книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

d?z .

dz . ,

, ,

1.3. Классифицируйте

каждое

уравнение задачи 1.1 (или 1.2)

Таблица 3.1.5

Диапазон температур

Среднее откло­

Автор

Номер ссылки

минимальное

максимальное

нение темпера­

по работе [6]

туры парообра­

значение

значение

зования по всем

данным

А

14

100

135

1,12

В

16

103

167

1,43

С

4

100

190

0,98

1.6. Укажите два способа, с помощью которых

детерминиро­

ванный

входной сигнал

х (t). = a cos (dt можно

преобразовать

i l

• •

•

•

г

m •

J I i _ J L _ j I I I

Введение

23

1.11. Является ли случайной величиной функция случайной

переменной?

Объясните.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1.

Himmelblau

D . M . , Bischoff

К . В . , Process Analysis and

Simulation,

W i l e v ,

N . Y . ,

1968.

Technometrics,

2.

Youden

W .

J.,

4,

111

(1962).

3.

Youden

W .

J.,

Physics

Today,

14,

32

(Sept.

1961).

4. Eisenhart С ,

J.

Res.

Nat.

Bur.

Standards,

67C, 161

(1963).

5. Stanton B . D . , ISA

J., p.

77

(Nov.

1964).

6.

Helgeson N .

L . ,

Sage

В . H . , / .

Chem.

Eng.

Data,

12,

47 (1967).

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

ЛИТЕРАТУРА

Formby

J.,

A n

Introduction

to

the

Mathematical Formulation of Self-

organizing

Systems,

Van Nostrand, Princeton, N . J . ,

1965.

Papoulis A . , Probability,

Random

Variables

and

Stochastic Processes,

M c G r a w - H i l l ,

N . Y . ,

1965.

Peterson

E .

L . ,

Statistical

Analysis

and Optimization

of Systems,

W i l e y ,

N . Y . , 1961, Chs. 1—3;

есть русский перевод: Питерсон

И . Л . , Статистический

а н а л и з

и

оптимизация

систем автоматического

у п р а в л е н и я , изд-во

«Сов.

Радио»,

1964.

Распределения

вероятности

и выборочная

статистика

25

2 . 1 . П Л О Т Н О С Т Ь Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я

В Е Р О Я Т Н О С Т И

И Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е Н А К О П Л Е Н Н О Й В Е Р О Я Т Н О С Т И

Д л я упрощения записи распределение

накопленной

вероятности

для X (t) будет обозначаться

символом 1 )

Р{Х {t)

^х}

= Р

(х;

t),

(2.1.1)

где X — некоторое число.

Аргумент

в левой части

тождества

(2.1.1) означает: «все значения

случайной

величины X

(t) меньше

Время

t

Ф и г . 2.1.1.

Повторные измерения температуры жидкости в заданной точке;

хі, х2

и х3 — различные уровни

случайной переменной X (t).

1 ) В отечественной литературе под функцией распределения

и л и интег ­

ральной

функцией

распределения

принято

понимать

величину,

удовлет ­

в о р я ю щ у ю условию

Р {X (t) <

х} =

Р

(х; t).

Е с л и переменная X

(t) непрерывна,

это

определение

совпадает

с

(2.1.1).—

Прим..

ред.

26

Глава 2

кривой в момент времени t =

ty проверяется, выполнено ли условие

X (ti) ^ X. Пусть в момент

времени ty будет

всего пн показаний,

для которых X (ty ) ^ X, а полное число кривых равно N.

В пре­

дельном случае,

когда

N->

оо,

Ясно,

что

величина

Р {х; t) лежит в интер­

вале между 0 и 1. На

фиг.

2.1.2, а

показано

некоторое

распределе­

ние

накопленной

веро­

ятности

для

случая,

когда

оно

является

функцией времени. При­

мер

распределения

на­

копленной

вероятности,

не зависящего от време­

ни,

дан на фиг. 2.2.2, б.

Предположим, что те­

перь исследуются экспе­

риментальные

графики

как

в

момент

времени

t

=

ty,

так

и

в

момент

t

— t2.

Тогда

совместное

распределение

случай­

ных

величин

X

(ty) и

X (t2) можно обозначить

как

Р

(Ху, Х2,

ty,

t2) SI

Ф и г. 2.1.2. Распределения накопленной ве­

=

Р {X

(ty) <

Ху,

а — распределение

роятности .

X(t2)^x2};

(2.1.2)

накопленной вероятности, явля­

ющееся некоторой функцией

времени;

б — распре­

величина

P

(ху,

хг;

ty,

деление накопленной вероятности, не

зависящее от

времени.

t2) называется распре­

делением

накопленной

вероятности

второго

порядка величины X (t),

a

Ху и

х2

пред­

и той же величины,

измеряемой в два разных момента

времени.

С частотной

точки

зрения величина P (Xl,

х2;

ty,

tz)

является

предельным

значением доли совместных

событий

{X

(ty) ^ Ху)

и {X {t2) ^ х2) в двумерном пространстве при N-+-

оо. Если вели-

Распределения

вероятности

и выборочная

статистика

29

р ( я і ; ti)= j р(хи

хг; tu h)dx2.

(2.1.4)

— о о

Величина p (x4 ; ti)

называется маргинальной

(безусловной) плот­

ностью распределения

вероятности;

это плотность распределения

личных случайных величин X (t)

и

Y

(t)

называется двумерным

распределением

и может быть

записано

в

виде

Р (х,

y;t)=P

{X (t) ^х;

Y (t) <

y}

=

X

y

=

j

,J

p (x',

y'; t) dy'

dx'.

(2.1.5)

— o o

— o o

Два

типичных,

не

зависящих

от

времени

двумерных'["рас­

пределения вероятности показаны на фиг. 2.1.4.

условная

плот­

В

последующих

главах будет

использоваться

ность

распределения

вероятности.

Условное

распределение на­

копленной вероятности случайной величины Y,

получающееся

при условии, что случайная величина X

равна значению х,

дается

выражением

P (у I X =

х) =

lim P (у I x <

X < x +

Ах),

n ,

I V

ч

P(x-\-hx,

у)— Р (х, у)

дР(х,

и)/дх

Р (у \Х = х) = hm рТ I а ; р / t =

Я р

—

•

к

а 1

'

дзс^о Р(х

+ Ах) — Р(х)

дР(х)Ідх

ся дифференцированием P

(у \ X = х)

по у:

р(у\Х

= х) =

Р

^ .

(2.1.6)

Д л я упрощения записи условную

плотность

распределения веро-

ч - Ф и г . 2.1.3. Типичные

диаграммы процессов

(слева)

и соответствующие

им (не з а в и с я щ и е от времени) плотности распределения

вероятности

(справа).

а — синусоидальная волна

(со случайной начальной фазой

W); б — синусоидальная

волна плюс случайный шум; в — узкополосный случайный

шум; г — широкополосный

случайный шум. (Из работы

[1],

стр.

17, 18.)

,

30

Глава

2

ятности принято

записывать

в

виде

Р {у \ х) =

р

{у \ Х = х).

(2.1.6),

равна

• р (х,

у)

=

р (у

I х)

р

{х),

можно

записать

о о

Р (У) =

j

Р

(У Iх)

Р

(х)

d x -

— о о

условия

X

— х нужно условную

Другими словами, для снятия

Ф и г. 2.1.4. Д в а

не з а в и с я щ и х

от времени

двумерных

распределения .

а — двумерная

плотность

распределения вероятности непрерывных

величин;

б - дву­

мерное распределение вероятности дискретных величин.

плотность

распределения умножить на

плотность

распределения

X и проинтегрировать по всем значениям

X.

Обобщая выражение (2.1.5), можно ввести и-мерное распреде­

ление накопленной вероятности. Изучение п различных

случайных

величин Хі,

Х2,

. . ., Хп

эквивалентно

рассмотрению

одного

тг-мерного

случайного вектора

X = (Xt,

Х2,

• • -,

Хп). Одномер­

ные

переменные

называются

статистически

независимыми

если

1

) Статистическую независимость двух случайных величин можно

и н т е р -

" претировать

следующим образом. Вероятность получения какого - либо

значе ­

н и я

одной

из

величин не д о л ж н а

зависеть от

того, каково

фиксированное

значение другой величины . Известны непрерывные

процессы,

д л я к о т о р ы х

предыдущие

значения

переменных

действительно

в л и я ю т

на следующие

j з н а ч е н и я .