книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

192 Глава 3

мых корректировочных действий. С некоторых пор у руководящих сотрудников предприятия возникло предположение, что в произ­ водстве поливитаминов сложилась совершенно неудовлетвори­ тельная ситуация с витамином А. Но пока из контрольных карт не было получено потверждений, вносились незначительные кор­ рективы. Согласно установленному порядку, определение содер­ жания витамина А в аналитической лаборатории проводилось на основе повторных измерений. Они позволяли оценить разброс лабораторных данных. Хотя законность выводов о вариациях от партии к партии по точности одних лишь этих данных представ­ лялась весьма спорной, это позволяло получить наилучшую оцен­ ку разброса внутри данной партии. После составления карт X, основанных на разбросе лабораторных данных, было обнаружено, что выборочные средние флуктуировали так сильно, что лишь малая часть их находилась в контрольных пределах, как видно из фиг. П.3.9.3, а для продукта H и фиг. П.3.9.3, д для продукта М. В качестве первого шага было проведено исследование качества сырьевых материалов.

Витамин А, поставляемый в виде солей уксусной или пальми­ тиновой кислоты, очень чувствителен к окислению в атмосфере, вследствие чего предусматривалось его некоторое избыточное коли­ чество. Геометрическая конфигурация боковой цепи молекулы витамина А допускает существование цис- и транс-изомеров. Пер­ воначально преобладал торакс-изомер, но постепенно благодаря окислению на воздухе он превращался в цис-шзомер, пока не об­ разовывалась равновесная смесь, содержащая приблизительно 66% транс- и 33% fyuc-изомера. Хотя некоторые последние резуль­ таты, по-видимому, свидетельствуют об обратном, длительное время предполагалось, что относительное различие в физиологи­ ческом действии этих двух изомеров невелико. Аналитическое определение содержания витамина А было основано на методе ультрафиолетовой спектроскопии, причем предполагалось, что присутствует только транс-изомер.

Исследование показало, что пальмитат витамина А, например, закупался в сыпучей форме как полутвердый в 50-килограммовых контейнерах в различных местах, в том числе через посредников, которые могли объединять партии, полученные из разных источ­ ников; анализ производился по прибытии. Согласно действующей спецификаций, он обладал «70%-ной активностью» по результатам ультрафиолетового анализа. В соответствии с ранее определенной активностью А витамин вводился в производственный процесс.

Контейнеры хранились в холодильной камере. Д л я удовлетво­ рения заявок контейнер вынимался из холодильной камеры, подогревался, отсыпалось необходимое количество продукта, заполнялся ордер и контейнер возвращался на место. Очевидно, по мере того как эта ппопепѵпа повторялась, ПРОИСХОДИЛО ОКИС-

ление. Кроме того, емкости, которые содержали количество веще­ ства, недостаточное для удовлетворения очередной заявки, хра­ нились до тех пор, пока их не накапливалось несколько штук; тогда их содержимое объединялось и перемешивалось. Таким обра­ зом было установлено, что именно постоянный сдвиг относитель­ ного содержания изомеров и приводил к большому разбросу ре­ зультатов анализа проб конечных продуктов на контрольных картах. Однако, по-видимому, были и другие причины падения активности, которые не объяснялись ^ис-транс-изомерией.

Первая попытка решить эту проблему состояла в том, что депар­ таментом закупок было созвано совещание с участием наиболее надежных поставщиков, которые согласились поставлять витамин А в «расфасованном» виде без дополнительной оплаты. Была раз­ работана схема, позволяющая удовлетворять все производствен­ ные заявки, комбинируя пакеты трех стандартных размеров, кото­ рые заполнялись в атмосфере азота на предприятиях-поставщиках и не открывались без необходимости, хотя один пакет из каждой партии подвергался проверке. Этот метод выявил сильную зави­ симость от «торговой аттестации» действующего начала. Сначала казалось, что изменение упаковки дало удовлетворительные резуль­ таты, однако, как отражено на фиг. П.3.9.3, б, в для продукта Н,

отклонения, связанные с местом закупки сырья, оказались не един­ ственной трудностью. Хотя закупаемое вещество имело «100%-ное содержание ттгрсшс-изомера», очевидно, что некоторый сдвиг к цис-

изомеру еще имел место.

Поставщики согласились поставлять равновесную смесь из 66% транс- и 33% tyuc-изомера в расфасованном виде. Стрелка на фиг. П.3.9.3, в указывает, когда первая партия, содержащая равновес­

ную смесь витамина А, была подвергнута анализу. При этом имел место значительный сдвиг вверх в содержании витамина А, так что потребовалось установить новый уровень контроля, как пока­ зано на фиг. П.3.9.2, г и е для продуктов H ж M соответственно.

После внесения описанных выше коррективов были составлены контрольные карты, позволяющие осуществлять более одно­ родный контроль содержания витамина А в двух типичных вита­ минных продуктах. Под контролем находились не только почти все средние для данной партии, но также и размах внутри партии и между различными партиями.

3.9.2.Контрольные карты приемки

Обсуждение выборочных планов выходит за рамки этого раз­ дела. При приемочном контроле измеряются некоторые характе­ ристики продукта, согласно некоторому выборочному плану берет-

ся случайная выборка объема п, вычисляются выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение и для проверки нулевой гипотезы применяется критерий значимости. С нулевой гипотезой связаны альтернативная гипотеза и ошибки первого и второго рода. Потребитель, покупающий этот продукт, устанавливает предел, ниже которого продукт считается непригодным к исполь­ зованию, и именно он определяет альтернативную гипотезу. На фиг. 3.9.3 изображена кривая оперативной характеристики

3

Доля дефектной продукции.

Ф и г 3.9.3. К р и в а я оперативной характеристики для выборочного плана .

для типичного выборочного плана. Для производителя нулевая гипотеза Н0 состоит в том, что продукт приемлем, и даже если он производит приемлемый продукт, 100а % продукции будет считать­ ся неприемлемой, так как по своей природе выборочная статистика процесса стохастична. В этом смысле величина а называется риском производителя, а связанный с ней уровень доли дефектных изде­ лий — уровнем приемлемого качества (УПК). Если производитель, выпускает 100ß % дефектной продукции, которая не зарегистри­ рована как дефектная из-за стохастической природы выборочной

лемый уровень (НУП) — по величине ß. До тех пор пока контро­ лируемая статистика продукта попадает между ПУП и НУП, счи­ тается, что процесс находится под контролем. Заметим, что контрольные пределы зависят от а, ß и п. Некоторые примеры контрольных карт приемки даны в работе [32].

Контрольные карты скользящих геометрических средних [33], или контрольные карты скользящих экспоненциально взвешенных средних, так же как и контрольные карты накопленных сумм, находят наиболее широкое применение там, где технические усло­ вия должны быть жесткими, так что необходима чувствительная схема контроля. Эти карты объединяют информацию из прошлых выборок с данными из текущей выборки и поэтому используют больший объем информации, чем карты ПІьюхарта, позволяя в ре­ зультате регистрировать меньшие сдвиги уровня процесса. Конеч­ но, их недостаток состоит в том, что прошлая информация маски­ рует возможные малые сдвиги уровня процесса, определяемого лишь новой информацией. Карта скользящего геометрического (экспоненциально) взвешенного среднего придает больший вес последним измерениям по сравнению со старыми, так как вычис­ ляется взвешенная линейная комбинация некоторой выборочной статистики, например X. Самым новым значениям приписывается вес w (0 ^ w ^ 1), а более старой взвешенной статистике — вес 1 — w. Таким образом, если

При w — 1 весь вес падает на текущие данные и получается карта Шьюхарта. Если I Ü = 0 , текущим данным не придается никакого веса, так что в результате текущую выборку не нужно набирать!

Можно показать, что если Zt = Xit то математическое ожидание

%{Zt) = va

и"дисперсия

Var{ZI} = a | [ l - ( l - U ; ) 2 h J I ^ r .

Д л я больших к

одновременно «усиливая» реальные изменения в процессе. Правда, карты Шьюхарта можно сделать более чувствительными, используя помимо контрольных пределов, указанных в табл. 3.9.5 (для одной

В таком варианте правила принятия решения позволяют исполь­ зовать часть дополнительной информации, записанной на конт­ рольной карте, помимо той, которая содержится в текущей выбор­ ке. В картах накопленных сумм также учитывается не только текущая выборка; следовательно, с правилами принятия решений

ной суммы используются различные критерии вмешательства. Контрольные пределы на карте накопленной суммы определяются по распределению статистики, наносимой на карту; однако кон­ трольные линии на карте не проводятся, а задаются с помощью специального шаблона или накладной маски. На карте накоплен­

указывающие величину наклона.

На фиг. 3.9.4 показан типичный шаблон и приведены правила для его построения и использования, выводимые из распределения статистики, наносимой на карту, в предположении, что случай­ ная переменная распределена по нормальному закону. После того как каждая точка отмечена на карте, опорная точка Р на маске совмещается с самой последней точкой. Тогда наблюдатель может увидеть, попадают ли ранее отмеченные точки под маску (или вообще исчезают, если маска непрозрачна), если правильно расположить маску в соответствии с данным правилом принятия решения. (Следует отметить аналогию с последовательным крите­ рием Вальда из разд. 3.4.1.) Когда такое событие происходит, говорят, что процесс «вышел из-под контроля». Д л я Ѵ-образных масок полагают, что визуальное проявление некоторого изменения оптимально, если горизонтальный шаг приблизительно равен 2о* вертикального шага [38].

Так как Ѵ-образная маска может быть построена по двум пара­ метрам, половинному углу раствора Ѳ и длине шага d, как показа­ но на фиг. 3.9.4, естественно, возникает вопрос, как связать соответствующие величины Ѳ и d с мощностью правила принятия решения. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сначала ввести понятие средней длины серии. Средней длиной серии (СДС) называют число выборок, полученных до того, как появился сигнал вмешательства. СДС служит мерой того, как часто необ­ ходимо вмешиваться в процесс, если следовать соответствующим правилам принятия решения, основанным на выбранном значе­ нии а. Так как средняя длина серии является случайной пере­ менной, распределение которой зависит от критериев, используе­ мых при контроле, грубо говоря, она и служит некоторой мерой относительной эффективности контрольной схемы.

Чтобы дать беспристрастную сравнительную характеристику карты Шьюхарта и карты накопленной суммы, предположим, что правила принятия решения для каждой из них выбраны так, что карты имеют одну и ту же среднюю длину серии СДС4 , если процесс находится под контролем. Затем произведем некоторое ступенча­ тое изменение уровня процесса, например везде от 0 до 3 стандарт­ ных отклонений от первоначального уровня, и вычислим средние длины серий СДС 2 между началом изменения уровня процесса и его обнаружением.

Д л я карты Шьюхарта средняя длина серии при изменении про­ цесса на ка от целевого значения может быть подсчитана по сле­ дующим формулам [39, 40]:

с д с , = ^ ,

где ß — вероятность попадания точки между контрольными пре­ делами, когда уровень процесса отклонился от целевого значения (ц. Ф ц.0 ). К сожалению, не существует аналитического способа вычисления СДС4 и СДС 2 для карт накопленных сумм, так что сравнение здесь проводится по результатам Гоулдсмита и Вайтфилда [39], которые оценили эти длины на цифровой вычислительной машине методом Монте-Карло. На фиг. 3.9.5 сравниваются длины СДС 2 для четырех различных значений СДСі как функции от к. Видно, что карты Шьюхарта, вообще говоря, менее эффективны, чем карты накопленных сумм, особенно для больших значений пара­ метров СДС 1 ; т. е. при малых а.

Возвращаясь к вопросу о построении Ѵ-образных масок, можно точно определить, как велика должна быть длина СДС І 5 пока про­ цесс под контролем, и как мала должна быть длина СДС2 , чтобы можно было обнаружить заданную величину изменения процесса.

стандартных отклонений до момента его о б н а р у ж е н и я . Предполагается, чтонезависимая переменная распределена по нормальному закону с дисперсией а 2 .

карта Шьюхарта; карта накопленной суммы.