Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 336 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

50	ГЛ. 2.	АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ			I I ФУНКЦИИ
ствует	такая мероморфная в			окрестности	нуля функция х ¥, что
		/ I	[p-4h	= Ще**«к).
Функция х¥ должна		быть	нечетной.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 . 2 . Приведенное выше условие на функцию / в точке s не зависит от выбора элемента р; если оно справедливо при некото ром р, то оно будет справедливым при любом р, для которого p(s) —

=	оо. Классификация		точек s иа регулярные и нерегулярные также
не	зависит от	выэора	р.
	ЗАМЕЧАНИЕ	2 . 3 . Если приведенное выше условие выполняется

в некоторой параболической точке s, то оно выполняется и в каждой

параболической точке, эквивалентной s относительно Г.

Проверка

этих фактов непосредственна, и мы оставляем ее читателю.

Выражение функции

/| [ p - 1 ] / t

виде

степенного

ряда

от

е2ли'и

или от ел ! г /'1 часто

называется разложением

Фурье

функции

/ в точке

s; оно имеет вид

/ Ц р " 1 ] ; ^

с„е2 я ""<'А .

Коэффициенты

п>-п0

естественно,

сп

называются,

коэффициентами

Фурье.

Еслп

к = 0,

то в

силу

определения

комплексной

структуры

на Г\§* очевидно, что функция

/ удовлетворяет

приведенным

выше условиям тогда и только тогда, когда / по существу

является

мероморфной функцией

иа

Г\.<д* 1 ) . Таким

образом,

автоморфная

функция

относительно

группы

является

автоморфиоп

формой

веса 0 относительно Г, и обратно.

Обозначим через Ah(T)

множество всех автоморфиых

форм веса /с

относительно Г, а через Л0 (Г) — поле автоморфиых функций отно

сительно Г. Далее, обозначим через	Gh(T) множество	всех тех / £
6 Ah (Г), которые голоморфны па §	и для которых в каждой пара
болической точке функции Ф или ХУ из данного выше		определения

голоморфны в начале координат; последнее условие означает, что при п < 0 коэффициенты Фурье с„ равны 0. Через ^ ( Г ) мы обозна чаем множество всех / £ Gh(T), для которых функции Ф пли Чг , отвечающие всем параболическим точкам, обращаются в нуль в нача

ле	координат,	т. е. коэффициенты Фурье сп равпы						0 при	п <С 0.
Элементы множества Gh(T)					(соответственно множества Sti(T))				назы
ваются целыми формами (соответственно							параболическими формами)
веса /с относительно Г. Если у группы Г пет параболических									точек,
то	Gh(T) = Sh(T).		(В	этом	случае термин «параболическая				форма»
не	нужен и,	возможно, вносит некоторую путаницу; однако часто
он	оказывается		удобным.)
	1 ) Т о есть /	(у	(z)) = /	(z), у	£ Г,	z g !р, а отвечающая / в силу этого			условия
инвариантности		функция		иа	Г \ §	допускает	мероморфпое	продолжение па
Г \ § * . — Прим.		ред.

§ 2 . 1 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОМОРФНЫХ ФОРМ И ФУНКЦИЙ	51
Если Г — главная коигруэнц-подгруппа в SL2 (Z) уровня	N,

то автоморфпые функции (соответственно формы) в этом случае

обычно называются модулярными						функциями			(соответственно		форма
ми) уровня		N.
Возвращаясь к общему случаю, мы легко замечаем, что
(2.1.1а)			feAk{T),	geAm(T)			=Ф		f-g€Ah+m(T);
(2.1.16)		/	€ Ск (Г),	g	6 бт(Г)		=Ф 1-g	6	Glt+m(T);
(2.1.1B)		/	е sh(T),	g	е s m ( n		=Ф	е	sh+n(V).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Пусть					Г'	— подгруппа			в SL2 (R) и а — такой
элемент из GI4(R), что ссГа- 1 является подгруппой конечного											индекса
в Г'. Тогда		отображение		/>-> / \| la]h дает				С-линейное		вложение мно
жества	Ah(T')	(соответственно Gk(T'),					Sh(T'))		в Л\|,(Г)	(соответственно
в Gh(T),	Sh(T)),		являющееся		сюръективным			при Г' =		а Г а - 1 .
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть		S (соответственно ©')				— мно

жество параболических точек группы Г (соответственно группы Г').

Тогда а(Ё) = ®',	и	утверждение следует непосредственно из	опре
деления.
Положим	=	£3 U (£'. Тогда коммутативна следующая	диа
грамма:

£*

» £*'

Та

Г\.§*

•

Г'\£*'

при

некотором

голоморфном

отображении

Та.

В частности,

если

аГсс- 1 = Г,

то

Та — бирегулярный

автоморфизм

пространства

Г\£>*, соответствующий автоморфизму

/> — » - /° а

поля ^10 (Г).

Пусть А — подгруппа конечного индекса группы Г. Отождествим

А0(Т)

(соответственно

^40 (А))

с полем

всех мероморфных

функций

на

Г\)§* (соответственно

на

Д \ ; § * ) .

Как

было замечено в § 1.5,

факторпростраиство

A\SQ*

является

накрытием

степени

[Г : А]

пространства

Г\^*,

так

что

поле

А0(А)

является

алгебраическим

расширением

степени

[Г : А]

поля

^4о(Г).

Предположим, что

А —

некоторый нормальный делитель в Г, и рассмотрим автоморфизм пространства А\^* или поля А0(А), полученный из элементов группы Г указанным выше способом (только нужно брать А вместо

Г). Тогда, очевидно, поле А0(А)						окажется расширением Галуа поля
Л0 (Г) и группа		Gal(^0 (А)/А0 (Г))				будет	изоморфна Г/А.		Г конечного
ПРЕДЛОЖЕНИЕ		2.5. Пусть			Г' — подгруппа			группы
индекса и % — подполе				поля	/10 (Г'), содержащее			^4о(Г) и	обладающее
следующим	свойством:
(С) если	а С Г	и	/ о а	= /	для	всех / €	т о	а € Г'.
В этом случае g		=	А0(Т').

52 ГЛ. 2. АВТОМОРФЫЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим Д = П а Г ' а - 1 . Тогда Д —

а £ Г

нормальный делитель конечного индекса в группе Г, содержащийся в Г'. Отождествим указанным выше способом группы G&\(A0{A)/A0(T)) и Г/Д. Свойство (С) означает, что Г7 Д содержит подгруппу группы Gal(^40(^)/^o(r)), соответствующую полю g\ Так как каждый эле мент поля /1о(Г') инвариантен относительно Г' , получаем в силу

теории Галуа, что ^о(Г') с %.		Однако предполагалось,		что	$ ^
с 4 0 ( Г ) . Следовательно, % =		А0{Т').
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6. Пусть Г ' — подгруппа			конечного индекса		груп
пы Г. Тогда Ah(T)	(соответственно	Gh{T), Sk(T))	является	множеством
всех форм f из Ак{Т') (соответственно из Gh(T'),			5,ДГ')), инвариантных
относительно [у]к	при всех у 6 Г.
Единственное	нетривиальное	обстоятельство связано		с условием

в параболических точках. Но здесь все проверяется непосредственно.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Каждая				Y-инвариантная	мероморфная		функ
ция на полутиюскости Q,			алгебраическая над полем /1о(Г),			является
автоморфной		функцией	относительно Г.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Пусть g — такая	функция	и	gn -f-
n -	l
+ S	= 0	при /х, 6 >1 о(Г) — алгебраическое			уравнение	для g

над полем ^10 (Г). Для произвольной параболической точки s группы Г возьмем р и q = e2ni:lh так, как это делалось при определении автоморфной функции. Тогда A(p_ 1 (z)) = Ф^(</) и g(p- 1 (z)) = xY(q) — мероморфные в области 0 < | q | < г (при некотором положительном вещественном г) функции. Так как функции cl\ мероморфны в точке

q = 0, мы можем найти такое		положительное целое число т, что
(1)	l i m дт Ф,(д) = 0	(Х = 0, 1,	п - 1 ) .

Положим V(q) = qmW{q). Тогда

	n - i
(2)	1 + 2 д - ( " - « Ф ? . (5) V (qf-n = 0.
	?v=0

Предположим, что l i m V(qk) = оо для некоторой последовательности

h-*co

точек {qu}, стремящейся к 0. Тогда из (1) и (2) мы получаем, что 1 = 0 — противоречие. Поэтому функция V(q) ограничена в окре стности нуля и W мероморфна в точке q = 0, что и требовалось доказать.

УПРАЖНЕНИЕ '2.8. Пусть / 6 ^ (Г) n 7 g = (fc + l ) ( - | j - ) S - f c - / . Q .

Покажите, что (i) g£A2k+i(Y);

(ii) g6S2u+.i (Г), если / е < ? л ( Г ) .

§ 2.2. ПРИМЕРЫ МОДУЛЯРНЫХ ФОРМ И ФУНКЦИЙ

§ 2.2. Примеры модулярных форм и функций

Приведем теперь некоторые примеры модулярных форм и функ ций. Пусть L — решетка на комплексной плоскости С, т. е. свобод ный дискретный Z-подмодуль в С ранга 2. Выберем в L базис {аи со2 ) над Z так, чтобы со/сог 6 и Д л я четного целого числа к положим

(L) =E

ы - л 1

{щ, со ) =

co£L-{0)

Этот ряд

сходится

абсолютно

при

к ^

Для

доказательства

рас

смотрим

параллелограмм

Рт

па

комплексной

плоскости,

стороны

которого

суть ±7n.coj ± ?тгсо2.

Пусть

г =

m i n { | z \ \ z ^ Ру).

Тогда

\ z \ 7^ тг для z 6 />,„. В снлу того что Рт

Г) L имеет ровно

8тточек,

получаем

S|со |-"<87?г . ( 7 7 г г ) - й .

ю£РтПЬ

Так как множество L — {0} представляет собой объединение мно-

со

жеств Рт

П L для

т = 1,

2, . . .

и так

как

ряд

™ ~ ь + 1 сходит-

7П=1

ся при

/с > 2, абсолютная

сходимость ряда

E h ( L ) установлена.

Легко

видеть,

что

№Ек(\(й1,

Я,ы2) =

^;г(шь

w2 )

(acoj 4- bco2, ccoi -{- dco2) =

(wu co2)

при

а Ъ'

6 S L 2 ( Z ) ;

следовательно,

^((acOi-h^/CccOi-i-dco,), 1) ( C

. ( - ^ ) ^ d ) ~ U

£ f t

( - g - , l ) ,

Это означает, что еслп положить

E%{z) =

Eh(z,

1), то ряд Е% ока

жется

инвариантным

относительно

оператора

[y]k

для всех у £

6 SL 2 (Z) . Покажем, что £ 1 является

элементом множества Gf t (SL2 (Z)),

для чего получим его разложение Фурье в сю:

со

(2.2.1)

£ £ ( 2 ) = 2 £ ( A : ) 4 - 2 . - | ^

И ^

? =

где t, — дзета-функция Римана и os(n) — сумма чисел ds по всем положительным делителям d числа 7г.

Доказательство начнем с хорошо известной формулы

со

(2.2.2)

n-ctg{nz)=z~1+

S [(s-!-7?z)_ 1 -r-(z — m ) - 1 ] ,

54	ГЛ. 2. АВТОМОРФИЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ

которую можно найти в любом распространенном учебнике по ком плексному анализу г). С другой стороны, положив q = е"л", полу чим

я-ctg (ns) =	(я-cos (nz))/(sin (л-z)) =ni (eniz	+	e-!,iz)/(e7liz	— e-7tU) =
=	n i ( ? - : - l ) / ( f f - l ) = m ( l - 2	S	?")•
	71=0

Приравнивая (2.2.2) к последней сумме п последовательно диффе

ренцируя

по z, мы

получаем

со

(z-w?i)-2 =

(2m)2 -

Ш=—оо

со

Т1— 1

со

„

(z -t-m)-s = (2ni)s -

« V 1 ,

m = - o o

71=1

( -

1)* (к -

1)!

У]

(z —- m ) - h =

(2ni)f t • 2

(Л > 2).

m= — с о

n = l

Поэтому если к четно и не меньше 4, то

Et(z)=

(»гг - г п) - " =

( т . тг)=р(0, 0)

m£Z, 7t£Z

оо

со

= 2. У, 1Гк-;-2.

( m z + 7 1 ) - * =

71=1

771=1 71 = —СО

= 2 - £ (А) - f- [2 - (2яОА / (А- — 1)! j - f]

2 п и

! ш ,

771=1 71=1

а это дает формулу (2.2.1).

ТЕОРЕМА 2.9.

Положим

gz(z)

г 8 ( з ) =

140.£J(z),

A(z) = ? 2 ( z ) 3 -

27^3 (z)2 , J{z)

123 -^(z)3 /A(z).

Тогда

A(z) — параболическая

форма

веса

относительно

группы

SL2 (Z)

u /(z) — модулярная

функция

уровня

1 с разложением

Фурье

на

бесконечности

вида

§с„дп),

J(z)=q-1-(i

••••

71=1

где сп — целые коэффициенты. Кроме того, поле всех модулярных функций уровня 1 представляет собой поле рациональных функций

ад-

: ) См., например, Привалов И. И., Введение в теорию функции к о м п л е к с ного переменного, М., 1960, стр. 256.—Прим. перев.

§ 2.2. ПРИМЕРЫ МОДУЛЯРНЫХ ФОРМ I I ФУНКЦИИ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Г =

SL?(Z). Так

как g 2 £ С4 (Г)

11 ёз

6 СВ (Г),

то

справедливы

включения

6 £ 1 2 ( Г)

" ^ б ^ о ( Г ) .

Если

теперь Вг обозначает

r-е число

Бериуллп, то

оо

№ )

га-2г

= 2 2 г - 1 В г я 2 7(2г)! 1

п = 1

так

что

120-ь(4)

(2п)*/12,

280-£(6)

(2л)«/216.

Положим

со

Х =

o3(n)qn,

стб(»)Зп-

Тогда

n = l

(z) =

(2п)* [1/12 4- 20X],_

£ 3

(2)

(2я)6

[ 1 / 2 1 6 -

77/3],

(2л)"1 2 А (г) =

(5X -}- 7У)/12 4- ЮОА'2

203 Х3 - 3 • 7 2 У 2

n = l

d|n

n > i

d>0

при некоторых целых

a„. Кроме

того,

6? mod(12)

для

каждого

оо

целого числа

d. Поэтому

(2л.)~1?Д =

У] bnqn

с целыми

коэффициен

та^

тами и bi = 1. Следовательно, А

£ 51 2 (Г) п разложение Фурье для /

будет описанпого выше вида. Для доказательства последнего утвер ждения нам нужен следующий факт:

{2.2.4) A(z) Ф 0 для каждого z £

он будет доказан в § 4.2. А сейчас, принимая его, заметим, что функ ция J(z) голоморфна на Поэтому функция / , рассматриваемая на Г\.ч^*, имеет полюс только в той точке, которая соответствует точке оо,— это показывает разложение Фурье. Так как упомянутый полюс простой и поверхность Г\<р* имеет род 0, поле С(/) должно быть в соответствии с утверждением (3) предложения 2.11 (см. ниже) полем всех мероморфиых функций па Г\<§*.


ПРЕДЛОЖЕНИЕ			2.10.		Пусть	Г = SL2 (Z)	и	а £ G L 2 ( Q ) ,		причем
det(a) >	0.	Тогда		С(/,	J ° а)	— поле всех	модулярных		функций
относительно		группы		Г	\|~) а - 1 Г а . В частности,			поле C(/(z),		J(Nz))
(соответственно			C(/(s),		J(z/N)))	является	полем всех		Модулярных
функций	относительно				Г0 (А0	(соответственно		T'0(N)),	где	группа

T0(N) определена в (1.6.5), и
а Ь	6SL 2 (Z)\|& =	0	mod (АО } .
с d
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Положим	Г'	= Г (") ос_ 1 Га. Согласно

лемме 2.9 (см. ниже), группа Г' является подгруппой конечного индекса в Г. Очевидно, что С(/, J о а) а /10 (Г'). Применяя предло-

56 ГЛ. 2 АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ

жеипе 2.5	к данной ситуации, получаем первую часть предложения,
исталыюо является частным случаем прц а •			о		соответствен-
		У		1	соответствен-
	1 О'			1
но прц а

	О N
	О N
В гл. О мы рассмотрим некоторые из образующих поля						A0(T(N)),

которые можно записывать с помощью отношений значений эллип

тических	функций.
	§ 2.3. Теорема Рнмана — Роха
Цель	ближайших параграфов — вычислить размерности					вектор
ных пространств Gh(T)		и Sk(T) над	полем С	с помощью		теоремы
Рнмана — Роха. Для		этого напошшм	сначала	элементарные факты
0 дивизорах на компактной рпмановой поверхности					Более подроб

ные рассмотрения см., например, Г. Вейль [1], Шевалле [1], Ивасава [1], Спрингер [1].

Пусть 2В — компактная риманова поверхность н К — поле мероморфпых функций иа ней. Мы отождествляем С с подполем констант

вК. Тогда К — поле алгебраических функций размерности 1 над С,

т.е. еслн / £ К и / (J С, то К — конечное алгебраическое расширение поля рациональных функций С(/). Пусть D — свободный Z-модуль, порожденный точками поверхности 2В, т. е. модуль формальных

конечных сумм У cvPv,

где

6 Z

P V 6 2B.

Элементы

модуля

поверхности 2В или поля К. Для произволь

называются дивизорами

ного

дивизора

А =

У с Р Р

мы

полагаем

сР

vP(A)

deg(/l)

— У Ср. Мы пишем А

0, еслн v P ( / l )

0 для всех Р 6 2В, п А

В,

если А

— В ^

0. Для каждой точки Р £ 23 множество {/ 6 К | f{P)

Ф оо}

является

кольцом дискретного

нормирования,

для

которого

К служит полем частных. Пусть

v P

— функция нормализованного

дискретного порядка

[)

{°°}>

ассоциированная

с этим

коль

цом. Если t — локальный параметр в точке Р,

то v P

определяется

так:

пусть

/(<?)= 2 avt(Q)v,

а^фО,

v ^ v o

где Q — точка,

меняющаяся

малой

окрестности точки

Р.

Тогда

•vp(/)

v 0 .

Вес последующие

определения,

предложения

и теоремы

применимы

к произвольной неособой алгебраической кривой

V над алгебраически замкну

тым полем (или даже над универсальной областью) Q любой характеристики.

Именно, достаточно заменить 2В, А п

С па

Tr , Q (У) и

Q, где Q (V) — поле

всех

(мероморфных)

функций

на V.

Род

кривой

I ' определяется,

например,

как

1 ( d i v (<»)) ДЛЯ любой дифференциальной формы со на V плн как некоторое целое число g, участвующее в формулировке теоремы Римапа — Роха . По поводу всего этого см. дополнение 9.

§ 2.3. ТЕОРЕМА РИМАНА — POXA

Сопоставим с каждой функцией								/ £ К" дивизор	div(/)		с помощью
равенства				div	(/)	=
				div	(/)	=	У,	vP(f)P.
							peas
Тогда /1—*- div(/) является					гомоморфизмом группы				К"	в	группу DT
т. е.	div(/i/)	=	div(/i)	+ div(/)			и	d i v ( / _ 1 ) = — div(/) .		Положим
				(/)o=		S		v P ( / ) P ,
					v J , ( / ) > 0
				( / ) » = -			S	v P ( / ) P .
Тогда	div(/)	=	COo —	(/)»•		v P ( / ) < 0
Тогда	div(/)	=	COo —	(/)»•
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.11. Для						каждого элемента f £ А'х					справедливы,
следующие		утверждения:

(1)deg(div(/)) = 0;

(2)div(/) = 0^==Ф/ 6 С»;

(3) [К : С(/)] = deg(/)0 = deg(/)«, /гри условии, что / (J С'.

Для произвольного			дивизора Л			положим
Ц Л ) =	{/	6 А'	\| / =	0	или		div(/)	> —А}	=
=	{/	€ A" I v P ( / ) >			—vP(A)		для	всех Р	е Щ-
Очевидно, множество L{A) является векторным пространством над С.
Можно показать,		что	L(A)	конечномерно над С.					Обозначил!	эту
размерность через		1(A).	Положим
		Dt=		{div(/)			\teKxy
Тогда Z); — подмодуль			модуля		D.	Смежные		классы	модуля D	по

модулю Di называются классами дивизоров. Два дивизора А и В

называются

линейно

эквивалентными

— в этом случае мы пишем

А ~ В,— если они лежат в одном и

том же

классе. Если

А ~

В,

то

deg(4) =

deg(B)

1(A) =

1(B).

Мы можем построить одномерное векторное пространство

D i f (SB)

над полем К, наделенное

аддитивным

отображением

d: Я - » - Dif (SB)

со

следующими

свойствами:

(2.3.1)

d(hf)

= h-df +

f-dh,

df =

ОФ==Ф/ e

Элементы из

Dif(SB)

называются (мероморфиыми) дифференциаль

ными формами

(степеип

на поверхности

SB. Если

/ Е К —

С,

то

Dif(SB) =

K-df,

так

что

каждая

дифференциальная

форма

на SB может быть записана в виде со =

h-df при h £ К. В этом случае

58	ГЛ. 2. АВТ0М0РФИЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ

мы пишем h = a,'df. В частности, dkidf — вполне конкретный эле мент поля А" при любом к £ А . Для каждой точки Р £ Ж возьмем такой элемент t из А, чтобы vP(t) = 1, и положим vP (co) = vP(io/dt). Это построение не зависит от выбора элемента t. Определим дивизор div(cu) посредством равенства

div(co) = \ vP (co)P.

Р£5В

Тогда cliv(/co) = div(/) - f cliv(co) для каждого / £ К. Таким образом, дивизоры div(co) для всех со £ Dif(2B), отличных от нуля, образуют класс дивизоров, именуемый каноническим классом поверхности Ж (или поля А) . Мы говорим, что дифференциальная форма со голо морфна или является дифференциальной формой первого рода, если div(co) ^ 0 или со = 0.

ТЕОРЕМА 2.12. (Теорема Римана — Роха.) Пусть g— род поверх ности Ж (см. § 1.5) и со — произвольная ненулевая дифференциальная форма на Ж. Тогда для каждого дивизора А поверхности Ж справед ливо равенство

1(A) = deg(/l) - g + 1 + Z(div(a)

-А).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.13. Для каждой ненулевой дифференциальной формы со на 23

	deg(div(co)) =	2g -	2.
Легко	видеть, что L(0) = С, так	что	1(0) = 1. Поэтому из тео
ремы 2.12 и предложения 2.13 получается, что
(2.3.2)	Z(div(co))	= g.

Фиксируем произвольную ненулевую дифференциальную форму

а>о- Тогда
I(div(co0 )) =	{/ 6 А		\| div(/)	> -div(coo)} =
=	{ / €	A	\|div(/co0 ) > 0 }		~
~	{со	6 Dif(fffi) \|		div(co) >	0}.

Таким образом, согласно формуле (2.3.2), множество всех голо морфных дифференциальных форм на Ж является векторным про странством размерности g.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.14. Пусть А — дивизор на Ж. Тогда

(1)	d e g ( . 4 ) < 0 = ^		1(A) = 0;
(2)	deg(^) >	2g -	2	1(A) =	deg(i4)		-	g +	1.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Если	1(A) >		0,	то	пространство		L(A)
содержит по крайней мере одну такую							функцию /,			/ ф 0,	что
div(/) ^	—А. Тогда deg(/l) ^			deg(div(/))		=	0, и (1) доказано. Если
deg(A) > 2g — 2,		то	deg(div(co) — А) <			0		при	любой	ненулевой

§ 2.4. ДИВИЗОР ЛВТОМОРФНОЙ ФОРМЫ

дифференциальной форме со на Ж, так что /.(div(co) — А)

0 в силу

утверждения ( 1 ) . По тогда из теоремы Римаиа — Роха следует, что

1(A)

deg(/l)

i .

§ 2Л.

Дивизор

автоморфнон

формы

Рассмотрим

теперь

случай,

когда

933 = Г\$*

для

некоторой

фуксовой группы Г первого рода. Наше основное внимание будет

обращено

на пространства

Gk(T)

Sh{T).

Мы

предполагаем,

что

— 1

(? Г всякий

раз, когда

говорим

о множестве Ah(T)

при

нечетном

к, так как Ah{T)

{ 0 } , если к нечетно и

— 1 £ Г. Если f(t) — меро-

морфная функция комплексной перемеииой t, определенная в неко

торой окрестности пуля, то через v;(/) мы обозначаем порядок этой

функции при t

0, т. е.

vt(f)=m,

если

/ (t) =

У]

cntn,

стф0.

Далее мы полагаем К

А0(Т)

и отождествляем поле К с полем всех

мероморфных функций иа ШЗ.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

2 . 1 5 .

Множество

^4^(Г)

отлично

от нуля для

каж

дого

целого

числа

к.

Это означает с учетом формул

( 2 . 1 . 1 ) ,

что

Ah(T)

является

одно

мерным

векторным

пространством

над

полем

К.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольный

элемент

яр £

К —

С х ) . Тогда

яр(у(г))

яр(г) для всех у 6 Г-

Взяв

производную

яр'

d i p / d z , мы найдем, что ip (y(z))j{y,

z)~2

— яр'(г), так как dy(z)ldz

—

— j(y, z ) - 2

. В

параболической

точке

мы

имеем

ip(p- 1 (s)) = Ф(д),

где Ф — функция, мероморфиая в точке q =

0, а р и q взяты из § 2 . 1 .

этой

ситуации

Ч>' I t p ] 2

^ ' ( р - ^ Ж р - 1 ,

z)2 =

Ф'(д)

.(2nUh)

-q;

следовательно,

яр' 6 А2(Т).

Поэтому,

согласно

( 2 . 1 . 1 ) ,

0 Ф яр'7 1

£ ^42п(Г) для любого целого

7г. Это

доказывает

наше

утверждение

для четных к. Случай нечетного к будет рассмотрен несколько позже.

Для каждого элемента F

£ А*(Т)

мы можем рассматривать

F(z)dz

как некоторую дифференциальную форму на ЗВ. Действительно,

возьмем

яр £ К

—

С,

как

это

делалось

выше. Так

как

яр' =

dxp/dz £

Аг{Т),

то Fhp'

Л0 (Г) =

К.

Положим F(z)dz

{F/\\>')d\\>.

Это выр

жение не зависит от выбора

элемента яр. Обратно,

если

со £

Dif(Sffi),

то

со/йяр £ К,

/яр' £ А2(Т)

и со =

(/яр')йг.

Поэтому

отображение

н-»- F-dz

дает

изоморфизм

пространства

А2(Т)

на

DinT\£>*).

1 ) Существование такого элемента нуждается	в доказательстве. Его легко
вывести, например, из теоремы Римаиа — Р о х	а . — Прим. ред.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 336 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ