книги из ГПНТБ / Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

32

Глава 2

Е,

=

(X

<

а2,

Y

<

6а),

£2

=

(X

<

О,,

Г

<

6,),

Е3

=

(X

<

fl2,

F

<

60.

Ek

=

(X

<

oj,

F

<

62 ).

Инте^Т-лующее нас событие (заштрихованная площадь) можно

записать в

виде

Е = ( Й 1 < Х < а 2 ,

6 t < F < 6 2 ) .

Так как вероятность Р (Е) представляет

собой двойной интеграл

от плотности распределения по отмеченной на фиг. П.2.1.1а

обла­

сти, можно

заключить,

что

Р

(Е)

= Р {а,

<

X

<

а2 ,

6і <

Г

< 62 }

=

= IP

(Er)

-Р

(Е3)]

+

[Р

(Е2) -

Р (Я4 )].

(г)

Важным понятием для случайных функций является понятие

стационарности.

Случайная

функция

называется

стационарной

в строгом смысле

слова,

или строго стационарной,

если плотности

Распределения

вероятности

и выборочная

статистика

33

а — стационарные данные; б —. изменяющееся со временем среднее значение; в — изме­

няющееся со временем среднее значение квадрата; г — изменяющиеся со временем сред­

нее значение и среднее значение квадрата (из работы [1],

стр. 334).

постоянная, положительная

или

отрицательная,

и

р (ж; t) = р

(х; t

+ а) = Р (ж),

(2.1.8)

34

Глава

2

рого

порядка,

можно

записать

p

(хи х2; ti,

t2) = р

(хи х2\

ti +

a,

t2 +

а)

=

=

р

(хи х2; х),

(2.1.9)

где х

= t2 — ti. Итак, если функция X

(t) стационарна, плотность

распределения

второго порядка

зависит лишь от разности

между

обсуждаться критерии, с помощью

которых

можно установить,

являются ли переменные процесса

стационарными.

2.2. Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И А Н С А М Б Л Я :

С Р Е Д Н Е Е

З Н А Ч Е Н И Е , Д И С П Е Р С И Я , К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т К О Р Р Е Л Я Ц И И

Прежде

всего

рассмотрим математическое

ожидание

функции

/ [Х- {ty), X

(t2), .

. ., X (tn)] случайной переменной X (t),

которое

=

j . . .

j /

ix (h),

X (tn))

X

—

oo

— o o

X

p (xt,

. . .,

xn;

tu

. . .,

tn) dxt . . .

dxn,

(2.2.1)

где p

— совместная

плотность

распределения, а

% обозначает

математическое

ожидание.

Заметим, что % {/} не

является неко­

торой

случайной

величиной,

но

может зависеть

от tx,

. ., tn.

Каждое среднее по ансамблю представляет собой функцию,

описывающую определенные характеристики случайной

функции

X (t), такие, как ее

математическое ожидание или дисперсию, или

является

функцией,

из

которой

эти характеристики

можно

получить.

В соответствии

с общепринятой практикой слово «ан­

самбль» не будет

каждый

раз

сопровождать

название

данной

характеристики, а будет просто

молчаливо подразумеваться.

При выполнении операций интегрирования и дифференциро­

вания предполагается, что случайная функция

X

(t) удовлетво­

ряет различным

специальным

требованиям типа

непрерывности

и сходимости, которые здесь

не

обсуждаются.

Однако

с целью

ц у (t)} = % {Si IX (t)]} = Sel %{X (t)}].

(2.2.1a)

определенные

интегралы

и

суммы.

М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е

п р о и з в о д н о й :

«

m

d% {Y}

dt

< 2 ' 2 1 б >

М а т е м а т и ч е с к о е

о ж и д а н и е

и н т е г р а л а .

Если

ь

Y

=

j X (t) г|> (t)

dt,

a

а я|з —

детерминированная

функция,

то

ь

ь

W

=

{ Ш

(t)}

1> (t)

dt=

j

\ix (t) г|> (t) dt,

(2.2.1в)

a

a

где \ix

(t) = %{X

(t)}, как обозначено в разд. 2.2.1.

Если

М а т е м а т и ч е с к о е

о ж и д а н и е

с у м м ы .

Y

= S

atXu

i=i

то

=

2

fl,g{X,}

=

S atV,x.

(2.2.1г)

i=i

і=і

1

2.2.1.

Среднее

значение

Среднее

по ансамблю

значение

случайной величины

представ­

ляет собой

математическое ожидание

этой

величины г )

о о

рх

(t)

=

% {X

(t)} = j

хр

(x; t) dx.

(2.2.2)

— о о

Если

плотность

распределения

р

{x;

t)

не

зависит

от

времени

(X

— стационарная

величина), то величина

цх

(t) =

цх

является

постоянной.

Среднее

значение

характеризует

положение центра

случайной

величины.

По

сути дела оно служит детерминирован­

ной

переменной,

используемой

в

моделях

процесса, если можно

пренебречь

ошибками.

Математическое

ожидание

суммы

двух

случайных

величин

W

(t)

= X

(t)

+

Y

(t)

равно

или

Ш{ѴѴ (t)}

= ЦХ

Щ

+ %{Y (t)}

M * )

=

{t) +

M * ) -

(2-2.3)

Математическое

ожидание

произведения

двух

независимых

случайных

величин Z

(t)

— X

(t) Y

(f)

равно

ЦХ

(t) Y

(t)}

=

ЦХ

(t)}%{Y

(*)},

(2.2.4)

ибо

p

(x, y; t) =

p(x;

t)

p{y;

t)

согласно

равенству

(2.1.7), т. е.

о о

о о

Цг}

=

j

j

хур

(x,

у; ti,

t2)

dx dy

=

— с о

— о о

о о

с о

=

[ \

хр

{x; t) dx]

[ Ç ур

{у;

t) dy] =

цх

{t) | л г (*).

*)

Е с л и

X (t)

не случайная

величина в фиксированный момент в р е м е н и ,

а случайная ф у н к ц и я , то ц х (t)

— математическое ожидание случайной ф у н к -

L пии X

(t). —

Прим.

ред.

Распределения

вероятности

и выборочная статистика

37

Ш{Х (t)} = ІІх (t) = 0.

(в)

о о

g { X 2 ( 0 } = (

e~*y2atdx = at.

(г)

38

Глава 2

dZB + aY(t)=X(t),

У(0) = 0

правилу

(2.2.16):

*ë{Y(t)} +

а Ш { у щ ^ Ш { Х { Щ ,

%{Y(0)}

=

0.

Если

обозначить

цу (t) = ${Y (і)} и

положить

цх

— Ш{Х (t)}

ное обыкновенное дифференциальное

уравнение

i u | î î L + f l n T ( 0 = l i Z ,

М 0 )

= 0.

(а)

Решение уравнения

(а)

имеет

вид

Ы * )

=

т

Ч

і

(

б

)

Это обычное детерминированное

решение,

которое приводится

в

пособиях

по

дифференциальным

уравнениям

и

анализу

детер­

минированных

процессов.

2.2 2.

Автокорреляционная

функция

Автокорреляционная

функция

случайной

функции

X

(t),

rxx

(tu

t2),

характеризует

зависимость значений

функции X

(t)

в

некоторый момент

времени

от

ее

значений

в

другой

момент

времени:

= Ш{Х (h)

rxx (h,

h)

X

(h)}

=

СО

со

=

1

1 ХІХІР

(хи

tu

tz)

dxidx2-

(2.2.5)

Заметим, что r x x {tu

t2)

ОО — O Û

не

является

случайной

функцией

и

для

обозначения еѳ принято использовать строчную латинскую

букву

(а не греческую). На

фиг. 2.2.1

изображены

автокорреляционные

-

tu

. r x x

(tu

t2)

= r x x (т) = ЦХ

(t+T)X

(t)}

=

со

oo

= r x x (—т) =

j

j

xtx2p

(ХІ, x2) t) dxi dx2.

(2.2.6)

— o o

— o o

Автокорреляционные функции r x

x (т) и r x

x (—т) являются четны­

ми функциями т.

Функция называется стационарной

в

широком

смысле слова

(или слабо

стационарной),

если

она удовлетворяет

следующим

двум

требованиям:

Ш{Х (t)} =

\іх,

(2.2.7а)

Ш{Х (t +

т) X (0} = г „ (т),

(2.2.76)

где U.JC — некоторая постоянная, а г х х

зависит только от t2

— ti =

— т. Если

случайная функция, которая может быть описана нор­

ад tu

ü>=4a

ѵ м ^ - е х р [ - ^ -

2 ^ т ^ ]

-

<а>

Заметим, что, так как величины X (£4) и X

(t2) не являются

неза­

висимыми,

произведение

плотностей распределения

вероятности

первого порядка не совпадает с выражением (а).

r x x

(tu t2)

Однако

вместо

того,

чтобы вычислять

величину

удобнее

воспользоваться тем свойством броуновской

частицы,

что изменения ее положения за два неперекрывающихся

интервала

времени

оказываются независимыми, хотя сами величины X (ti)

и

X

(t2)

являются зависимыми. В частности,

величины

X (ti)

и

[X

(t2)

— X (tj)] независимы. Таким образом,

согласно

равен-

Распределения

вероятности

и выборочная

статистика

41

Следовательно

(для t2 > ^і),

rXx (h,

h) = %{X (ti)

X (t2)} = ЦХ* (ti)} = ah.

(6)

ІІ \\

i l l .

*r

111

Ух

I M

Ф и г . 2.2.2. Распределения

случайных величин

с одинаковым средним

значением,

но различной дисперсией.