книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

говорит о том, что [В

: С] =

У]

[В$

: С], и, следовательно, коль-

Ф(1))=1

алгебр

В^.

цо В должно быть прямой суммой

Из теоремы 3.41 и утверждения

(3.5.4) заключаем, что В и By —

коммутативные

полупростые

алгебры.

Кроме

того,

согласно

предложению

3.54,

Ый1Т'(п)к[х]к

= n2-kT'(n,

п)кТ'(п)к,

если

п взаимно просто с N. Поэтому

[т]^1

-В-[т.]к

= В,

и

анало­

гично [т]^1 -Бф .[т]ь =

Таким

образом, оператор

[ т ] ь

перево­

Предположим,

что

1 =

1, т.

е.

Т'0 = T0(N).

Тогда А$

=

В^

(по

крайней

мере)

в двух

случаях:

(I) 1);

=

1, N простое

и Sk(T(l))

=

0 (согласно

предложению

2.26,

последнее

условие

выполнено

тогда

и

только тогда, когда к <

12

или

к =

14);

( I I ) 1|з — примитивный

характер

по модулю

N.

По

поводу деталей см. Гекке [5, теоремы 22 и 24а].

(2п)~™А (z) =

q [j

(1 -

с?")2 4

=

S cnqn,

q =

e2 ™',

и высказал

71=

i

71=1

две гипотезы:

(X)

I '

w -

^

J K

i -

w

+ p v

- ' r

1 ;

71=1

p

(Y)

cn = 0(пи'2+е)

для

любого

e >

0.

Последняя

эквивалентна неравенству

(Z)

| с р

| ^

2pill2

для

всех

простых

р.

новыми результатами.

Идея диагонализации операторов Гекке

с помощью скалярного

произведения в пространстве параболиче-

§ 3.6.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ

121

ских

форм принадлежит

Петерсону

[ 1 ] . Он

же

обобщил

следую­

щим

образом

гипотезу

(Z):

(Z')

каждое

собственное

значение

Хр

оператора

T'(p)kt$

при

про­

извольном простом

р,

не

делящем

уровень

N,удовлетворяет

неравенству

| Хр

| ^

2p<-h~i^2

х ) .

В § 7.5 мы докажем,

что

при

к = 2

гипотеза (Z')

верна

для

почти всех р. В

общем

случае Ранкин

[ 1 ] показал,

что са

=

оэ

= О (тгЬ/2-1/5)

для каждого

элемента

Tj cne2*inz/N

6

Sh(T(N)).

n = l

ЛЕММА

3 . 6 1 . Если

f £Sh(T),

то

| f(x

+ iy) | ^

Му~к'2

при

неко­

торой константе М, не зависящей

от х.

Обратно,

если

какая-то

функция

f

из Ah(Y)

голоморфна

на

$Q и

\ f(x

+

iy

6

| ^

My~k/2

при

некоторой

константе

М,

не зависящей

от х,

то f

S^iY).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

произвольного

голоморфного

элемента

/

на Ап(Т)

определим

вещественнозначную

функцию

h

на полуплоскости § равенством h(z) = h(x +

iy) =

\f(z)\yhl2. Так

как Im(v(z)) = I m (z) | j(y,

z)\~2

для у £ S L 2 ( R ) ,

то функция h

Г-пнва-

риаитна. Если s — параболическая

точка для Г, выберем р п q

=

=

e2nizlh

(или

q =

enizlh),

как

это

делалось

на

стр.

49.

Тогда

/ |[p_ 1 ]ft =

Ф(?) при некоторой функции Ф, голоморфной в области

О <

I Ч I <

г> г Д е г — вещественное положительное число, и такой,

что

7i(p- 1 (z)) =

0(gr)lm(z)f t / 2 .

Заметим,

что

| q

] =

е-271""1

(или

| q

| = е _ л

^ л ) .

Предположим,

что

/ £ Sk(T).

Тогда

Ф(а) -»- 0 при

q-*-0. Поэтому

h(w)

0

при

i w - v s

(в

топологии

пространства

<§*). Таким образом,

h может

рассматриваться

как

непрерывная

функция h(z) должна быть ограничена. Обратно, если h(z)

ограни-

х ) Появился препринт П. Делиня, посвященный доказательству гипотезы

Римана — Вейля. Ранее Делинь показал, что к

ней сводится

гипотеза

Рама-

нуджана — Петерсона

(гипотеза

Z ' ) . Об

этой

редукции

можно

прочитать

в статье Делиня, помещенной в качестве

приложения

к р у с с к о м у

переводу

книги Серра «Абелевы

I-адические представления и

эллиптические

кривые»

(«Мир», М., 1973).

2) Оценка Гекке с = 0(пЬ/%)

получается совсем просто

(см. лемму

3.62).

Сельберг [2]

доказал

оценку сп

= 0(/г''/2-1/4+е) для

любого

е >

0;

оценка,

отвечающая

гипотезе

( Z ' ) , имеет

вид сп

= 0(гсЬ/2-1/2+в).—Прим.

ред.

чена, то Ф должна быть голоморфна при q =

0 и Ф ( 0 ) = 0. Лемма

доказана.

ЛЕММА

3.62.

Предположим,

что

оо — параболическая

точка

группы

Г , и

пусть

" 1

к т

{ у е Г . { ± 1 } | 7 ( с о )

=

оо} =

{ ± 1 } . {-0

1 .

mez\

при

некотором

вещественном

положительном

числе

h. Пусть

/ £

€ Sh(T)

и

{

оо

если

к нечетно

и точка

оо

нерегулярна,

2 cne2ninz/h

в остальных

случаях.

п=1

(См.

§ 2.1.)

Тогда

существует

такая

константа

В,

не

зависящая

от

п,

что

| сп

| <1 В -пи>2

для

всех

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

к

четно,

то

положим

q —

e2nUih

ж

F(q)=

2 спЧп-

Тогда

с„ =

( 2 ш ) - 1 \ F (q) q~n~l dq,

где

интеграл

7 l = i

J

берется

по

окружности

| q | =

г

в

положительном

направлении

при

достаточно

малом

г >

0.

Если

Im(z) =

у

=

h/2nn,

то

| e2mz/h

|=

g - i/n . Согласно лемме 3.61,

| F(q) | <

My~h'2

при

некоторой

константе

М.

Поэтому,

беря г равным

е -

1

/ " ,

получаем

1 сп

I ^

Me-(h/2nn)~h/2.

Случай

нечетного

к

можно

рассмотреть

аналогично.

Наша цель — доказать справедливость

функционального

урав-

оо

нения для

ряда

Дирихле

2

ann~s,

отнесенного

к

произвольной

оо

71=1

форме f(z)

=

2

апе271™21*

из Sh(T',

op). По

причинам,

указанным

п=1

в

замечании

3.58,

достаточно

рассмотреть

случай

t — 1,

т.

е.

Г'

=

r0 (i\0.

Наш

вопрос

мы

обобщим,

обратившись

к

ряду

00

2

Х^а^п^

при

произвольном

характере

% группы

( Z / r Z ) x ,

где

71=1

г — целое

положительное число, взаимно

простое

с

N. Поэтому

•суммах, ассоциированных с %.

Фиксируем

положительное целое число

г и характер

% группы

( Z / r Z ) x , т. е.

некоторый гомоморфизм

из

(Z/rZ)*

в С".

Предполо­

жим, что х — примитивный характер

по

модулю

г (под этим мы

группы (Z/sZ)*,

где

s—собственный

делитель 7-, удовлетворяю­

щего равенству

£(#)

= lix)

при (х,

г) = 1). В этих случаях для

§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ

123

с

£ Z положим

J %(cmodrZ),

если

(с, г) = 1,

Х ^

= 1 0,

если (с,

и

определим гауссову сумму W (у) равенством

W ( x ) = 5 J x ( < 0 £ B ,

£ = < ^ i / r .

с = 0

ЛЕММА 3 . 63 . В

прежних обозначениях

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если (b, г) — 1, то, обозначая через

Ь - 1 элемент, обратный к Ъ по mod r Z , получаем

2 X » £ Ь с = 2 X (Ь"1а) £° = X (Ь-1 ) 2 X (а) ?а = X

W (х) •

с

а

а

Предположим,

что s = гУ(г,

& ) < ? " , и положим

Я = {а 6 (Z/rZ) x

| а = 1 mod sZ};

пусть (Z/VZ)X =

U /Ту — разложение на непересекающиеся клас-

сы. Так как bs= 0 mod(r),

то

== b mod(r) для х £ Н. Далее,

=

x(-i)W(x)=x(-i)W(x),

со

Г (s) =

j

e - V 1 dx,

seC .

о

Подставляя

ax

вместо

x,

получаем

со

(3.6.1)

artr(s)=^e-axxt-1dx,

s6C,

a£R,

a > 0 .

о

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.64. Пусть

N

и г — положительные

целые

числа,

s — положительный

делитель

числа

N

и

М

— наименьшее

общее

кратное чисел N, г2

и rs. Пусть

% (соответственно ар) —

примитив­

ный

характер

группы

(Z/rZ)*

(соответственно

(Z/sZ)*).

Пусть

со

/(z) =

2

aneZltinz

—

произвольный

элемент

из

Sk(T0(N),

ар).

[Тогда

п=1

со

h(z) — 2

%{n)ane2ninz

принадлежит

пространству

Sh(TB(M),

арх2)-

п=1

Г1

и/г

для

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим ,£ = е 2 Л 1 / г

и

аи

=

^

^

u £ Z .

Тогда

/|[«u]fc=

S

а п е 2 я г п ( 2 + и / г ) =

2

?*апе™"*,

так что

в силу

71=1

(1)

71=1

утверждения

леммы 3.63

W(%)h(z)=

2 х(и) / | [ а « ] * .

u=l

Согласно

предложению

2.4

и

лемме

3.9,

k£Sk(T (r2N)). Поэтому

для доказательства

нашего утверждения достаточно проверить

пове-

дение функции h при действии элемента у

Г

а Ъ~

группы Г0

(M).

= . Мс d

Положим

а'

=

а +

сиМ/г,

V

=

Ь +

— ad)/r —

cd2u2Mir2,

d'

=

d —

cd2uMlr.

Тогда

a,

b,

c,

d — целые

числа,

d =

d'

mod(s)

и

" 1 i i / r "

a

b~

'

а'

Ъ'~

1

d2u/r~

.0

1 . _Мс d_

_Мс d'_ 0

1

1 )

Символ

Г встречается у

нас

в д в у х случаях:

когда речь идет о дискрет­

ной подгруппе

группы

S L 2 ( R )

и

когда

речь идет

о гамма-функции. Так как

различия видны из

контекста,

мы

употребляем одну и

ту

же

б у к в у

для

обоих

объектов.

§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ

125

h | [у]к = W

(X)"1 яр (d) х (d2) 2 X И /1 [a0]fc =

Ф № Х (d2 ) A,

что и требовалось

доказать.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.65. Сохраняя

обозначения

из

предложения 3.64,

предположим,

что

г

взаимно

просто

с

N,

и

положим

" 0

— Г

"

0

- Г

т = N

0

r2N

0

71=1

Тогда

Л | [T']f

t =

яр (г) х W

W (х)2

г"1

2

X (»)

M 2 l t i " z .

вательно, аих

гх

•Nu

d_

aw.

Положим

g = / \[x]h. Тогда

W(x)h\ [x]h

= 2 X (u) /1

[OuT']f t =

2 X (») Ф (r) gI [ajfc =

u

u

= * ( r ) 2 x ( - ^ ) g | [ a U I ] k =

= 4> W X

W (x)

2 X H

bne^nz,

=

2

(ine2ninz

из

пространства

Sk(T0(N),

г|з) положим

71=1

оо

L

(s, /,

X) =•-

2 X (п)

ann~s,

R

(*, /,

X) =

71=1

(2n)-s Г (s) L (s, /, x)-

( r W ) s / 2

1 +

Тогда

ряд

L(s,

f,

%) абсолютно

сходится

при

Re(s) >

(к/2),

и

его

можно

голоморфно

продолжить на

всю

s-плоскостъ.

Кроме

того,

этот

ряд

удовлетворяет

функциональному

уравнению

R

(s, f,

х) =

»Ч (Г) X (Ю

W

(%)2r-iR

(k-s,f\

[x]h,

х),

где

х

=

'0

-

Г

N

0

димость

ряда L(s, /, 1) для Re(s) >

к/2 +

1 следует из леммы 3.62,

В силу (3.6.1) мы формально

получаем

со

со

(*)

j

/ № У*'1 dy=YJan<^

е - 2 я »V

1 dy =

(2л)-* Г (s) L (s, /, 1).

е

е

| j

/

(iy)

/

/ "

I

dy\<.A\

y-Wyk/2

dy^O,

8

0,

0

0

если

Re(s) >

k/2 +

1

(в

силу

леммы

3.61),

и

со

со

| ^f^y^dyl^B

[ e-z*yynm-idy^0,

Е-+00,

Е

Е

для

произвольного

s(5С

(А

и В — константы). Далее,

Е

со

Е

j /

(iy)

г/8"1 dy =

2

ап ]

e-^yys-i

йу^

е

п = 1

е

так

как

2 апе~2ппУ

равномерно сходится для

г/>е . Для

произволь-

ного

как

71

малого

п ; > 0

можно

выбрать

настолько большое

угодно

число

М,

что

2

ап

j

е - 2 * * ! / , / - ! ^ 1 ^ ;

2

K

I }

е-2™Уу°-Ыу

=

п>М

е

п>М

0

=

Г(ст) (2я)-а

2 К | и - ° < т 1 ,

Re(*) =

ff.

Следовательно,

п>М

М

со

со

| j / (iy) y-ldy-

2 «n J e-**»V-i

^

n = l

Л/

E

=

l i m

[ / (ip) j

/ 5 "

1 d y -

2

e. [

e-**«vy-idy

e-»0.E-fco J

n = l

J

Этим

доказана

справедливость

(*)

для

Re (s) > (/c/2) - j - 1 .

По тем

же

причинам, если

g =

/ | [ x ] f t ,

то

(**)

J g(iy)ys-1dy

=

T(s)(2n)-sL(s,

g,

1).

§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ

127

Положим A = N 1

/ 2 . Тогда

00

А

оо

j / (iy)

J / S _ 1 dy=\f

(iy) г/8"1

dy+\f (iy) z/5-1 dy.

Q

U

A

.

Как было показано выше, первое слагаемое

сходится

при Re (s) >

>/е/2-|-1,

второе — при

любом

5.

Заменяя

у на l/Ny

и

учитывая

равенство

/ (i/Ny)

— Nh/2

(iy)k

g (iy),

получаем

A

оо

j /

m

У8'1

dy=\f

Wy)

N-'y-*'1

dy

=

О

A

CO

=

ihNh/2~s

g(iy)yb-i-°dy.

\

A

Последний

интеграл

сходится

для

всех

s.

Аналогично

оо

А

j / (iy) г/-* dy =

i " / V f t / 2 - s j

g (iy)

у*-1-«

dy,

Re (s) > ~

+ 1 .

A

0

Поэтому,

если мы положим

i?'(s, f) — T(s)

(2n)~sL(s,

f,

1), то R'

(s, f)

можно будет голоморфно продолжить на всю s-плоскость

и

R'

(s,f) =

Wh/2-sR'

(k-s,g).

Заметим,

что Г (s)"1 — целая

функция. Теорема

доказана.

оо

В приведенном

рассуждении ряд

Дирихле

L (s) =

2

ann~s

был

оо

71=1

получен из

функции

/ (z) =

2

ane27linz

посредством

«обратного

пре-

образования

Меллина»

71=1

оо

(ty) У5'1

j /

dy =

T (s) (2n)~s

L(s)

=

R (s).

о

Оказывается, / (z) можно получить из L (s)

«прямым

преобразованием

Меллина»

/ (iy) =

(2m) -1

j

R (s) x~s

ds,

ный А. Вейлем, состоит в следующем: если для достаточно

многих

характеров

% ряды

со

удовлетворяют

функциональным

У] %(n)anii~s

уравнениям,

то /

п = 1

пространству

яр) при

принадлежит

Sh(T0(N),

форма с коэффициентами

ptj из кольца Z, то

ряд У]

e2niPW2,

называемый тэта-рядом,

является модулярной

.г-ez2'1

веса к

формой

отрицательных точках посвящен доклад Серра па

семинаре

Бурбаки

(июнь

1972

г.)

[ 1 * * ] . Отметим результаты Ю.

И.

М а ю ш а [ 1 * ] ,

[1**] — [3**] по

модулярным кривым и рядам Гекке, в том

числе

р-адическим. Современное

•состояние теории модулярных функций одного

переменного

должно

быть

подробно

освещено в четырех выпусках ((Modular

functions

of

one variables)),

из которых пока вышел первый: Lecture notes

i n m a t h e m a t i c s ,

№ 320,

1973.—

Прим.

ред.