книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

В выражении (4.3.8) переменными являются параметры, а значе­ ния Y я X заданы. Тогда

из которых первые два совпадают соответственно с уравнениями

в чем можно будет^убедиться в дальнейшем.

Плотности распределений вероятности для Ъ0 и Ъі можно полу­ чить с помощью теоремы сложения для нормального распределения или теоремы разложения для распределения %2. Однако эти детали, которые можно найти^в курсах статистики, здесь опущены. Так как Ь0 и Ъх являются линейными комбинациями Yt, можно заклю­ чить, что любая из этих оценок распределена по нормальному закону. Прежде всего представляют интерес математические ожи­ дания и дисперсии Ь0 и bit так как эти характеристики необходимы для последующего анализа методов построения моделей.

Линейные модели с одной переменной 243

Математические ожидания Ь0 и bj соответственно равны (сум­

мирование ПРОИЗВОДИТСЯ ОТ І = 1 ДО П И 2.Рг ( ж і — ж) = 0)

2^ ~~YP~~^

2 Pi {xt — «)[ßo-r-ßi(*i — x)]

2Pi (^г — ^ ) 2

Отсюда видно, что bo и bt являются несмещенными оценками. Ана­

Частным случаем рассмотренной выше линейной модели явля­ ется прямая и = ßa;, проходящая через начало координат. Можно показать, что оценка углового коэффициента равна

2 РІ*\

і=1

Теперь осталось найти лишь несмещенную оценку су , что

можно сделать с помощью следующей теоремы (теорема разложе­ ния для ^-распределения):

Линейные модели с одной переменной 245

Слева стоит полная сумма квадратов разностей между эксперимен­ тальными значениями и математическим ожиданием Y при данном x. Первый член справа является суммой квадратов отклонений внутри набора данных (сумма квадратов ошибок), второй член представляет собой сумму квадратов отклонений относительно эмпирической линии регрессии (остаточная сумма квадратов), третий член — сумма квадратов отклонений Ъ0 от ß 0 , а четвер­ тый— сумма квадратов отклонений Ь1 от ß j 1 ) .

Интерпретировать эти члены проще всего с помощью фиг. 4.2.2. Первый член правой части есть мера экспериментальной ошибки, полученной в каждом отдельном эксперименте, выполненном при различных значениях х; второй член служит мерой эффективности линейной модели для подгонки экспериментальных данных. Левая

квадратов удовлетворяет двум ограничениям, по одному на каждое из выражений (4.3.3), а оставшиеся две степени свободы распреде­ ляются по одной между двумя последними суммами квадратов, так как каждая из них содержит по одной переменной, Ь0 или Ь4 . Можно также утверждать, что Ь0 является случайной величиной,

і = 1

*) В отечественной литературе первый член называют суммой квадратов, связанной с дисперсией, характеризующей ошибку опыта, или суммой квад ­ ратов, связанной с «чистой» ошибкой. Второй член называют суммой, обус­ ловленной неадекватностью. Остаточной суммой квадратов у нас принято

пvt

246 Глава 4

(Тем самым доказывается, что максимально правдоподобная оцен­

S t=l

тоже является несмещенной оценкой а у.; величина si служит мерой

рассеяния, вызванного экспериментальной ошибкой, тогда как выражение (4.3.13) характеризует неточность подгонки (неадек­

вить отношение дисперсий s£/s2 (разд. 3.6). Если

s2

d r > ^ i - a ,

где F i - a берется из соответствующей таблицы, гипотезу о том, что линейная модель адекватна, следует отвергнуть. Тогда необхо­

(модель правдоподобна, но не обязательно корректна). В этом случае дисперсии s2 и si, являющиеся оценками величины Oy.,

п

можно объединить, чтобы получить лучшую оценку оу. с 2 РІ — 2

степенями свободы. При таком объединении каждая из дисперсий входит с весом, пропорциональным соответствующему числу сте-

248 Глава 4

сий. Суммы квадратов, разделенные на соответствующие числа сте­ пеней свободы, называются средними квадратами. Каждую диспер­ сию из табл. 4.3.1 можно использовать в качестве оценки величины аУі, но в силу того, что Ѵаг{Ь0 } и Ѵаг {£>!}, как правило, неизве­ стны, для оценки а У і используется объединенная оценка sf'i- В свою

Как и раньше, обе части этого равенства можно возвести в квад­ рат и просуммировать по і и /. Разложение суммы квадратов будет аналогично описанному выше. Результаты представлены в табл. 4.3.2. Суммы квадратов во второй и третьей строках этой таблицы такие же, как и в табл. 4.3.1. Сумме квадратов в четвертой строке соответствует общее число степеней свободы 2.Рг минус 1, причем единица появляется в силу ограничения, наложенного при вычис­ лении У. Как следствие сумма квадратов в первой строке имеет только одну степень свободы.

Сначала можно проверить гипотезу о линейности модели, сос­ тавляя отношение дисперсий sf-fsl и применяя ^-критерий, как объяснялось выше. Если отношение дисперсий не является значи­ мым, линейная форма модели принимается. Затем можно прове­ рить гипотезу, что ßi == 0, составляя отношение sysYi- Если это отношение больше, чем значение Fy-a, из таблиц для некоторого выбранного а, гипотеза ßj = 0 отвергается. На фиг. 4.3.1, а пока-