книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

В этой таблице ранг каждого прироста, определенный по второй таблице, записан во втором столбце и пробегает значения от 1 до 13.

тельно, если в качестве приемлемого уровня значимости взять 0,05, то гипотезу об одинаковом влиянии двух катализаторов следует отвергнуть. Для двустороннего критерия нужно учесть четыре зеркально симметричные структуры со значениями U*, равными соответственно 40, 40, 41 и 42. Следовательно, уровень значимости для двустороннего критерия приблизительно равен 8/1716.

Вместо того чтобы подсчитывать структуры, как это делалось выше, значение U* проще можно установить по формулам (3.7.2) или (3.7.3). Затем по табл. В.6 приложения В можно получить

соответствующий уровень значимости; для этой цели можно также использовать формулу (3.7.4).

Из формулы (3.7.2)

Тх = 23, U* = 23 — 6 ' ( 6 + 1 ) = 2 .

Из формулы (3.7.3)

Ту = 68, U*= 7 ' ( 7 2 + 1 ) ' + 7 - 6 — 6 8 = 2.

Из табл. В.6 при m = 7, п = 6 и £/* = 2 получаем уровень значимости а, равный 0,002. Заметим, что при п = 8, m = 8 аппроксимация нормального распределения весьма точна.

гипотеза утверждает, что они различны). Чтобы осуществить такую проверку, запишем результаты измерения в порядке возрастания, располагая наибольшее отрицательное значение сверху, а наи­ большее положительное — внизу таблицы. Отметим принадлеж­ ность каждого значения к выборке А или В. Припишем ранг 1 наименьшему значению, ранг 2 — наибольшему, ранг 3 — преды­ дущему наибольшему значению, ранг 4 — второму после наи­ меньшего значению, ранг 5 — третьему после наименьшего зна­ чению, ранг 6 — третьему перед наибольшим значению и т. д . г переворачивая таблицу каждый раз после приписывания рангов последовательной паре значений. Совпадения обрабатываются так,, как объяснялось в разд. 3.7.2.

У12

ние (3.7.5) обеспечивает необходимую точность даже в случае небольших выборок объемом меньше десяти.

Пример 3.7.3. Непараметричеекий критерий для дисперсии Вычислим ранги для данных из примера 3.7.2:

В этом подразделе описываются два непараметрических крите­ рия, которые можно использовать для того, чтобы убедиться, являются ли стационарными данные из одной временной диаграм­ мы. Если можно продемонстрировать стационарность для одной временной диаграммы, то для практических целей можно считать стационарным весь ансамбль. К тому же в действительности будет проверяться слабая стационарность, определенная в разд. 2.2.3. Возможность распространения понятия стационарности на другие параметры помимо среднего по ансамблю и автокорреляционных функций строго обоснована для случайной переменной, распре­ деленной по нормальному закону; это оказалось справедливым и для большинства других распределений, с которыми приходится сталкиваться на практике. Протяженность временной диаграммы, подвергающейся испытанию, конечно, должна быть достаточно велика, чтобы в ней отразился некий тренд (нестационарность), если он имеет место. На слишком короткой диаграмме нельзя обнаружить продолжительный тренд. Дл я проверки стационарно­ сти можно использовать как сериальные критерии, так и порядко­ вые критерии тренда.

Обычно используется двусторонний критерий для данного зна­

Поскольку критерий Вальда — Вольфовитца непосредственно не учитывает длину серий, теряется существенная информация. Рамачандран и Ранганатан [16] предложили более мощный кри­ терий. Серия состоит из последовательности одинаковых знаков; например, в приводимой выше таблице было три серии длины 1, две серии длины 2 и одна серия длины 3. Статистикой N, исполь­

гипотеза, утверждающая, что в выборке отсутствует тренд, при­ нимается.

И н в е р с и я к а к к р и т е р и й л и н е й н о г о т р е н д а . Если в каком-либо ряду из п измерений, записанных в порядке их получения, за некоторым выбранным числом следует меньшее по величине, то говорят, что имеет место инверсия. Так, в после­ довательности

3 5 1 4 2 6

имеется шесть инверсий: за числом 3 следуют два меньших числа 1 и 2; за числом 5 следуют три меньших числа 1, 4 и 2; за числом 4 следует одно меньшее число 2. Если порядок чисел в последова­ тельности случаен, то каждая из п\ перестановок п чисел равно­ вероятна; априорная вероятность получения случайной последо­ вательности точно с / * инверсиями просто равна числу переста­ новок, содержащих I * инверсий, деленному на полное число возможных перестановок п\. Число случаев, когда за некоторым

Статистический анализ и его применения 167

(Для обеспечения непрерывности положительные числители сле­ дует уменьшить на Ѵг, а отрицательные — увеличить на 1 / 2 . ) Если имеют место совпадения и им приписан средний ранг, то

дения непрерывно распределенной переменной осуществляются независимо и произвольным образом. Критерий / * , используемый как критерий случайности, имеет асимптотическую эффективность (3/я)4 /з « 0,98 относительно критериев для коэффициента регрес­ сии (гл. 4 и 5); следовательно, по эффективности он равен или

ственной временной диаграмме стационарные данные, эту диа­ грамму разбивают на п интервалов равной длительности. Высоко­ частотные данные могут занимать смежные интервалы, однако низкочастотные данные требуют, чтобы между выбранными отрез­ ками диаграммы оставались некоторые промежутки. Простейший метод состоит в том, чтобы подсчитать среднее значение и средний квадрат для каждого из п интервалов и расположить полученные

где верхний индекс слева обозначает временной интервал, а сим­ вол ( ) означает усреднение по времени. Каждый из этих двух рядов значений можно испытать на тренд, как описано выше.

Предполагается, что если средний квадрат (или дисперсия) случайной переменной X стационарен, то автокорреляционная функция величины X также стационарна. (Среднее значение квадрата X (t) просто равно значению автокорреляционной Фѵнк-

Решение

К р и т е р и й В а л ь д а — В о л ь ф о в и т ц а . Рассмот­ рев эту последовательность, находим, что медиана для десяти значений равна Ѵ2 (38,7 + 38,9) = 38,8. Значениям, превышаю­ щим 38,8, приписываем знак + , а значениям ниже 38,8 знак —, что дает следующую структуру:

утверждающая, что в этих данных отсутствует тренд, прини­ мается.

и исследовать последовательность средних значений квадратов. Для данной временной диаграммы нулевая гипотеза принимается

Непараметрические критерии, описанные выше как критерии стационарности, в действительности служат также и критериями случайности; исключения составляют лишь возможные периоди­ ческие компоненты. Если отрезки временных диаграмм прошли проверку на стационарность, то периодические компоненты, не замеченные при визуальном осмотре временной диаграммы или с помощью критерия стационарности, проще всего обнаружить, рассматривая среднюю по времени спектральную плотность или автокорреляционную функцию (определенную в разд. 12.3.3). Так как синусоидальная волна имеет автокорреляционную функ­ цию, не равную нулю при всех значениях т в отличие от случай­ ных данных, для которых г х х (т) ->- 0 при т - > оо (для цх = 0), то можно построить и исследовать график усредненной по времени

Статистический анализ и его применения 171

более удобна для использования и лучше описывается ^ - распре ­ делением с v степенями свободы.

Если параметры Ѳг плотности распределения вероятности слу­ чайной переменной неизвестны, так что необходимо использовать их оценки Ѳг, то

h

где число степеней свободы уменьшилось на число связей g, на одну

и сравнивая полученное значение с табличным значением %2 для некоторого выбранного уровня значимости а, например а = 0,05. Можно использовать односторонний критерий. Если вычисленное

значение %2 превышает заранее выбранное значение %і-а > т о нулевая гипотеза о том, что два распределения одинаковы, т. е. что экспериментальное распределение относительных частот описы­ вается постулированной плотностью распределения вероятности, отвергается. (Точно так же, если значение %2 оказывается меньше, чем %а> эмпирическое распределение относительной частоты не согласуется с предполагаемой плотностью распределения вероят­ ности.) Критерий согласия %2 следует использовать с осторожно­ стью и дополнять другими критериями, так как он по существу является приближенным критерием. Однако этот критерий, безу­ словно, весьма удобен. Если это необходимо, более строгий анализ