книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

"0

- 1 1

дулю N. Пусть т = pj.

Q и р — элемент кольца E u d ( / l s ) , ассоци­

сопряжения. В силу предложения 3.55

(7.5.10) а° = я|)(п)аа£Р для

каждого

a £ 3

"

каждого

п,

взаимно

про­

стого с

N.

Поэтому Кр =

К н а°р =

а£а

для

каждого

о 6 3.

так

что

поле К

вполне вещественно,

если

р — тождественное

отображение

на

нем.

Если же это не так, то, как следует из предложения

5.11, К должно

быть СМ-полем в

смысле

§ 5.5.

Согласно

предложению

3.57,

fa |Ы2 7"(п)2 =

Япр /а

|[т]2 для

всех п, взаимно простых с N.

Поэтому

в сплу (7.5.8) и следствия

3.44

(7.5.11) для каждого

изоморфизма

о

6 3

функция /с т

|[т]2 отличается

от fap

постоянным

множителем.

ТЕОРЕМЫ 7.16. Сохраняя

обозначения теоремы

7.14,

предположим

что выполняется условие (7.5.8). Тогда дзета-функция

многообразия

А

над полем Q совпадает с

точностью

до конечного

числа

эйлеровых

множителей

с произведением

\[ L(s, fg).

Кроме

того,

если г|) —

тривиальный

характер, то поле К'

вполне вещественно.

Если

же

ха­

рактер

\\> не тривиален, то К

— чисто мнимое

квадратичное

расши­

рение

вполне

вещественного

числового

поля

К' и

существует

такое

абелево

многообразие А',

что

А

изогенно

произведению

А'

X

А',

а кольцо

EndQ (А') содержит некоторый изоморфный

образ

поля

К'.

(7.5.12)

В = Ba r|g , если £а =

для £ = е**/*.

S 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ V S

231

=

( 1 + \ь)А. Тогда А' Ф О, и

так как

\С- = 1 , то c l i m ( 4 ' ) <

<

сИт(Л) =

\К : QJ . Из

( 7 . 5 . 1 1 )

нолучаем,

что

( 7 . 5 . 1 3 )

(.10(a) =

в(аР)j.i для каждого

а £ К.

Предположим, что поле К вполне вещественно. Тогда 9(a) опре­

Поэтому поле К можно погрузить в кольцо

EndQ^4'). С другой сто­

роны, этого сделать нельзя

в силу следующей леммы.

ЛЕММА 7 . 1 7 . Пусть

К — вполне

вещественное

поле алгебраических

чисел и А' — абелево многообразие,

определенное

над некоторым под-

полем поля С. Если существует

изоморфизм поля К в кольцо Endcj(.A'),

отображающий

единичный элемент поля К в единичный элемент коль­

ца

End(^4), то число [К : Q] делит

число

dim(A').

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

R и R0

обозначают представле­

ния кольца E n d Q ( / l ) на £В(А)

и на первой группе когомологий мно­

гообразия А соответственно. Тогда представление R0 эквивалентно

прямой сумме

представления

R и представления R, комплексно

сопряженного

к R. Ограничим Л и Л" на образ

поля К в кольце

Endc)(-4), который будем отождествлять с

К. Тогда представление

R

эквивалентно прямой сумме нескольких изоморфизмов

поля К

в

поле С. Так как поле К вполне вещественно,

представление R

эквивалентно

представлению

R. С другой

стороны, так как R0 —

рациональное

представление,

то tr(i?(a)) =

tr(.ff0 (a))/2 £ Q для каж­

дого а £ К. Поэтому

степень представления

R

должна

делиться

на [К: Q]. Так как dim(A)

— это как раз степень представления R,

то

лемма доказана.

Возвращаясь

к доказательству

теоремы

7 . 1 6 , заключаем, что

поле К является

СМ-полем в смысле § 5 . 5 . Возьмем элемент

Ъ поля

К,

для которого

0 ф Ъ = — Ъ и

6(b) 6 End(4) .

В силу

( 7 . 5 . 1 3 )

в(Ъ)А' = ( 1 -

рЩЬ)А

= ( 1 — \i)A.

Поэтому

А = ( 1 +

ц.) +

-1 -

( 1 — \.i)A = А' + Q(b)A',

и, следовательно,

многообразие А изо-

генио А' X А'. Далее,

если а 6 К и а" = а, то 0(а)Л'с= А' в соот­

ветствии с ( 7 . 5 . 1 3 ) , так что кольцо E n d Q ( 4 ' )

содержит изоморфный

определено над к и, значит,

многообразие А' также

определено над

к. Кроме того,

пусть К' =

{а £ К I а? = а} и 0'(а)

— ограничение

преобразования

0(a) на А' для каждого a £ К'. Тогда 0' — изомор­

§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ

Vs

233

Пусть Tw(p)2 — ограничение преобразования

Т'(р)2

на W. Приме­

(**)

dettl — Tw(p)2u

+

^{р)риЦ2.

С другой стороны, если (р)

= рр' в поле к,

то и фр , и фрг можно ото­

ждествить с я р , так что

det [ 1 -

и • i?z'i((pp)] • det [ 1 -

и • R\

(Фр,)]

=

=

det [1 — и . Д , ' ( я р ) ] 2

=

- d e t [1 — i f i ?i 4 ( n p ) ] - d e t [1 —

ip (р) и-Щ

(я*)] =

=

det [1 — и • Ri

(Ip) - j - яр (р)

ри2],

а это

совпадает с (**) по тем же причинам, что и выше. Следователь­

но, функция

А Ik)

с точностью до

конечного

числа

эйлеровых

множителей

задается

произведением [ ]

L(s,

/ с т ) г .

Далее,

многооб-

det [ 1 -

и • R1 (ф°р)]2

= det [1 — u-Ri

( Ф Р ) ] ,

так

что

det[l-Tw(p)2u

+

q(p) ри2]

=

Г det [1 — и2 -Я? (ф°р),

если

N (р) =

р2,

^

\ det [1 — u-i?? (ф°)].det [1 — и-Д?(ф°/)],

если

(р) =

рр'.

Итак, наше утверждение для функции

£(s; A'Ik)

доказано.

Отметим также, что

(7.5.17)

det [1 — u.fl?(q>|p] =

d e t [ l —u.i??(<p£.)]. если

(р) =

ДО',

так как

dettl

— и - . flj(n p )]

есть квадрат

обеих частей этого

равенства

(или потому,

что

А'

изогенно

А'г

над

к).

Далее, [т]* =

1, так

что

в

силу (7.5.11)

(7.5.18)

/„

|[т]2

=

т / о

р 1

/ о р

| [т] 2

=

гЧо

при

некоторой константе

7.

(Из

предложения

3.40

следует,

что-

\у

| =

1, НО

этот

факт

нам

не

потребуется.)

Следовательно,

если

мы

положим

L(s, А')=Ц

L(s,

/„),

m = [К

: Q]

и R(s,

А')

=

= T(s)m(2n)-mSN™/2L(s,

А'),

то

получим

(7.5.19)

R(s, А')

=

Д(2

А').

234

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

В качестве примера рассмотрим случай, когда

(7.5.20)

dim(52 (r;, гр)) =

2.

Если группа Г'

та же, что в (7.5.15), то S2{V)

=

S2(T'0)

+ S2(Y'0, гр).

Поэтому в соответствии с теоремой 3.51 операторы

Т'(п)2,

ц, образуют

ной либо некоторому квадратичному полю, либо кольцу

Q ф

Q.

Из теоремы 7.16 вытекает, что последний случай невозможен,

так

как поле Q не является чисто мнимым. Следовательно, алгебра

21

изоморфна некоторому квадратичному расширению К поля Q. В силу

теоремы 7.14 можно найти абелево подмногообразие А в As

размер­

ности 2 и изоморфизм 0 поля К в кольцо End Q ( . 4) . Согласно

теоре­

мам 7.16 и 7.18, поле К мнимое и А изоморфно произведению Е

X

Е,

кривой

Г„\<§*, то якобиан As

кривой Г \ $ *

изогенен произведе­

нию А

X А п. Эллиптическая

кривая Е такого

типа обладает очень

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.19.

Пусть группы

S и

V

те же, что в (7.3.5)

и (7.3.6), £)* =

g x ,

t ^

1 и

А $ — якобиево

многообразие

кривой

Vs,

рассмотренной

выше.

Пусть

Хп —

эндоморфизм

многообразия

As,

соответствующий

оператору

Гекке

Т'{п)2

на

пространстве

S2(X').

Если А — абелево подмногообразие

в As,

рациональное

над Q,

то

А

инвариантно

относительно Хп для всех п, взаимно простых

с N.

Кро­

ме того, если X — подпространство

в S2(V),

соответствующее

мно­

гообразию

А,

и Тх(п) — ограничение

оператора

Т'(п)2

на X, то

функ­

ция t,(s;A/(l)

совпадает

с точностью

до конечного числа эйлеровых

мно­

жителей

с det (

2

Тх(п)п~$).

(п,

N)=i

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть р — простое

рациональное

чис­

ло,

не делящее N. Для доказательства первого утверждения достаточ­

но установить,

что Хр(А) cz А. Предположим, что Хр(А) ф

А ш А*

=

=

ХР(А)

+ А. Тогда А* — абелево подмногообразие в 4 8 и

dim(4)

<

Если зхр и

л| те же, что

в доказательстве теоремы 7.11, то лр(А) =

=

п'р(А)

=

А,

так как А

рационально над Q; поэтому в соответствии

с

(7.5.1)

имеем

Xp(A)cz

А. (Заметим, что r\p — i d , так как

по усло­

вию ч * =

cjx .) Однако,

согласно общей теории редукции по

модулю

§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

КРИВЫХ

Vs

235

р (см. Шимура

[1]), многообразие А* =

|р (>1) +

А имеет ту же раз­

мерность, что я А*;

мы пришли к противоречию. Поэтому £,Р{А)

с А.

Рассмотрим

теперь многообразие

As

как

комплексный

тор

S2(T')/L

(см. доказательство теоремы 7.14).

Тогда А

соответствует

векторному подпространству X пространства S2(V),

инвариантному

относительно Т'(п)г

для всех п, взаимно простых

с N.

Теперь

наше

ний, что и при доказательстве

теоремы 7.11.

Так как операторы Тх (п) для всех п, взаимно простых с N,

обра­

зуют

коммутативную

полупростую алгебру,

можно

найти

базис

{ / i ,

• • •) /г} подпространства

X над полем С, образованный общими

Собственными

функциями

всех

таких

операторов Тх(п).

Положим

Д, | Тх

(п) =

avnfv

при avn

6 С. Тогда для каждого

фиксированного

v

множество

{g

6 *52(Г')I g

I Т'(п)о

— avng

для всех

п, взаимно

простых

с N)

инвариантно

относительно

операторов

Т'(п)2

для всех

п

(не обяза­

тельно взаимно простых с N). Поэтому можно найти общую собст­

венную функцию g4

всех Т'(п)2,

для которой gv

| Т'(п)2

— bvngv

при

bvn

=

avn,

если (п, /У) = 1. В силу теоремы 3.43 можно считать, что

со

gv(z)

=

2

bvne2ninz^.

Это

показывает,

что

функция

£(s; Л/Q) для

го числа эйлеровых

множителей с произведением

г

L(s, gj.

Функ-

[ }

ции g v могут не содержаться

в подпространстве

v = l

Следует

также

X.

отметить,

что

2

bvneZlxinz

принадлежит пространству

S2(T0(N2))

(ср. Гекке

(n,

i V ) = l

[5, теорема 19]).

§

7.6. t-адические

представления

Прежде всего мы расширим понятие Z-адической координатной

системы абелева

многообразия А,

рассматривая

все относительно

А — абелево многообразие,

определенное над произвольным полем,

F

— поле алгебраических чисел конечной степени и 0 — изоморфизм

поля F в кольцо Епа<з(.<4), отображающий единичный элемент поля F

в

единичный элемент кольца End(^4). Положим g =

dini(.<4) и h =

=

IF : Q1. Согласно предложению 2 из книги Шимуры и Таниямы

[ 1 , § 5.1], число 2g кратно числу d; положим 2g = dh. Согласно

тому

же предложению,

(7.6.1) характеристический

многочлен преобразования

В(х) для

каж­

дого х (j F

является

d-й степенью

главного многочлена элемен­

та х, над

полем Q;

в частности,

deg(0(a:)) =

Np/Q(x)d.

236

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

(По поводу

символа deg( )

см. дополнение

10.)

Пусть о — максимальный

порядок

поля

F. Предположим, что

(7.6.2)

0(о)с= E n d (

4 ) .

(7.6.3)

Ala]

=

{* € А | 6(a)* =

0},

Л[а~]

=

U

Л1ап].

71=1

Легко

видеть, что

Alab]

= Ala]

+

Alb],

если

а и Ь взаимно просты

(ср.

Шимура и

Танияма

[ 1 , стр. 61, предложение

18]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.20.

Если

абелево

многообразие

А

определено

над

полем, характеристика

которого

равна

0

или

взаимно

проста

с а, то группа

Ala]

изоморфна

прямой

сумме

d экземпляров

фактор­

группы

о/а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

доказать

это

утверждение

в случае, когда а — степень какого-нибудь простого идеала t.

Сог­

ласно

теории

элементарных

делителей,

группа

Alln]

при

любом

положительном целом п изоморфна прямой

сумме

(*)

o/l™» ф . . .

© o/tm s

|(0 <

mi < . . .

<

т. <

п).

В книге Шимуры и Таниямы

[ 1 , стр. 56, предложение

10] доказано,

что

(7.6.4)

группа

Ala]

имеет порядок

N(a)d,

если характеристика

поля

определения

многообразия

А

равна

0 или взаимно проста с а.

Следовательно,

т\ + . . .

+

ms

=

nd. С другой

стороны,

(*)

озна­

чает, что группа Al{]

изоморфна группе (o/()s ; поэтому

в силу (7.6.4)

s =

d. Так как

m-t

^

п,

то т{

=

. . .

=

ms

=

п, и

доказательство

закончено.

Для

произвольного простого идеала

Г поля

F

обозначим

через

Fi

(соответственно

о{) 1-адическое

пополнение

поля

F

(соответ­

ственно кольца д). Зафиксируем

векторное Пространство

W

над

полем F размерности d и некоторую о-решетку D

в

W. (Под

о-решет-

кой в W понимается конечно порожденный о-подмодуль в W, порож­

дающий пространство

W

над

F.)

Положим W[

=

W

® р Fi

и

D[ =

0 Dl

Wx Л - А [ (»] 0.

§ 7.6. l-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

237

Такую точную последовательность или такое

отображение

t

будем называть

Ьадической

координатной системой

на

многообра­

зии

А.

Пусть У —

подкольцо в

EndQ(^4),

состоящее из всех

элементов,

коммутирующих

с

эндоморфизмами

из

Q(F).

Каждый

элемент

|

из У П End(^4) индуцирует некоторый эндоморфизм

группы

Л[1°°],

получающийся из того единственного элемента

Щ (|)

кольца

EndCPFj, F{), который неподвижен относительного D[.

Так

мы

полу­

чаем

F-линейный

гомоморфизм

Щ:

Y->

End(Wu

F{)

(~Md

(FJ)).

Если К — Q и \ — VL при

некотором простом

рациональном

числе

I,

то

это будет

Z-адическое

представление Вейля (см. А. Вейль

[3,

№

31]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.21. Для каждого

эндоморфизма

\ £ Y

харак­

теристический

многочлен Д преобразования

Ri (£) является

многочле­

ном с коэффициентами

из F,

не зависящим от {. Кроме

того,

норма

NF/Q

(fi) (понимаемая в

очевидном смысле)

является

характеристиче­

ским многочленом

эндоморфизма

£ в смысле А. Вейля

[3, №

67].

Д о к а з а т е л ь с т в о

дается

в

работе

автора

[10,

§

11.9].

Z

®pF{^Md(F{),

эквивалентного

некоторому

кратному

редуцированного

представле­

ния алгебры Z ® FF^ над

полем F{ по

модулю

нуль-представления.

Это можно

вывести

из

предложения

7.21

теми

же

рассуждения­

ми,

что и аналогичный

факт в книге Шимуры

и Таниямы [ 1 , § 5.1,

лемма 1].

Предположим теперь, что многообразие А

и

элементы кольца

Q(F)

П End(^4)

определены над некоторым

полем

алгебраических

§ 7.6. I-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

239

пару

(А', 0'), для которой выполнено (7.6.2) (см. Шимура и Танияма

[ 1 , §

7.1, предложение 7]).

(7.6.8) если

* означает инволюцию кольца E n d o ^ ) , определенную

поляризацией Ч§ (дополнение п. 13), то 0(a)* = 0(a) для каждого

a£F.

Так

как

* — положительная

инволюция

кольца

EndoX^),

то

поле F должно быть вполне вещественным. Для простого рациональ­

ного числа

I, делящегося на I , положим

Wi

= W ® Q Q J И

D

I =

— D ®zZ(. Тогда получим Z-адическую координатную

систему

0-*- /?{->• Wi—>- A[l°°]

->• 0

(точная

последовательность).

Выберем некоторый

дивизор X

в

Согласно

А. Вейлю [3, №

76],

с дивизором X можно связать невырожденную знакопеременную'

форму

Я,:

Wt

X Wt-+

Q „

для которой

Ei(x,

у)

£ Z j

при

всех

(х,

у)

£Di

X Dt

и

(7.6.9)

Ег

(Д, (Я.) х,

у) =

Ег

(х,

Rt

(к*) у)

для каждого

к 6 Endq(j4),

где

Л (

— это

Z-адическое

представление

кольца

Endojyl). Пространство

можно

теперь очевидным

обра­

зом отождествить с подпространством в Wi. Ограничим Et на Ц\

X

X W-[. Согласно Шимуре [7, лемма 1.2], можно найти такую невы­

рожденную знакопеременную

форму

Sx: W{

X Wt-+

Fv

что

T r F l / Q ,

(5 t

((х, у) £ Wx X

Et

(х, у) =

(х, у))

W{).