книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

после чего можно из выраженшг(ж) найти оценку <а параметра со. Если требуется, можно вычислить и асимптотические дисперсии оценок.

3.2.3. Оценивание по Байесу

Современный байесовский подход к проблеме оценивания основывается на использовании априорной информации, т. е. используются известные или предполагаемые распределения оце­ ниваемых параметров. Хотя классический подход к этой проблеме и подход Байеса в какой-то мере различны, они обладают некото­ рыми общими чертами. Оба подхода требуют:

3)взятия выборок для получения информации о случайных величинах;

4)постулирования правил оптимального выбора (в том смысле, что в результате принятого решения получатся оптимальные следствия).

Главное различие между этими подходами состоит в том, что при классическом подходе решения принимают на основе некото­ рой выборки, зависящей от значений параметров и типа экспери­ мента. При байесовском подходе анализ задачи начинается с опре­ деления плотности распределения априорной вероятности значе­ ний параметров на основе прошлого опыта и всей другой доступ­ ной информации. Сам параметр рассматривается как случайная величина. Затем для принятия определенного решения исполь­ зуется функция риска (или потерь), связанная с ценностью экспе­ риментальной информации, наряду с теоремой Байеса [выраже­ ние (А.2) приложения А].

Если функция риска не известна, то, используя теорему Байеса, можно максимизировать само апостериорное распределение. После того как появится выборочная информация, исследователь снова использует плотность распределения априорной вероятно­ сти и теорему Байеса для получения плотности распределения апостериорной вероятности, описывающей его новый уровень знаний о параметре. Апостериорная вероятность служит основой для принятия любых решений, а также априорной вероятностью

Чтобы определить плотность распределения апостериорной веро­

В любом случае в качестве первого шага необходимо написать выражение для плотности распределения вероятности р{х), что можно сделать, по крайней мере в принципе, опираясь на инфор­

получения плотности распределения апостериорной вероятности используется выражение (3.2.4), вторым шагом является вычисле­ ние р (x I Ѳ). Эту условную плотность также можно получить из известных соотношений при условиях 2) и 3). Третий шаг состоит в том, чтобы вычислить р (Ѳ) по р (Ѳ, s), интегрируя по всем значениям е. Если используется соотношение (3.2.5), плот­ ность распределения вероятности р (Ѳ, х) получается из известных соотношений в предположениях 2) и 3), однако аналитическое рас­ смотрение в этом случае затруднено или просто невозможно.

Последним шагом в обоих случаях после того, как записана плотность распределения апостериорной вероятности, содержащая все сведения о Ѳ, полученные из эксперимента, является в неко­

получить значение Ѳ, соответствующее максимуму на кривой плотности (моду). Если плотность распределения априорной вероятности р (Ѳ) равномерна, такая оценка совпадает с макси­ мально правдоподобной оценкой. Можно использовать и многие другие методы оптимизации, однако они выходят за рамки настоя­

В двух предыдущих разделах были описаны некоторые спо­ собы получения точечных оценок параметров и некоторые крите­ рии оценки их качества. Значительно более глубокое утверждение, чем в случае точечной оценки, можно сделать, оценивая довери­ тельный интервал. Доверительный интервал вычисляется по данным из некоторой выборки; фиксированная величина пара­ метра ансамбля заключена между границами этого интервала,

метром здесь служит кол (он всегда неподвижен вопреки ошибоч­ ному мнению некоторых игроков). Подкова служит доверитель­ ным интервалом. Игроку, который из 100 бросков подковы попадал на кол в среднем 90 раз, можно приписать 90%-ную достовернось (доверительную вероятность) попадания на кол. Доверитель­ ный интервал, подобно подкове, представляет собой переменную величину. Параметр, как и кол, является постоянной. Для

матических символах, содержащих рассматриваемый параметр

является случайной величиной с плотностью распределения вероят­ ности (2.4.14). Отсюда следует, что еще до получения выборки можно сделать некоторые вероятностные утверждения относи­ тельно величины t, такие, как

P{t^ty} = p { ^ j ^ < t v } = y , (3.3.1)

распределения на фиг. 3.3.1, в вне интервала равной а/2 4- а/2 ==

ко сам интервал является случайной переменной. Если много­

внутрь заданного интервала для приблизительно такой части выборок, которая указана в правой части вероятностных соотно­

является доверительным, и соответствующий интервал называется доверительным, а степень доверия, соответствующая этому довери­

—h-a/2 = ta/2, (h-a/2 — положительное значение t).

Доверительная вероятность для интервала, заданного неравен­ ством (3.3.4), равна 1 — а.

Подобный интервал можно получить для среднего по ансамблю,

Чтобы найти доверительный интервал для дисперсии по ансамблю а\ случайной величины X, можно использовать ^ - р а с ­ пределение и записать

в равенстве (3.3.6) как площадей под кривой плотности ^ - р а с п р е ­ деления.

Подставив x2 из выражения (2.4.10) в аргумент равенства (3.3.J6), получаем в качестве аргумента

преобразуя который находим доверительный интервал для ахі

распределение выборочной статистики неизвестно, доверительный интервал для любой случайной величины X с конечной диспер­ сией ох можно определить, используя неравенство Чебышева. Оно устанавливает, что вероятность получить значение нормиро­ ванной величины, равное или меньшее чем число h, по крайней

128 Глава 3

Требуется найти доверительные интервалы для среднего и дис­ персии по ансамблю случайной величины X с нормальным законом распределения, опираясь на следующие результаты титрования:

Значения X, смЗ

76.4576.60

Статистический анализ и его применения 129

Решение

Используя табл. В.З приложения В для 95%-ной доверительной вероятности (1 — а = 0,95; а/2 = 0,025) и для симметричного интервала, находим £0 ,975 = 2,36.

Симметричный доверительный интервал, согласно соотноше­ нию (3.3.4), определяется неравенством

76,55 - 0,099-2,36 < и* < 76,55 + 0,099-2,36,

ИЛИ

76,31 < и* < 76,79.

Этот доверительный интервал интерпретируется следующим обра­ зом: с вероятностью 0,95 интервал между 76,31 и 76,79 содержит

распределения с нулевым средним и дисперсиями соответственно of. и of . Из А взята случайная выборка и независимо от нее взята случайная выборка из В; по этим выборкам вычислены сле­ дующие выборочные статистики:

По данной информации об А и В требуется найти доверитель­ ный интервал для \іс с доверительной вероятностью 1 — а = 0,95.

Решение

Из баланса веществ (для математических ожиданий)

+|Л в = Цс>

так что С = А -\- В = 10 + 5 = 15 кг/ч. Кроме того, так как переменные независимы, дисперсия С равна [согласно равен­ ству (2.2.9а)]

Ѵаг {С} = Ѵаг {Л} + Ѵаг {В}

гается испытанию некоторая гипотеза Н0 в сравнении с одной или большим числом альтернативных гипотез Ну, Н2, . . ., которые явно формулируются или подразумеваются. Например, гипоте-