книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

12 Глава 1

можно эффективно применить методы, излагаемые в этой книге. Последнее качество далеко не маловажно.

В этой вводной главе приводится используемая терминология и классифицируются математические модели, применяемые для описания реальных процессов. Здесь показывается, что реальные

постановки задач и при нахождении способов их решения. Он включает: 1) математическую формулировку задачи для заданной физической ситуации, 2) детальный анализ с целью построения

физиологии, технике, химии, биохимии, физике и экономике. Нельзя, очевидно, с помощью одного определения охватить все многообразие значений слова «модель», но здесь оно будет обозна­ чать математическое описание процессов, помогающее анализиро­

пределенность. Переменные или параметры, используемые для описания связей между входом и выходом, а также структура эле­ ментов (и ограничений) точно не известны. Статистические пере­

Примерами моделей явлений переноса служат феноменологиче­ ские уравнения обмена, т. е. уравнения непрерывности, опи­ сывающие сохранение массы, импульса и энергии. Распределения

по времени пребывания и другие распределения по возрасту явля­ ются примерами моделей баланса популяций. Наконец, типичны­ ми примерами эмпирических моделей служат полиномы, использу­ емые при подгонке экспериментальных данных.

В табл. 1.1.1 модели явлений переноса классифицированы по степени сложности физических представлений о процессе, необ­ ходимых для построения модели; эта сложность уменьшается свер­ ху вниз. Примеры конкретных моделей можно найти в таблицах

ипримерах части I I I .

Втабл. 1.1.2 представлена другая классификация явлений переноса, основанная на типе уравнений, используемых в моде­ лях; таким образом, она разделяет модели по степени сложности

сосредоточенных параметров предполагается, что можно прене­ бречь их изменением в пространстве; различные свойства и состоя­ ние системы (зависимые переменные) могут считаться одинаковы­ ми по всей системе. Наличие распределенных параметров, напро­ тив, предполагает детальный учет изменения поведения при переходе от одной точки системы к другой. Все реальные системы, конечно, являются системами с распределенными параметрами в том смысле, что в них всегда присутствуют какие-нибудь неодно­ родности. Однако эти неоднородности нередко оказываются отно­ сительно малозаметными, так что ими можно пренебречь и тогда система будет иметь сосредоточенные параметры.

В этой книге системой называется процесс или часть процесса, выбранная для анализа; система подразделяется на подсистемы (или элементы). Понятие системы не обязательно определяется аппаратурой, в которой протекает процесс, или природой самого процесса. Напротив, это понятие довольно условно, оно исполь­ зуется исследователем лишь для выделения процесса или его части в целях детального изучения. Например, насадочная ректифика­ ционная колонна обычно рассматривается как система, а тарель­ чатая ректификационная колонна — как система, состоящая из подсистем — отдельных ступеней. Такое определение не являет­ с я установленным раз и навсегда, ибо при желании насадочную ректификационную колонну можно рассматривать как некоторый •ступенчатый процесс, а тарельчатую ректификационную колонну— как единую систему.

Если переменная величина у на выходе подсистемы полностью определяется величиной х на входе в нее, параметрами подсистемы и начальными и граничными условиями, то в обобщенном смысле подсистему символически можно представить в виде

Оператор Ш описывает любое преобразование х в у. Предполо­ жим теперь, что на входе одновременно заданы две величины так, что

Тогда оператор Ш, по определению, называется линейным опера­ тором, свойства которого более подробно описаны в приложе­ нии Б . Система называется линейной, если ей соответствует линей­ ный оператор 3£, а модель линейной системы, представляющая собой линейные уравнения и граничные условия, называется линейной моделью. В противном случае модель нелинейна. Даль ­ нейшие детали классификации и применения моделей процессов можно найти в книге [1].

1.2. С Л У Ч А Й Н Ы Е В Е Л И Ч И Н Ы И С Т А Т И С Т И Ч Е С К И Е

МО Д Е Л И

Врезультате повторных измерений в большинстве реальных экспериментов обычно получаются отличающиеся друг от друга значения измеряемых величин. Такой исход эксперимента называ­

Существует много причин, приводящих к тому, что наблюде­ ния и измерения, сделанные в экспериментах, оказываются скорее случайными, чем детерминированными. Иногда случайность пред­ определена самой физической сущностью явлений, как, например, при радиоактивном распаде веществ или эмиссии электронов из катода — процессах, которые протекают на молекулярном

иатомном уровнях, а измеряются макроскопическими приборами.

Вдругих случаях сказывается неполнота информации о данной величине или применяемая аппаратура не позволяет получить всю требуемую информацию, так что наблюдаются лишь некоторые стороны явления. Часто это объясняется небрежностью и невни­ мательностью наблюдателя.

Вреальных заводских условиях производственные шумы,

расхода питательного раствора при различных скоростях движе­ ния пера регистрирующего прибора. Верхняя картина получена на типовом промышленном приборе, на средней сигнал стал замет­ нее, на нижней картине ясно виден шум с частотой 60 Гц, прису­ щий аппаратуре, однако еще остались заметны характерные вариа­ ции. Наконец, неопределенность может возникать потому, что модель процесса в действительности не адекватна самому физическому процессу. В общем с отсутствием строгой детерминирован-

ности измерений исследователь сталкивается повсюду в своей работе.

Истинное значение переменной — это такое ее значение, которое получилось бы при некотором измерении, если бы отсут­ ствовали элементы случайности, связанные с измерением. В этом смысле оно является гипотетическим значением. С понятием

Ф и г . 1.2.1. П о к а з а н и я дифференциального датчика давления в трех раз ­ личных временных ш к а л а х [5].

истинного значения связано понятие ошибки, ибо ошибка пред­ ставляет собой разность между измеренным и истинным значения­ ми. Случайной ошибкой называется разность между случайной^. величиной и ее истинным значением.

Итак, случайные результаты, полученные в эксперименте, содержат ошибку или неопределенность. Такую ошибку следует отличать от: 1) большой, в некотором смысле изолированной ошиб­ ки, которую можно назвать выбросом, и 2) постоянно возникающей ошибки, например, вследствие плохой калибровки прибора или

или повторные серии на одной и той же аппаратуре, или одновре­ менные серии на идентичной аппаратуре.

Ансамбль, как одна временная запись и как группа одновре­ менных экспериментов, также имеет случайный характер. Неко­ торые случайные величины можно выразить явными функциями, другие — лишь графически или с помощью таблиц. В последующем

например X (ti); отсутствие аргумента у X означает, что величина не зависит от времени t. Часто бывает необходимо различать слу­ чайную величину X и ее конкретное значение, для которого будут использоваться строчные буквы. Как правило, случайные вели­ чины будут обозначаться прописными буквами из второй половины алфавита. Однако некоторые общепринятые символы для случай­ ных величин, например для оценки дисперсии, будут сохранены. Строчными буквами, вообще говоря, будут обозначаться детерми­ нированные величины, за исключением таких понятий, как

методы расчета случайных процессов. Такое понимание и умение анализировать приходит лишь при достаточной практике.

Статистическая модель — это не что иное, как математическое "(Угасание случайного процесса. Фиг. 1.2.3 дает представление о по­ токе информации в двух простых статистических моделях. На

выходная переменная возникает вследствие случайного характера входной переменной. Не исключено, что и дифференциальные уравнения модели могут быть стохастическими, если они содержат случайные коэффициенты. Зависимые и независимые переменные процесса могут быть дискретными или непрерывными. Многие, но не все переменные, связанные с непрерывным процессом, такие, как температура, давление, состав, являются непрерывными, т. е.

Статистическая

модель

Дискретные переменные могут принимать только отдельные зна­ чения в некотором интервале.

Статистические модели можно классифицировать подобно тому, как показано в табл. 1.1.2 или на фиг. 1.2.4. Термины, при­ веденные на фиг. 1.2.4, поясняются в гл. 2 и 12. Хотя статистиче­ ская модель представляет собой только некоторую абстракцию реального процесса, она, по-видимому, с достаточной полнотой описывает процесс, особенно изучаемую величину. Пока модель