Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 337 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

GO ГЛ. 2. АВТОЫОРФНЫЕ ФОРМЫ И ФУНКЦИИ

Мы	можем теперь	построить		ассоциативную	(градуированную)
алгебру			со
			со
		®=	У, D i f " (SB
над полем К, подчиненную следующим условиям:
(а)	Dif°(9B) = К,	Dif1 (SB)	=	D i f (SB);
(б)	для каждого п прямое слагаемое Dif"(ЗБ) является одно
мерным векторным пространством над К;
(в)	для каждого а 6 D i f m		(SB) и каждого р £ Dif"(8B) произве-
денпе ар определяется		как некоторый элемент из			D i f m + n (SB) и ар =

=Ра Ф 0, если а ф О, Р Ф 0.

Алгебра %	однозначно		определена этими условиями.				Если
0 ф со 6 Dii(SB),	то со" — вполне			определенный элемент из Dif"(SB).
Следовательно,	Dif"(SB) = /£соп ,			так что	каждый	элемент	\	из
Dif"(SB) имеет вид \ =		/со"	при	некотором	/ £ К.	Если £	0,	то
мы определяем	div(\|)	равенством

d i v ( i ) = div(/) -f- «-div(uj).

Легко видеть, что это равенство не зависит от выбора со п div(!n) = div(fc) + div(ii).

Согласно предложению 2.13, если g — род

поверхности

Ж =

Г у § * ,

то

(2.4.1)

deg(div(l)

n{2g -

при

0 ф I

Dif'(SB).

Возьмем

элемент

i|>, как и

выше.

Для

F 6 /1«„(Г)

имеет

место

включение

Fi^'n

6 Л0 (Г) =

К;

положим

F{z)(dz)n

(Ftyn)(d$)n.

Тогда

F(z)

(dz)n

— вполне

определенный

элемент

из

Dii'"(SB),

не

зависящий от выбора

элемента яр. Очевидно, F >-*- F(z) (dz)n

является

изоморфизмом пространства

Л 2 п (Г)

на

Dii"(2B).

Пусть F

£ У1; ,(Г) И Р

£ SB.

Определим следующим

образом

vP(F).

Если точка Р соответствует точке z0 полуплоскости

то

возьмем

какой-либо голоморфный изоморфизм X полуплоскости

на еди

ничный круг, прп котором X(z0)

= 0. Если подгруппа

{у

£ Г

I y(zo)

= z 0 }

имеет

порядок е,

то

функция

X(z)e

служит

стандартным

локальным параметром в Р (см. § 1.5). Положим

vP(F)

V(Z-za)

(F)/e.

Далее,

если

соответствует

параболической

точке

то

пусть

и q =

ехр(2ягг//г) те же, что в

§ 2.1. Тогда

аналогично

определению

автоморфной

формы

- 1

J ^

( ? 1 / 2

) i е

с л и

нечетно

и s — нерегулярная

точка,

I [р Ik — j ф (д)

остальных

случаях,

где ?

и Ф — мероморфные

функции

в окрестности нуля. Положим

/ п

[ v , ( 4 ' ) / 2

= e>ti«h),

V p ( F ) = U q m

§ 2.4. ДИВИЗОР АВТОМОРФНОЙ ФОРМЫ

соответственно указанным представлениям для F. Заметим, что

число v,(x F) нечетно.

Пусть Dq=

D eg) Z Q . Тогда с

каждой

формой F £ Ак(Т) можно

связать некоторый элемент div(F) пз D

следующим

образом:

div(F) =

vP(F)P.

Очевидно, что

d i v ( № )

= div(F,)

div(F 2 )

(Fi

€ Ahl(T),

Рг

Alti(T)),

( 2 . 4 . 2 )

Gk(T) =

{ F

6 Л , ( ( Г )

I div(F)

0 } ,

{F € А

(Г) I div (JF) >

2 <?; - i -

<?;•}

(Л четно),

( 2 . 4 . 3 ) Я Л ( Г ) = «{

J = 1

J = = 1

6 А

(Г) I div (F) >

& +

(1/2) 2

Qi) (к нечетно),

j'=l

3 = 1

где <2i, . . ., (?u (соответственно <2|, • • -j <?u') — точки на 5Ш, отве чающие регулярным (соответственно нерегулярным) параболическим точкам группы Г . Заметим, что отношение ^ п функция deg( ) могут быть распространены на DQ естественным образом.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 . 1 6 . Пусть Pt,

. . ., РТ — точки

пространства

Г \ § * ,

отвечающие

эллиптическим

точкам

группы

порядков

еи

. . ., ег соответственно,

и Qi,

. . .,

Qu,

Q[,

. . ., Q'u- имеют тот

же смысл, что выше. Пусть

0 Ф F £ ^4;( (Г) и,

если

четно,

и =

F(z)

(dz)W2. Тогда

d i v ( F )

= d i v ( Л ) - f - f

{ 2 d - e i x )

Ql +

Qi}

четн°)•

i = l

j =

3 = 1

d e g ( d i v ( F ) ) = | . { ( 2 g - 2 ) + 2

( l - ^ + u - i - u ' }

i = l

(А

четно

или

нечетно).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Р — точка

пространства

28 =

=Г\,<д*. Если Р соответствует точке z0 полуплоскости @, то возь

мем Ь =		X(z)e , как и выше. Тогда dt/dz = e-A^z)5 - 1 (dX/dz) и vt(dt/dz)							=
=	1 — е - 1 . Поэтому,				предполагая	к четным, получаем
( 2 . 4 . 4 )		v P (г)) = v P			(F• (dz/d/)f t / 2 )	=	v P (F) + (к/2) (e'1	- 1 ) .
Если же Р соответствует параболической точке s, то возьмем р и q									=
—	einizih^	к а к э т 0	делалось иа стр. 4 9 . Полагая, z = р(и>), получаем
	F(w)	(du»)f t /2	=	(F I [р-Чь) (dz)*/2 = ф(д) (dz/dq)^2				(dq)W =
			=	Ф(д) (2niqlh)-W-			(dq)k'2;
следовательно,
( 2 . 4 . 5 )			vp(ii) = ve (<D) -				k/2 = vp(F) - A/2.

62 ГЛ. 2. АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ И ФУНКЦИИ

Первая из наших формул следует теперь из (2.4.4) и (2.4.5); что жекасается второй, то она для четного к вытекает из (2.4.1) и первой формулы. Если же к нечетно, то cliv(F) = (1/2) •cliv(/'"2 ), так что мы можем вывести нужную формулу для cleg(cIiv(F)) при нечетном Аг из формулы для четного к.

Доказанное предложение позволяет вычислять дивизоры автоморфных форм, полагая формально

div	(dz) = - { 2 (		l -	O Pt	S	Qj 4- S	Qj}.
		i=i			j=i	j=l
Число {2g — 2) J		r	и +	и',	появившееся		во второй фор-
Число {2g — 2) J	r	У, (1 — ej1) +	и +	и',	появившееся		во второй фор-
		t = i

муле, имеет важный геометрический смысл, который будет рас

смотрен в следующем

параграфе.

СЛЕДСТВИЕ 2.17. Отображение

F^F-dz

устанавливает

изомор

физм пространства

S2(T)

и векторного

пространства

всех голоморф

ных дифференциальных

форм

на SB =

Г\§*. В

частности,

размер

ность

пространства

S2(T)

равна

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если F£A2(r)

w = F-dz,

то

из предло

жения

2.16

следует,

что

div (со) >

0 тогда

только

тогда,

когда

и'

div(F)>

Qj-r 2

Qj-

Поэтому утверждение

следует

из (2.4.3).

3 = 1

3=1

п р е д л о ж е н и я

2.15

д л я

и е -

Д о к а з а т е л ь с т в о

ч е т н о г о

к. Возьмем любую ненулевую

дифференциальную фор

му со на Ж и любую точку

па 2В. Тогда deg[cliv(co) — 2(g — 1)/?0 ] =

= 0.

Классическим

является тот факт, что все

классы

дивизоров

на 2В степени 0 образуют абелеву группу, изоморфную

комплексному

тору комплексной размерности g (эта группа называется якобпевым

многообразием для 38). Поэтому					можно найти такой дивизор В
на	2В, что	div(co) — 2(g — 1)R0		~	2В, т. е.
		2В - div(co)	+	2(g	- 1)Д0 =	div(/)
для	некоторого элемента /		6 К'.		Положим	В' = В + (g —	l ) i ? 0 -
Мы	можем	определить некоторый			элемент F	пространства	А2(Т),

положив F(z) dz =	/со.	Согласно	предложению	2.16,
div (F) =	2В'	4- У (1 -	е?1) Pi 4- У Qj -	2 Qj.
		i = l	3 = 1	i = l

Согласно следствию 1.21, все числа et нечетны, если — 1 (| Г. Поэтому

функция F имеет четный порядок в каждой точке				полуплоскости ^g.
Следовательно,		можно так определить мероморфную функцию			G
на	чтобы G2 = F. Так как F 6 А2{Т),		то для каждого у £ Г имеет
место	равенство	G \\у]{ = %{y)G при	%(у) = ± 1 .	Положим Г'	=

§ 2.5. МЕРА ФАКТОРПРОСТРАНСТВА г\§

={7 6 Г | %(у) = 1}. Тогда Г' — подгруппа в Г индекса, меньшего

или равного 2. Так как F £ А2(Т),	то функция G мероморфиа в каж
дой параболической точке группы	Г', так что G 6 >11(Г'). Если Г =

=Г', то вопрос этим решен, ибо 0 ф G1' £ ^4;,(Г) для любого целого к.

Пусть [Г : Г']	= 2 и Г = Г'	U Г'е. Так	как поле	А0(Г)	является
квадратичным	расширением	поля А0(Т)	и группа	Gal(.-10 (Г')М 0 (Г))

изоморфна факторгруппе Г/Г' (это было показано на стр. 52 после

предложения 2.4), то				существует такой ненулевой элемент h			поля
Л 0 (Г'),	что /i(e(z)) =			—h(z). Тогда произведение h-G		принадлежит
Ai(T')	и	ииварнаитио		относительно оператора	Ы ь так что		h-G 6
^Л 4 (Г)	в	силу	предложения 2.6. Поэтому О Ф		(h-G)h	£ Ah{T)	для
любого	целого		числа	к, что и требовалось доказать.

§ 2.5. Мера факторпространства Г\.<§

Для каждой дифференциальной формы со на ^ и каждого эле мента о £ SL 2 (R) обозначим через со о а естественное преобразование формы со посредством а: если со имеет степень 0 и, следовательно,

является функцией, символ

со о а имеет,

конечно, смысл; в общем же

случае

d(co о а)

(dco) о а,

(со Д и) ° а =

(со о а) Д (л о а).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.18. Пусть

и — дифференциальная

форма

на

определенная

равенством

н = у'1

dz,

z =

х +

iy.

Тогда

(1)

г) о а

—

г| =

2i-d

log[/(cr,

z)]

для каждого а £ SL 2 (R);

(2)

dr\ = у'2

/\dy =

(i/2y2) -dz

Д dz~;

(3)

форма

y~2 dx Д

инвариантна

относительно

группы

S L 2 ( R ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

6 S L 2 ( R ) , то

dzoo

= 7 (0,

z)~2

cfe

и,

согласно

(1.2.3),

у о a

| /(a,

|~2

г/,

так

что-

т| о о =

l(rz +

s)/(rz

+ s)] -г).

Поэтому

т| о a —

т| =

\{rz +

s)/(rz +

s) — 1]т) =

— [2irl(rz

s)] -dz

—2i -d log(rz - f

s).

Формула (2) получается непосредственно. Беря внешний дифферен циал от (1), получаем (3).

Определим	теперь	меру т	на полуплоскости		<а равенством
		т (А)	^ у	2dxdy,
			А
где А — произвольное		подмножество		в !Q. Согласно утверждению-
(3) предложения 2.18, мера т инвариантна, т. е.					т(А) = т(а(А))-
для каждого	a £ SL 2 (R) и каждого			(измеримого)	множества А *).

х ) Как известно, рассматриваемое действие S L 2 ( R ) на верхней полупло скости превращает ее в плоскость Лобачевского (интерпретация Пуанкаре);: т{А) — инвариантная площадь в этой геометрии.— Прим. ред.

•и	ГЛ. 2. АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ

С помощью этой меры можно определить меру ц. на пространстве Г\£>*. Пусть ср: Г \ <g* — проектпроваипе; для г; £ jg* положим

Г в

{у

€ Г

| y(v)

v}.

Для

каждой

точки v

можно

найти

такую

открытую

окрестность

6 v, что

Г„ =

{ т € Г

\y(U)

[)

11Ф0}

7(С/) =

U для

всех

у £ Г„.

Тогда

фактормножество

ГД £ /

может

быть

отождествлено

некоторой

открытой

окрестностью

точки

ф(у)

в r \ j g * .

Если, у—

не

параболическая точка и если Г„ имеет

порядок е (точка v эллиптическая,

еслн е >

1),

то

U можно

разде

лить ua е угловых секторов

С/ь

. . ., Ue

так,

чтобы

y(Ut) — Ui+l

для 1 ^ i < e

y(Ue)

U±, где у

— образующая группы Г„. Тогда

для подмножества

TV\U

мы можем найти множество А пред

ставителей

классов

из

А'

положить

ц(А')

= т(А).

Анало

гично если v — параболическая точка, скажем оо, то Г„ порождается

Г1 hi

некоторым элементом

вида

, н окрестность

U можно

выбрать

так,

чтобы

она имела

вид

U — {оо}

[} {z

| Im(z) >

с}.

Тогда для

-<4' с : ГД/У

можно

найти

множество

представителей

классов

из А' в области

= х

\ у >

с, 0 ^

х <

/i}

(исключая

оо)

и положить

u(--l')

m(.-l). Теперь

пространство

Г\£>* может быть

покрыто открытыми множествами вида

ГДСЛ

Если { / г , . } ^

являет

ся

С-^-разбиеипем

единицы

применительно

этому

покрытию

{ И 7 ; } ^ ! , то

для любой

непрерывной функции /

на

Г\.<§*

можно

положить

<*)

/.dji=2

fa-tv-

Легко видеть, что такая мера пространства Г\<д* не зависит от выбора покрытия {W^} и разбиения {/г?.}. Мы также будем писать

^ (/0 ф)*/~2 dx dy вместо интеграла (*).

г\Ф
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.19.	Если	пространство		T \ S Q * компактно, то
и.(Г\.<д*) < ; оо. (Другими	словами,		равенство	(*)	определяет меру
Радона.)
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Если	пространство		Г\.£>* компактно,

то указанное выше покрытие может быть построено из конечного

числа множеств вида TV\U, для которых	множество	U компактно.
Если теперь точка у не параболическая, то,	очевидно,	\|л,(ГД£7) < оо.

		§ 2.5. МЕРА ФАКТОРПРОСТРАНСТВА Г/ф								65
Если	же	v — параболическая			точка,		то	конечность меры следует
из того,		что		^ j
				^ j	у~2 dx dy <			оо.
				с<у
ТЕОРЕМА 2.20. Пусть g — род компактной римановой										поверхности
Г\<§*,	т — число		неэквивалентных			параболических			точек группы Г
в й)		ег — порядки неэквивалентных						эллиптических		точек груп
пы Г.	Тогда
								г
		\	y-4xdy	=	2g-2	+		m+2>(l-l/ev).
		г\ф						v=i
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Хорошо		известно,		что	пространство

Г\<§*, являясь римановой поверхностью, может быть триангули ровано кусочно-аналитическими кривыми, которые — так можно считать без потери общности — не содержат ни одной параболиче ской и ни одной эллиптической точки. С помощью этой триангуляции

пространство	Г\4д* можно представить	в виде нормальной формы
а1 Ь1 а71 о71 . . .	aghga'g-b^1, изображающей	4^-сторонний многоуголь

ник, все вершины которого отождествлены, а граница состоит из 2g кривых at, bt, проходимых по одному разу в каждом направлении

всоответствии с указанным выше порядком, причем эллиптические

ипараболические точки лежат внутри многоугольника. Далее, проведем непересекающиеся кусочно-аналитические пути, связы вающие одну из вершин многоугольника с соответствующими пара болическими и эллиптическими точками. Кроме того, проведем вокруг каждой эллиптической или параболической точки небольшую окружность, радиус которой устремим к нулю. Разрезая многоуголь ник вдоль проведенных кривых и окружностей, мы получим «много угольник» с Ag + 2т -\- 2г сторонами, если не считать малых окруж ностей. Возьмем теперь маленький открытый круг в этом многоуголь нике и отобразим его в полуплоскость ,<§ посредством отображения, обратного к проектированию $ * - > - Г\ф* . Это отображение голо морфно и может быть голоморфно продолжено на всю внутреннюю часть многоугольника. Поэтому наш многоугольник может быть отображен на некоторый многоугольник полуплоскости <§, и этот последний мы обозначим через П. Из построения видно, что граница

ЗП многоугольника П может быть записана в виде

	n	m-fr
(1)	дП= 2 (Sx-yx(Sx))+	2 Tv (n = 2g + m + r).
	%=i	v=l

Здесь Tv — кривые, соответствующие малым окружностям, Sx соот ветствуют «сторонам», а ук — некоторый элемент группы Г, сопо ставляемый каждому X. Внутренняя часть многоугольника П : когда каждая из кривых Tv стягивается в точку, превращается, конечно,

5—01118

66	ГЛ. 2. АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ И ФУНКЦИИ
в фундаментальную область группы Г. Однако кривые		не обязаны

быть «прямыми линиями» в смысле неевклидовой геометрии. В дей ствительности можпо построить фундаментальную область группы Г, являющуюся многоугольником, «прямолинейным» в смысле неев

клидовой геометрии		Но для наших нынешних целей «криволиней
ный» многоугольник		П достаточен.
Рассмотрим	теперь	дифференциальную		форму и,		определенную
в предложении	2.18.	Так как d\] =	у'2	dx dy,	то
ф		l-i (Г\ £ *) =	l i m	J у~2	dx dy =	l i m f r\

nan

всилу теоремы Стокса. Указанный предел берется при стягивании кругов. Согласно (1),

71 7)1+Г

[ 1 i= S \ (л —*1°т0-г 3			( л-
en	ь=1 sA	v = i	r v
Пусть F — ненулевой элемент из Л2 (Г). Определим дифференциаль
ную форму £ на	полуплоскости §	равенством £ = d(\og F) =

=F~XF' dz. Беря логарифмическую производную от

получаем			F(o(z))		=	F(z)j(e, zf		(а	е Г),
получаем
		l o	o -	I = 2-d(log/(ff,				z))	(о	6 Г).
Согласно формуле			(1) из предложения 2.18,
Поэтому		Г\|оО — Т] =				— i(\|oCT —		I)	(о	6 Г).
Поэтому							m + r		m-'rr
		b =		~* 1			m + r		m-'rr
(3)		b =		~* 1		5 +	2 J л-и S J ё-
		en			en		v = i r v	v = i f v
Если	T v	соответствует		эллиптической				точке v порядка e, то, оче
видно,	1\|	л стремится		к	нулю. Что же касается интеграла ^ £, то
	f									f
	v									v

возьмем такое голоморфное отображение т пространства <§ на еди ничный круг, что т(у) = 0, и положим t(z) = r(z)e . Тогда 2 — локаль ный параметр, и мы можем предположить, что Tv является образом

х ) Процед5г ра построения такой фундаментальной области очень проста. Пусть точка. z0 не является неподвижной ни для какого элемента у £ Г. Обо значим через р инвариантное расстояние. Рассмотрим множество D таких точек з, что р(г, z0 ) < p(z, yz0) для всех у 6 Г. Нетрудно показать, что D — геодези ческий многоугольник, являющийся замыканием фундаментальной области. Легко показать, что если многоугольник D ограничен, то ои имеет конечное число сторон. Более сложно (К . Л . Зигель) показывается, что тем же свойством обладает многоугольник D конечной инвариантной площади и что в этом случае многоугольник D имеет коночное число «выходов на границу» (они отвечают параболическим точкам) . — Прим. ред. ,

§ 2.5. МЕРА ФАКТОРПРОСТРАНСТВА Г \ §

малой окружности Cv в i-плоскости с началом координат в ее центре. Обход па этой окружности следует взять отрицательным, так как ее внешняя часть соответствует внутренней части многоугольника П.

Поэтому, полагая	со =		F(z) dz	и \\i(t) = F(z)	(dz/dt), получаем
j	I =	-	\ [d (log яр) + d (log (dt/dz)) ] =
	=	— 2ni [vt		(яр) -)- v, (d*/dz)]	=
	=	— 2ni [vP		(со) - f 1 — e"1]	=
	=	—2m - V p (F),

согласно

формуле (2.4.4), где P — точка

на

Г\^*,

соответствующая

рассматриваемой эллиптической

точке.

Далее,

предположим,

что

соответствует параболической точ

ке

Пусть

р — такой

элемент

из

SL 2 (R),

что

p(s) = оо,

и пусть

q = е2л1р(2)/л_ Тогда

можно считать,

что Ту

— образ

малой

окруж

ности

д-плоскости

с началом координат в ее центре. Полагая

= p(z)

F(p-1(w)))(p~1,

w)2 =

Ф(?)» мы получаем,

что F(z) dz =

0 11

Ф(д) dw. Если s Ф

о о , то можно взять р =

\ s

' ^ 0 Г Д а

dw/dz=

w2,

так что F(z)

Ф(д) w2

j d (log70 =

[d (logO (g))-b2-d (logic)]

u-0+Л

— 2 J U . V 9 ( ® ) —

2-d(logu;)-*-

tt'o

—>— 2л i • vq

(CIJJ =

— 2ni • v P

(F)

(w0 ->• oo).

Здесь

i 3

— точка

пространства

Г\<§*,

соответствующая

точке s.

Еслия == о о , то можно взять в качестве р единичную матрицу и полу

чить тот же результат. Что же			касается формы л,	то
f n =	j	n<.p-i=: j	{и — 2 i - d l o g ( ; ( p - \	и>))}
T V	P(TV )	P(TV )

в силу утверждения (1) предложения 2.18. Как и выше, мы заме

чаем, что p(Tv ) является отрезком от w0 до w0 +							h. Но	тогда
		wo-+h
j	i l =	j	[dz/y —2i-d	(logw)]-+0			(w0^>-oo).
Объединяя вместе г се эти вычисления,					мы получаем из (2) и (3), что
			j d (log F) +	г			m
ц (Г \	=	- i	j d (log F) +	2я ^	V P £	(f ) +	2л 2 VQ . OF)':
			en	i = i		.	j = i	,

68 ГЛ. 2. АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ И ФУНКЦИИ

Далее, выражение		(2я£) 1 j	d(logF)		является суммой	чисел	vP(F)
для всех	Р во	дП		части многоугольника		П. Поэтому
		внутренней
(Г\ @*) =	2л-cleg (div (F)),		что	вместе с предложением 2.16			дока
зывает теорему.
Из этой теоремы видно, что
(2.5.1)		2 f f - 2 +	i ? i + 2		( 1 - е Г 1 ) > 0 .
				i = l

Если g ; > 1 , то -то неравенство тривиально. Если g — 1, то т -f- г >• 1.

		г
Если# =	0,	то ?/..-}- 2 (1 — е Г 1 ) > 2 ; следовательно, 7?г-\|-7->3. Можно
показать		i = i	трудностей,		что	случай # =	0, ??г = 0,
	без каких-либо
( е ь е2 , е3 ) =		(2, 3, 7) приводит		к группе	Г с	наименьшим	значенном
меры U-(r\jg*). Таким образом,
		(2л.)-1	j	dxdy/if->	1/42

для любой фуксовой группы Г первого рода. С помощью этого факта можно показать, что группа всех автоморфизмов любой компактной римановой поверхности рода g > 1 имеет порядок, меньший или равный числу 84(g — 1). Здесь мы отсылаем читателя к следующим книгам: Гурвиц [2], Клейн и Фрикке [2, стр. 606—621] и Шимура

[9,

3.18].

Кроме того, Зигелем [2] было показано, что верно и обращение

предложенпя

2.19,

т. е.

если ц.(Г\<§) <

°о для

дискретной

под

группы Г группы SL 2 (R), то факторпрострапство Г\.§* компактно 1

) .

2.6. Размерность

пространства

параболических

форм

Пусть

— ненулевой

элемент пространства

Ак(Т)

— d i v ( F 0 ) . Каждый

элемент F

из Ah(T)

можно записать

в виде F

f-F0 при

некотором

/ 6 К.

Поэтому

div(F) ^

тогда

только

тогда, когда

div(/) ^

—В;

следовательно,

согласно

формуле

(2.4.2),

(2.6.1)

d i m G f t ( r ) = d i n i { / e / s : | d i v ( / ) >

-В)

и, аналогично, согласно формуле (2.4.3),

(2.6.2) d i m 5 f t ( r ) = d i m { / e Z | d i v ( / ) > - B + 2 ^ ~ n

% с?-},

где

ц. равно

3 = 1

1 или 1/2 в зависимости от того, четно или нечетно к.

г ) Другими

словами,

условие

|л(Г\§) <

оо

равносильно тому,

что

—

фуксова группа первого рода. В связи с этим в литературе часто в качестве

основного используется термин «дискретные группы на	верхией полуплоскости
с фундаментальной областью конечной (неевклидовой)	площади».— Прим. ред.

§ 2.G. РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ФОРМ

Для вычисления этих размерностей мы собираемся применить тео рему Римаиа — Роха к дивизорам

-в,

		1=1		3 = 1
Однако эти дивизоры лежат в группе			D	Q ,	НО не обязательно принад
лежат группе	D . Чтобы освободиться			от этой трудности, рассмотрим
«целую часть»	произвольного	элемента		из	D Q	. Для х		£ R пусть	[х]
обозначает наибольшее целое число, не превосходящее								х; если р	=
= Ы , то р ^	х < р + 1. Тогда для			А =	2	сРР	6 DQ	при сР £ Q
мы положим	[А] = 2 [сР ]
	[А] = 2 [сР ]			Р .
		р
ЛЕММА 2.21. Для любого		f £ К*	и любого			А	£ D Q
	div (/) > -	А <=> div (/) >			—	[А].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим А = 2 сРР. Тогда

d i v ( / ) > — ^ 4 < = > v P ( / ) > — с Р <=> — v p ( / ) < c p <^>

< ^ > -

V p (/) <

[сР] < = > v P (/) >

— [Ср] < ^ >

div (/) > — [Л].

Предположим сначала,

что

число к

четно,

и положим

п =

к/2,

F0 = l>l(dz)n,

где |£Diin (2B). Согласно предложению

2.16,

Д =

div (*•„)= d i v ®

-|-ra.{2 (

l - ^

i V

2 & + 2 «},

i = l

i = i

а в силу

(2.6.1) и леммы

2.21

d i m C f t ( r ) =

Z([BJ).

Полагая

и -\- и' = т,

мы

видим,

что

(2.6.3)

dog([5]) =

n ( 2 g - 2

+ m)--f 2

[»

( е , - 1 ) / е , ] .

ЛЕММА

2.22. Пусть

к £ Z, е £ Z,

е >

0. 2?сли число /г(е — 1) чет

но, то

[к(е -

1)/2е]

— 2) (е —

1)/2в.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

[/«(е — 1)/2е].

Тогда

Це — 1)/2е < р + 1,

откуда

/с(е — 1) <

2ер +

2е.

Так

как

обе

части этого неравенства четны, то к(е — 1) ^

2ре +

2е — 2, и пото

му (к — 2) (е — 1) ^ 2ер;

следовательно, (к — 2) (е — 1)/2е ^

р, а

это и требовалось доказать. (Заметим,

что

неравенство

неверно,

если число к(е — 1) нечетно.)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 337 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ