решение, принимаемое на основе критерия t (и других критериев), зависит, и иногда критически, от степени приближения эксперименталь ных условий к предполагаемым.

Влияние отклонения от нормального закона на критерий t Стыодента изучалось и иллюстрировалось многими исследовате лями. Согласно грубому эмпирическому правилу, критерий t, используемый при сравнении средних, относительно нечув ствителен к отклонениям исследуемой случайной переменной от нормального закона распределения.

Уолш [9] исследовал влияние отклонений от случайности выборки на критерий t Стыодента при большом числе наблюде ний. Было найдено, что даже небольшое отклонение от предпола гаемой случайности приводит к существенным изменениям уровня значимости и доверительной вероятности. В этой работе описаны модифицированные критерии, нечувствительные к условию слу чайности выборки. В разд. 3.7 обсуждаются критерии, которые можно использовать вместо критерия Ï.

3.6. П Р О В Е Р К А Г И П О Т Е З Д Л Я Д И С П Е Р С И Й

Цель этого раздела состоит в том, чтобы описать некоторые критерии, позволяющие принять определенное решение относи тельно дисперсии некоторого продукта (или переменной). В соот-

Таблица 3.6.1

Сравнение д в у х продуктов (или переменных) по и х дисперсиям [8]

Гипотеза

0-2 = 0g

О 2 > 0 §

0 - 2 < 0 §

а 2 - о 2 M

Используемый критерий					Число степеней
Используемый критерий					свободы
					свободы
* а - 2 ^			<°2о<*2-^—		V = n— 1
Xl -	œ/2		X œ /2
					Ѵ =	и — 1
			Х а
s 2	2	V	> oj		V = w — 1
	Xl	-	ce
	î			4	ѴІ =	Л А — 1
			<	<	ѴІ =	Л А — 1
			<	<	v 2 =	n B — 1
^ і - а / г ^ В - 1 ' "A - l )				4
< F i - a / 2 ( " A - l . ^ - 1 )

0 2 > а 2 2 )	- ^ - > ^ ! _ a (Vi,V2 )		V l = n A — 1
	S B		V 2 = W B — 1
1) Альтернативная гипотеза		Ф а'
	2	'
2) Альтернативная гипотеза		= о"

	Решение					Замечания
Е с л и	неравенства с п р а				Двусторонний				крите
ведливы,			гипотеза		рий	X2
п р и н и м а е т с я
Если	проверяемое			не	Односторонний				крите
равенство		справедли			рий	X2
во,	гипотеза		прини
мается
Е с л и	проверяемое			не	Односторонний				крите
равенство		справедли			рий	X2
во,	гипотеза		п р и н и
мается
Е с л и	неравенства			спра	Двусторонний			критерий
ведливы,			гипотеза		F.	Заметим,			что
принимается					ше	_ а /	всегда мень
					ше	единицы,		следова
					тельно,		н у ж н о		прове
					рить только			ограниче
					ние	сверху
Е с л и	неравенство			спра	Односторонний				крите
ведливо,			гипотеза		рий	F
п р и н и м а е т с я

Статистический анализ	и его применения	149
ветствии с предыдущим разделом,	используя %2 -распределение,

уже описанное в разд. 2.3.2, можно проверить, отличается ли дисперсия по ансамблю нового продукта (или переменной) от стандартной дисперсии по ансамблю случайной переменной и какая из них больше. Для двух продуктов (или переменных) А и


В с	помощью .F-распределения отношения			дисперсий,		рассмот
ренного в разд. 2.4.3,		можно проверить,	отличается		ли	диспер
сия	по ансамблю А	от дисперсии В	и	превышает		ли ее.
В табл. 3.6.1 нулевым индексом обозначена стандартная					дисперсия,
тогда как у дисперсии, подлежащей проверке, индекс					отсутствует.

Эти критерии основаны на предположении, что наблюдения случай ны и распределены по нормальному закону. Решение принимается на основе критерия, приведенного во втором столбце табл. 3.6.1. Кривые оперативных характеристик и таблицы для определения объема выборки приведены в [8].

Для иллюстрации того, как формулируются критерии, рас смотрим критерий F из четвертой строки табл. 3.6.1. Выдвинем гипотезу, что а\ = а\, т. е. о\Іа\ = 1, и используем отношение выборочных дисперсий, чтобы проверить, является ли величина C T J / O J большей или меньшей единицы. Если гипотеза верна, то область принятия гипотезы для симметричного случая определяет ся вероятностным соотношением

Р {/"а/2 ( Ѵ І , Ѵ 2 ) < \| - < Л - а 7 2 К	Ѵ	8 ) } = 1 — а .
Так как Fa/2 (vt , v2 ) = ilFi-a/z (v2 , vt ) <	1, левая часть		нера
венства в аргументе всегда удовлетворяется,		и необходимо	только

проверить, действительно ли s\ls^ ^ -Fi-«/2-

Пример 3.6.1. Проверка гипотезы для дисперсии

Спроектированы и введены в действие две одинаковые опытные установки для данного процесса. Ниже приведены первые десять партий полученного продукта на каждой из установок

	Установка А (кг)	Установка В (кг)
	97,8	97,2
	98,9	100,5
	101,2	98,2
	98,8	98,3
	102,0	97,5
	99,0	99,9
	99,1	97,9
	100,8	96,8
	100,9	97,4
	100,5	97,2
X	99,9	98,1
s\	1,69	1,44

150 Глава 3

Являются ли дисперсии продуктов, полученных на двух установ ках, значимо отличными друг от друга?

Решение
Гипотеза Н0 состоит в том, что аА		= ав.	Дл я каждой	установ
ки число степеней свободы равно 9. Дл я проверки				гипотезы,
указанной в четвертой	строке табл. 3.6.1, составим отношение
дисперсий
Из табл. В.4 приложения	В для а =	0,05	находим FQ,g.^ (9, 9) =

= 4,03; следовательно, гипотеза принимается и разница диспер сий для двух установок незначима.

Пример 3.6.2. Комбинированные критерии для дисперсии и сред него

В каталитическом реакторе распределение выходов продукта при использовании катализаторов А и В характеризуется сле дующими данными:

Катализатор А		Катализатор В
Х А = 1 , 2 1 9		Z B	= 1,179
4 = 0 , 2 0 8		s \|	=0,19 3
s A	= 0 , 4 5 6	sB	=0,43 9
n A	= 1 6	п в	= 1 5

В качестве первой гипотезы примем, что cri = (Ув- Чтобы при менить критерий из четвертой строки табл. 3.6.1, вычислим отно шение дисперсий

			SA	0,2080 •=1,08.
				0,1930
	Из табл. В.4 приложения В для а				=	0,05, ѵ А	= пА — 1 =		15
и	ѵ в = пв	— 1 =	14 находим значение Fi-a/2				(15, 14) =	2,95.
Таким образом, гипотеза принимается и можно							считать,	что	аА
	отличается значимо от			ов.
	Теперь	можно	объединить выборочные дисперсии:
	Sriр ~	(nA—l)sA+(nB~i)s%		15.0,208+14-0,193			0,201,
	Sriр ~	n A - l	+ n B - l	~~	1 5 + 1 4		0,201,
	Разность между выборочными средними
			D = 1,219	— 1,179	=	0,040,
а	из соотношения		(3.5.2)
	Ѵ аг{2>>*4		(ігГ+^г) =0,201			+	=0,026.

Статистический анализ и его применения 151

Так	как о\	«	С У ^ ,		М О Ж Н О	использовать		критерий,	указанный
в табл.	3.5.2,	для		проверки гипотезы^,р,Л ^=^р,в .
	ХА — XB\>ti-aßSP				(	"i^nT	) 1 / 2 '	Ѵ = И А Ч - Л В		—2,
	0,040> 2,045-0,201 ( - ^ ) 1 7 2 ,							ѵ = 29,
	0,040 >			0,145.
Так как 0,040 <			0,145, гипотеза цА				Ф ц в	отвергается		и можно
заключить, что			\іА	=	ц в .
Критерий		F	применяется			при	сравнении^двух		дисперсий.

Для обнаружения разницы двух и большего числа дисперсий широко используется критерий Бартлетта. Бартлетт предложил критерий проверки однородности (гомогенности) двух и большего числа дисперсий, заключающийся в сравнении логарифма средней дисперсии с суммой логарифмов отдельных дисперсий. Формулы, необходимые для применения этого критерия, основаны на гипо

тезе

Н0\

о\

= а\

= . . . = On =

о 2

и предположении, что изме

ряемые переменные распределены по нормальному закону.

Кри

тические пределы такие же, что и для критерия F, за тем исключе

нием, что здесь используется п выборок. Если проверяемая

гипо

теза

правильна,

то объединенная

оценка

2 M

2 ( p i - l ) s î

(3.6.1)

і =n

i=i

t=i

(где

pi—число

повторений

выборке)

распределена

как s2

со

средним

значением

о 2

ѵ степенями

свободы,

где

ѵ =

= S ѵі-

Бартлетт показал,

что

величина

і=1

А = - 4 - J

V, In 4 -

(3-6-2)

где

і=1

(2 ѴІ

І с

— 4 +

3 ( п —1)

) '

і = 1

i2=l

ѵ'

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 9515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ