книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

I ' - - •... ГОРО ШИМУРА

ВВЕДЕНИЕ В АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

ПЕРЕВОД с АНГЛИЙСКОГО А. А. ВЕЛЬСКОГО

под РЕДАКЦИЕЙ С. Г. ГИНДИКИНА

Издательство «Мир» Москва, 1973.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая вниманию читателя книга Г. Шимуры содержит систематическое изложение современной теории модулярных функ­ ций одного переменного и примыкающих вопросов, доведенное до сравнительно недавних результатов. Основная часть книги адре­ сована квалифицированному читателю, и она как по уровню приво­ димых в ней результатов, так и по характеру изложения, не вполне оправдывает фигурирующее в заглавии книги слово «введение».

Собственно введению в теорию — изложению элементарной тео­ рии модулярных функций — посвящены первые три главы. Эта часть (несколько более трети книги) представляет самостоятельный интерес. Можно ожидать, что широкий круг читателей использует ее для первоначального ознакомления с теорией модулярных функ­ ций. Для этой категории читателей отметим, что элементарный очерк теории модулярных функций, включающий понятие об операторах Гекке, можно найти в недавно переведенном на русский язык «Курсе арифметики» Ж.-П. Серра (изд-во «Мир», 1972). Предварительное ознакомление с этим коротким и четким изложением теории может быть полезно читателю данной книги. Более подробное изложение теории модулярных функций па русском языке можно найти в пере­ воде лекций Гаининга (Математика, 8 : 6 (1964), 3—68). Отметим, что читателю первых трех глав книги, кроме тех сведений, которые перечисляет автор (стр. 13), полезно знать немного об эллиптических функциях, а при изучении конгруэнц-подгрупп в § 1.6 используются некоторые факты, главным образом вычисления, из линейной алгеб­ ры над конечным полем. В том случае, когда они не известны, их следует воспринимать как задачи. Заканчивая замечания, относя­ щиеся к элементарной части книги, отмечу, что общая теория автоморфных функций одного переменного нашла в ней место лишь в той мере, в которой это необходимо для построения теории модулярных функций.

«Неэлементарная» часть книги предполагает свободное владение основами алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Добавление автора призвано лишь скорректировать терминологию. Отбор материала в этучасть в основном диктуется предметом соб­ ственных исследований автора — одного из ведущих специалистов в области, которой посвящена книга. Главы 4—6 посвящены теории комплексного умножения. Основные результаты теории формули-

руются иа языке аделей. Классические результаты об абелевых расширениях мнимых квадратичных полей, составляющие основное содержание теории комплексного умножения эллиптических кривых, выводятся из «адельиых» формулировок в § 5.4. Отметим, что более традиционное изложение теории комплексного умножения, очень четкое и лаконичное, можно найти в трудах «Семинара по комплекс­ ному умножению» (Математика, 12 : 1 (1968), 55—95, лекции Серра, Бореля и др.); см. также написанную Серром главу о комплексном умножении в книге «Алгебраическая теория чисел» (см. Касселс

иФрелих [1]).

В§ 5.5 теория комплексного умножения переносится на абелевы многообразия высшей размерности. В построение этой теории автор книги внес решающий вклад. Он развил теорию редукции алгебраи­ ческих многообразий относительно дискретного нормирования основ­ ного поля, пользуясь которой А. Вейль, Шнмура и Танияма дали многомерное обобщение комплексного умножения. В настоящей книге не приводится замкнутое изложение этой теории; имеется много существенных ссылок на книгу Шимуры и Таниямы [1].

Вгл. 7 изучаются дзета-функции модулярных кривых и абелевых многообразий. Это направление было начато Эйхлером, который установил, что для некоторых конгруэнц-подгрупп Г модулярной группы дзета-функции моделей компактифицированных пространств Г\<§ (Jg — верхняя полуплоскость) допускают представление через полиномы Гекке — ряды Дирихле, ассоциированные с операторами Гекке, действующими на некоторых пространствах параболических форм веса 2. Теорема Гекке была обобщена автором книги на сущест­ венно более широкий класс конгруэнц-подгрупп. Изложению этого результата п посвящена основная часть гл. 7. Устанавливаемая связь между дзета-функциями и рядами Дирихле позволяет в рас­ сматриваемой ситуации, с одной стороны, доказать для дзета-функ­ ций гипотезу Хассе — Вейля о мероморфиом продолжении, с дру­ гой стороны, для почти всех р и форм веса 2 доказать гипотезу Рама-

нуджана — Петерсона о собственных значениях операторов Гекке. В заключительной главе книги результаты, касающиеся кон­ груэнц-подгрупп модулярной группы, переносятся на арифметические фуксовы группы. Изложение в этой главе в значительной степени

носит обзорный характер.

С. Гиндикин

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой книге обсуждаются две основные темы:

1)комплексное умножение эллиптических и эллиптических моду­ лярных функций;

2)приложения теории операторов Гекке к дзета-функциям алгеб­ раических кривых и абелевых многообразий.

Несмотря на то, что в названных темах заключается raison d'etre данной книги, я попытался в нескольких первых главах дать введе­ ние в теорию автоморфиых функций одной комплексной переменной

и одновременно сообщить основные факты об операторах Гекке. Мы рассматриваем главным образом эллиптические модулярные функции произвольного уровня и непосредственно связанные с ними геометрические объекты; лишь в первых двух и последних двух главах в небольшой степени изучаются автоморфные функции более общего типа и абелевы многообразия высшей размерности, обладаю­ щие комплексным умножением.

Мы дадим две формулировки результатов, относящихся к первой теме, обе — в терминах аделей. В одной из них изучается поведение эллиптической кривой и ее точек конечного порядка при действии автоморфизмов рассматриваемого числового поля. Другая форму­ лировка тесно связана со структурой поля % всех модулярных функций всех уровней, коэффициенты Фурье которых принадлежат циклотомическим полям. Будет показано, что группа всех автомор­ физмов поля % изоморфна аделизации группы GL 2 (Q), профакторизованной по рациональным скалярным матрицам и архимедовой части. После этого закон взаимности в максимальном абелевом рас­ ширении мнимого квадратичного поля дается как некоторая комму­

из его статьи, появившейся в Archiv der Mathematik, 5 (1954). Для алгебраических кривых, униформизированных модулярными функ­ циями, мы проверим гипотезу Хассе — Вейля. Далее будет показано, что если параболическая форма веса 2 является общей собственной функцией операторов Гекке, то произведение нескольких рядов Дирихле, ассоциированных с ней, совпадает с точностью до конеч­ ного числа эйлеровых множителей с дзета-функцией некоторого, специальным образом задаваемого, абелева многообразия.

В качестве приложения этого результата будет показано, что арифметика вещественного квадратичного поля — его единицы, абелевы расширения и т. д.— тесно связана с модулярными формами «верхнего» (Neben) типа в смысле Гекке. Мое оправдание для вклю­ чения этого довольного незрелого сюжета заключается, как я думаю, в положительном (хотя не полном) ответе на вопрос, можно ли построить аналитическими средствами абелевы расширения веще­ ственного квадратичного поля. Такой вопрос возникает естественным образом после детального обсуждения соответствующей проблемы для мнимого квадратичного поля в гл. 5 и 6.

Предлагаемая книга возникла из моих лекций, читавшихся в Принстонском и Токийском университетах в 1963—1969 годах. При составлении первого варианта рукописи были в высшей степепи полезны записки Л. Гольдштейна (осенний семестр 1965 года) и А. Роберта (летний семестр 1969 года). Я глубоко признателен им обоим. Хочу выразить сердечную благодарность К. Дою, X . Иагапуме и Г. Троттеру, составившим таблицу собственных значений операторов Гекке в § 7.7, а также А. Вейлю, В. Касселману, С. Лен­ ту, Т. Мпяке и А. Роберту, прочитавшим рукопись полностью или частично. Многие их рекомендации были включены в книгу. Свою благодарность я адресую также С. Йянаге и Й. Каваде, заинтересо­ вавшимся этой работой и предложившим мне опубликовать ее в Publications of the Mathematical Society of Japan. Наконец, я бла­ годарю слушателей моих лекций,— их внимание было мне очень полезно.

Горо Шимура

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ

0 . 1 . Символы Z, Q, R, С и Н обозначают соответственно кольцо целых рациональных чисел, поле рациональных чисел, поле веще­ ственных чисел, поле комплексных чисел и кольцо с делением гамильтоиовых кватернионов. Для произвольного рационального целого простого числа р через Z p и Q p обозначаются соответственно кольцо целых /?-адических чисел и поле р-адических чисел. Для любого комплексного числа z 6 С мы обозначаем через z, Re(z) и Im(z) соот­ ветственно комплексно сопряженное число, вещественную часть числа z н его мппмую часть. Через ,<§ обозначается верхняя ком­ плексная полуплоскость:

через det(Z) и через t r ( Z ) мы обозначаем определитель и след матри­

Если нет опасности ошибиться, то через Т'1 мы будем обозначать произведение п экземпляров кольца Т и зачастую будем рассматри­

0.3. Для произвольного поля К мы обозначаем через Aut(/£) группу всех автоморфизмов поля К. Если F — некоторое подполе в К, то A\xt(K/F) обозначает подгруппу в A u t ( £ ) , состоящую из авто­ морфизмов, тривиальных на F. Когда К является конечным или бесконечным расширением Галуа поля F, мы полагаем Aut(ZAF) =