книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

102

Глава

2

где X

(t) — стационарная случайная входная переменная процесса

с

характеристиками

% {X (t)} =

2

и

г х х (т) = 4 +

2 е _ І т | , где

т = / 2

— tt-

Найдите:

а)

% {Y (t)};

б)

rXY

(h,

t2);

В) ГYY

(hi t2)-

2.27.

Случайные величины X и Y независимы и имеют плот­

ности

распределения

р (х) — е ~х

и

р (у) = е ~ѵ

при X > . 0

и Y >

0. Вычислите ковариацию и коэффициент корреляции для

X

и

Y.

2.28.

Определите корреляцию по ковариации и дисперсии

и

кратко

поясните

утверждение,

что «независимые

переменные

всегда

некоррелированы,

но не все некоррелированные величины

независимы».

а) Приведите пример, в котором нулевая корреляция предпо­

лагает

независимость.

б)

Приведите пример, в котором нулевая корреляция не пред­

полагает

независимость.

В обоих случаях используйте совместное распределение.

2.29.

Если

случайная величина

X

равномерно

распределена

в интервале от —а до а, то р (х) =

1/2а в этом интервале и равна

моменты нулевого, первого и второго порядка

величины X?

2.30.

Чему равны начальные моменты нулевого, первого и вто­

рого порядка

величины X для плотности экспоненциального

распределения

вероятности р (х) = ке~х1 Что

такое kl

Как

можно

вычислить

к?

2.31. Докажите, что максимум нормированной

плотности

нор­

мального распределения лежит при значении Цх, а точки

пере­

гиба — при цх

±

ах.

2.32.

Чему

равны

а) Р { С / > 0 , 4 } ,

б) P {U >

- 0 , 4 } ,

2.33.

Предположим, что плотность некоторого продукта

описы­

вается

нормальным

распределением, и

известно, что

среднее

значение плотности

и. равно 6,4 г/см3 ,

а дисперсия er2

равна

Распределения вероятности и выборочная

статистика

103

2.35. Чему равна вероятность того, что нормированная

случай­

2.37.

При условии,

что Y — нормированная величина с нор­

мальным

распределением, найдите

а)

P {Y > 0,2},

б) Р { 0 , 2 < Г < 0 , 3 } ,

в)

Р { - 0, 4 < Y <

1,0},

г)

Р { Г > 2 } .

5

6,00—6,19

18

6,20—6,29

42

6,30—6,39

27

6,40—6,49

а)

Р {х2

<

Ю},

б)

Р {х2

>

Ю},

в)

Р {5 <

X2 < 15},

г)

Р {х2

= 3}.

случайных чисел.)

Постройте график относительных частот Y

в зависимости от Y,

что даст распределение Y. Укажите положе­

отстоящие от него H a ± s y

, ±2sY и ± 3 s r . Затем разбейте имеющиеся

данные на 10 групп по 4 числа в каждой и найдите значение

Y

для каждой группы. Постройте график относительных частот

Y.

Используйте

интервалы

группировки,

такие, как от 5

до

5,5

и т. д.; на втором

чертеже проведите

линии, отстоящие

от сред­

него значения

на

àzSy/Уп, ±2sY/Yn

и

zt3sr /]A/z.

2.45. Ниже приведена некоторая выборка электроламп по

срокам службы:

Срок службы, ч

Число ламп

2000-2999

12

3000-3999

64

4000-4999

35

5000—5999

14

День анализа

Дерево А, %

Дерево В, %

Разность, %

1

37

37

0

2

35

38

3

3

43

36

—7

4

34

47

13

5

36

48

12

6

48

57

9

7 ~

33

28

—5

8

33

42

9

Распределения

вероятности и выборочная

статистика

105

2.48. Новым методом был получен фтор-органический

твердый

шающим временем

и поэтому

пригодный для

использования

в сцинтилляционных

счетчиках

для регистрации

частиц. Хотя

сколько

следствием

того, что

не

совершаются

ошибочные.

В табл. 3.2.48 приведены данные

об относительной

чувствитель­

ности различных образцов.

Таблица 3.2.48

Относитель­

Состав

Кодовый

Число

ная чувстви­

Хі,

Хз,

г(стеарат

номер

выборок

г

тельность

Х2, г (TPBD)

(терфенил)

цинка)

53

29,4

2

207

25

8,3

54

26,9

3

212

25

7,9

55

26,3

5

220

25

7,2

57

21,2

2

210

25

8,0

59

26,3

2

205

25

7,7

60

23,1

3

213

25

8,2

61

26,8

3

200

25

7,8

63

25,4

2

217

25

7,8

а)

Определите для каждой случайной величины X

следующие

характеристики: 1) выборочное среднее значение Xt,

2) выбороч­

ную

дисперсию

Xt,

3)

выборочное

стандартное отклонение

Xt.

б)

Найдите

для

переменной

Z = Х^ + Xz

+ Х3:

1)

саму

величину Z, 2) оценку среднего значения Z, 3) оценку диспер­

сии Z, 4) оценку стандартного

отклонения

Z.

2.49. При Р = 0,99

найдите

значения t для:

а)

симметричного

интервала

относительно

t =

0

(два

хвоста

распределения) ;

от — о о до t.

б)

одностороннего

интервала

2.50. Чему

равно:

(ѵ — число

а)

P {t ^

3}

для

V =

4

степеней

свободы)?

б)

і > { | ( | < 2 } для V =

30?

в)

P {t =

5}

для

V =

4?

г)

P {t >

6,2053}

для

V =

2?

2.51. Чему

равно

t„

для

ѵ =

5 и

Р { « ^ ^ }

=

0,10?

2.52. При условии,

что P {F >

F^} = 0,05,

вычислите F^ для

распределения

отношения

дисперсий с v t = v 2

= 5 и для v t

= 3r -

2.53.

Чему

равна вероятность P {F ^ F*}, если

= 7,

Vi = 6

и ѵ 2 =

5?

106

Глава 2

Я

Pc

s = n

Р~»

где Hs

— молярная

влажность

при насыщении; Ps — давление

водяного пара; рт — полное давление,

которое не является слу­

чайной

величиной.

Найдите среднее значение и дисперсию Hs

по среднему

значе­

нию и

дисперсии

Ps.

карты

для пара)

эквива­

2.56. Метод Кокса (изобарические

Р*

через среднее

значение

и дисперсию Т. Чему равны % {Р*}

и

Var {Р*}, если

% {Т} =

100 °С,

Ѵаг {Т} = 1 (°С)2 ,

а = 9,80

и

b = 2800 К?

2.57. Найдите

среднее

значение

(математическое

ожидание)

персии

независимых

переменных для следующих

выражений:

где

а) к = к0

(1 +

аТ),

случайная величина,

Т —

к — удельная

теплопроводность,

температура, случайная

величина;

б) к = ай

+ aj + а2Т2;

в)

к = ко ( %2^ь

) (ш)

' ;

г)

q =

UAAT,

где

А — площадь,

равная

некоторой

постоянной,

U ж AT —

случайные

величины.

2.58. Полный поток газа в установку каталитического

кре­

кинга,

равный 650

м3 /мин,

состоит

из следующих

компонент:

Распределения

вероятности

и

выборочная

статистика

109

где V

— объем

фильтрата, м3;

X — время,

мин; р — перепад

давления;

и. — вязкость жидкости;

а — среднее удельное сопро­

тивление

осадка (0 ^ а ^ 1); W — вес сухих

твердых

остатков;

А — площадь

фильтрования.

Величины р,

V,

t ж А измерены,

а и. известна и равна 2 санти-

пуазам

при 20 °С

(предполагается, что это

значение

точное).

скорость на единицу площади; De

=

(4) - (средний гидравлический

радиус); Ср

— теплоемкость; к — удельная теплопроводность; Di

и Di — диаметры

1-й

и 2-й труб.

Расположите безразмерные отношения по их относительному

вкладу в полную дисперсию величины

hDJk,

если стандартные

отклонения

а

и

средние

значения

ц.

равны

Х>2

V

Di

ч

h

а

3

100

000

0,77

0,5%

4%

1%

{величина о

выражена

в процентах

от среднего значения). Пред­

положите,

что

дисперсия

постоянного

множителя 0,032 равна

нулю (что в действительности неверно).

Чтобы уменьшить дисперсию,

в которую

дают вклад три без­

110

Глава 2

г

л

д

Энергетический

Число треков

Энергетический

Число треков

интервал зарегистри­

А

В

интервал зарегистри­

А

в

рованных протонов

рованных протонов

0 , 3 - 0

, 4

12

11

0,8—0,9

9

8

0 , 4 - 0 , 5

32

30

0 , 9 - 1 , 0

9

5

0 , 5 - 0 , 6

26

59

1,0 - 1, 1

6

4

0 , 6 - 0

, 7

21

22

1,1 - 1, 2

5

1

0 , 7 - 0 , 8

3

17

1,2 - 1, 3

4

5

Соотношение

Мольный процент

Время

подач воздуха

Серия

конверсии во

контакта,

и сырья

фталевый

с

(1 г возду­

ангидрид

ха/1 г сырья)

1

0,69

29

50,5

2

0,66

91

30,9

3

0,45

82

37,4

4

0,49

99

37,8

5

0,48

148

19,7

6

0,48

165

15,5

7

0,41

133

49,0

Распределения

вероятности и выборочная

статистика

m

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Bendat

J. S., Piersol

A . G., Measurement and Analysis

of Random

Data,

W i l e y ,

N . Y . , 1966; есть русский перевод: Бендат Д ж . ,

Пйрсол А . ,

Анали»

и измерение случайных процессов, изд-во «Мир»,

1971.

Washington,

D.C., 1952.

3.

K i n g

J. R.,

Graphical Data Analysis

w i t h Probability Papers, available-

from

Team,

104 Belrose

Ave. , Lowell, Mass.,

1965.

4:

Ferrell E . В . , Ind. Qual.

Control, p.

12 (July

1958).

Antonio,

Texas,

1962.

6. Gumbel

E . J.,

Statistics of Extremes, Columbia

U n i v . Press, N . Y . 1958;:

есть русский перевод: Гумбель Э., Статистика

экстремальных значений,,

изд-во

«Мир»,

1965.

ment

Printing

Office,

Washington,

D.C.,

1959.

8. Maxwell A . E . ,

Analyzing

Qualitative

Data,

W i l e y ,

N . Y . , 1961.

9.

Yule G. U . ,

Kendall

M . G.,

Introduction

to

the

Theory

of Statistics,

Crif-

f i n , London,

1940,

Appendix

Table

5;

есть

русский

перевод: Ю л

Д .

Э . ,

Кэндэл М. Д . , Теория статистики,

Госстатиздат,

1960.

10.

Merrington

M . ,

Biometrika,

32,

300

(1941).

11. Fischer R.

A . , Yates

F.,

Statistical

Tables, Oliver and

B o y d , Edinburgh.,.

Scotland,

1938.

12. Ratkowsky D . A . , J.

Chem.

Eng.

Ed.,

3,

3

(1965).

13.

Eisenhart

С ,

Ann.

Math.

Stat.,

10,

162

(1939).

14. Ezekiel M . , Methods

of

Correlation

Analysis, W i l e y ,

N . Y . ,

1941,

Ch.

20.

15. Pearson E . S., Hartley

H . O.,

Biometrica

Tables

for

Statisticians,

V o l . l r

2nd

ed., Cambridge

U n i v . Press,

1958.

16.

Fisher

R.

A . , Jates F., Statistical Tables for Biological,

Agricultural

and

Medical Research, 3rd ed.,

Oliver

and

B o y d , Edinburgh,

1948.

17.

David

F.

N . , Tables

of

Correlation

Coefficients,

Biometrika

Office,

U n i v .

College, London,

1938.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

ЛИТЕРАТУРА

Bennett С. A . , Franklin

N . L . , Statistical

Analysis

i n Chemistry

and

the>

Chemical

Industry,

W i l e y ,

N . Y . ,

1954.

Brownlee

K . A . , Statistical Theory and Methodology on

Science and

E n g i ­

neering,

W i l e y , N . Y . ,

1965.

Dixon

W .

J., Massey F. J.,

Introduction

to

Statistical

Analysis,

2nd

ed . r

M c G r a w - H i l l ,

N . Y . , 1957.

Dodge H . F., Romig

H . G., Sampling

Inspection Tables, 2nd ed.,

W i l e y ,

N . Y . ,

1959.

Feller

W . , A n

Introduction

to Probability

Theory

and

its

Applications,.

V o l .

1,

2nd ed.,

W i l e y

N . Y . , 1968; есть

русский перевод: Феллер В . , Введе„

ние

в теорию

вероятностей

и

ее п р и л о ж е н и я ,

изд-во «Мир», т. 1, 1964;

т. 2 Г

1967.

Haid

A - ,

Statistical

Theory

w i t h

Engineering Applications,

W i l e y ,

N . Y . ,

1952; есть

русский

перевод: Х а л ь д

А . ,

Математическая статистика

с

техни ­

ческими п р и л о ж е н и я м и ,

И Л ,

1956.

Hoel

P.

G.,

Introduction

to

Mathematical

Statistics,

3rd

ed.,

Wiley,.

N . Y . ,

1962.

Т . І Р

Щ Ц ^ Д л л ^

tn

w i t h

Statistics.

Norton.

N . Y . .

1954.