книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций
.pdf80 |
|
ГЛ. |
3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ I I ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
|
|
||||||
Зафиксируем |
теперь |
произвольную полугруппу Д, |
для которой |
||||||||
Г с |
Д с |
Г. Пусть R(T, |
Д) |
обозначает Z-модуль всех формальных |
|||||||
конечных |
сумм |
У] ck-TakT, |
где ck |
£ Z и |
ah |
6 Д. Относительно |
вве- |
||||
|
|
|
к |
|
|
|
Д) |
становится |
ассоциатив |
||
денного выше закона умножения R(T, |
|||||||||||
ным |
кольцом. Которое |
мы |
называем кольцом |
Гекке |
относительно |
||||||
группы Т.и полугруппы Д. Очевидно, Г = |
Г>1 -Г является единичным |
||||||||||
элементом |
этого |
кольца. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.8. Если |
группа |
G обладает |
антиавтоморфизмом |
||||||||
<х |
а*, |
при котором Г* = |
Г и (ГаГ)* |
= |
ГаГ |
для каждого а 6 А, |
|||||
то кольцо |
R(T, |
А) коммутативно. |
(Под |
антиавтоморфизмом |
здесь |
||||||
подразумевается взаимно однозначное отображение группы G на |
|||||||||||
себя, |
при |
котором (аВ)* = |
р*а*.) |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя * к ГаГ, мы обнаруживаем, что число правых смежных классов в ГаГ равно числу левых смеж ных классов. Поэтому, согласно лемме 3.5, можно считать, что ГаГ = U Га, = Ц «|Г и ГВГ = у Гр, = у рД1 (все объединения
г |
i |
3 |
3 |
разделенные) для любых а, Р 6 А. Тогда ГаГ = Га*Г = у Га? и ГрГ = ГР*Г = у Гр*. Если ГаГрГ = у ГЕГ, то ГрГаГ =
=Гр*Га*Г = (ГаГрГ)* = U Г£Г. Следовательно,
(ГаГ)-(ГрГ) = S с6 (Г£Г),
(ГрГ) - (ГаГ) = У] сЦТЩ s
при одних н тех же компонентах Г|Г. В силу предложения 3.2
сгйеВ(ПТ) |
= |
# |
{(», /) |
| Га«р; Г |
= |
ГЩ |
= |
|
= |
# |
{ ( i , j) |
| Гр|а?Г |
= |
ГЕГ} |
(после применения *) = |
= фс1е8 (Г£Г),
так что eg — с*. Предложение доказано.
До сих пор мы не давали мотивировок. Начнем их с рассмотрения простейшего случая. Пусть 77 — поле алгебраических чисел конечной степени, / — кольцо целых чисел в F и Е = J* (см. 0.2). Для про стоты предположим, что число классов поля 77 равно единице. Тогда
с каждым идеалом А = |
a J |
в 77 |
можно |
сопоставить смежный |
класс |
||||
аЕ |
= |
ЕаЕ. |
Таким образом, |
в данном |
случае мы |
полагаем Е |
= Г |
||
и |
А = |
/ — |
{0} (или |
А = |
77 — |
{0}). |
Введенное |
нами умножение |
является здесь умножением идеалов. Если число классов поля боль ше единицы, то аналогичные рассмотрения можно провести с помо щью иделей.
Возьмем теперь какую-либо (скажем, простую) некоммутативную алгебру X над некоторым полем алгебраических чисел. Пусть S —
§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 81
какой-нибудь порядок в X, т. е. конечно порожденный Z-подмодуль |
||
в X |
максимального ранга, являющийся кольцом с единицей. Если |
|
Г = |
S*, |
то каждый левый главный идеал Sa определяется смежным |
классом |
Га. Поскольку в данном случае нет коммутативности умно |
жения, перемножение идеалов не проходит так гладко. Поэтому
вместо Га |
мы можем взять двойной смежный класс |
ГаГ, который |
|
доставляет |
меньше затруднений. |
Эта точка зрения |
стаиет яснее |
в последующих параграфах, где в |
качестве X мы возьмем матричную |
алгебру M „ ( Q ) , и в частности M 2 ( Q ) . В § 7.1 мы выявим связь между классами ГаГ и алгебраическими соответствиями на алгебраических кривых.
§ 3.2. Формальные ряды Дирихле с эйлеровым произведением
Остановимся |
теперь |
на конкретном |
|
случае |
G = |
GL„(Q) |
и |
Г |
= |
||||||||||||
= SL„(Z). Для |
произвольного |
целого |
|
числа |
N ф 0 |
положим |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Г л- = |
(V 6 Г |
17 = |
1,! mod(A)} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ЛЕММА |
3.9. |
Пусть |
р £ M n |
( Z ) , |
|
clet(P) = b ф |
0. |
Тогда |
Г' N b |
с : |
|||||||||||
с= р - ^ р n p r w p ^ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим |
Р' = |
b p - 1 . |
Так |
как |
Р' £ |
|||||||||||||||
б M n ( Z ) , |
то из 7 = |
1„ mod(Nb) |
следует |
р'-уР = |
р'р |
= |
ЬЛп |
|
mod(Nb); |
||||||||||||
поэтому |
Р_ 1 7Р |
= |
l , i mod(iV). |
В |
частности, |
это |
означает, |
что |
|||||||||||||
Р Л Р ё M„(Z). Еслн 7 6 |
I \ v b l |
|
то |
det(p-^yP) = 1, так |
что |
р - ^р 6 |
Г,у ; |
||||||||||||||
следовательно, |
7 £ РГ.^Р"1 - |
Аналогично |
7 £ Р- 1 Гд'Р. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ЛЕММА 3.10. |
Г = |
G L n ( Q ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
а б GL„(Q), то |
а |
= |
ср при неко |
||||||||||||||||
торых с б Q и р 6 M„(Z). Имеем а Г а - 1 |
= |
р г р - 1 |
. Согласно лемме |
3.9, |
|||||||||||||||||
пересечение |
Г П РГР- 1 |
содержит |
|
Th |
|
при |
b = |
det(P). |
Так |
как |
|||||||||||
[Г : Г ь ] < |
оо, |
то число |
[Г : Г |~| |
а Г а - 1 |
] |
конечно. Осуществляя |
внут |
||||||||||||||
ренний автоморфизм % |
а _ 1 | а |
и подставляя |
затем |
а - |
1 |
вместо |
а, |
||||||||||||||
получаем |
[ а Г а - 1 : а Г а - 1 (~| |
Г] < ; |
0 0 , |
|
откуда |
а |
6 Г. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Положим |
А = |
{а 6 Mf l (Z) |
| det(a) > 0} . |
Очевидно, |
|
А — |
полу |
||||||||||||||
группа и |
Г с |
|
Д с |
Г. Выясним |
структуру кольца |
R(T, |
А). Для |
п |
|||||||||||||
произвольных целых чисел аи |
. |
. ., |
ап |
обозначим через |
diagtai, . . . |
||||||||||||||||
. . ., я„] |
диагональную |
матрицу |
с |
элементами |
ах, |
. . ., а„ |
на диаго |
нали. Из теории элементарных делителей (см. лемму 3.11 ниже)
известно, что |
представители фактора Г\А/Г |
задаются |
матрицей |
||
diag[al t |
. . ., ап] |
с такими положительными целыми числами а4 , . . . |
|||
. . ., ап, |
что at |
делит a i + l . |
Далее, преобразование | |
является |
|
антиавтоморфизмом группы G и '(ГаГ) = ГаГ для каждого двой |
|||||
ного смежного класса ГаГ при а £ G, так как матрица а может счи |
|||||
таться диагональной. В силу предложения 3.8 |
это доказывает ком |
||||
мутативность кольца R(T, |
А). |
|
|
6 - 01118
82 |
ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ I I ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
Наша ближайшая цель — полулить нечто вроде таблицы умно жения для Л(Г, А). Основная идея состоит в том, чтобы сопоста вить с каждым смежным классом Га некоторую решетку и подсчи тывать число решеток вместо числа смежных классов. Для этого положим
|
|
|
|
|
|
Г векторное |
пространство всех |
71-мерных ] |
|
|
||||||||||||
|
|
|
^ |
Q |
|
{ |
вектор-строк с координатами из |
Q |
j ' |
|
|
|||||||||||
и |
пусть |
группа |
G = |
GL„(Q) действует на V справа. |
Подмодуль |
L |
||||||||||||||||
пространства |
V |
будем |
называть |
решеткой |
|
(точнее, |
[Z-решеткой) |
|||||||||||||||
в V, еслп L конечно порожден над Z, а V порождается L над Q. |
||||||||||||||||||||||
Легко видеть, что L будет решеткой в V тогда и только тогда, |
когда |
|||||||||||||||||||||
L |
— свободный Z-модуль ранга 7г. Еслп а £ G и L — решетка в V, то |
|||||||||||||||||||||
и La |
— решетка в V. Заметим также, что если ТУ — |
подпространство |
||||||||||||||||||||
в |
V и L — решетка в |
V, |
то |
L (] |
W — решетка |
в |
W. |
Далее, |
если |
|||||||||||||
L |
и М — решетки в |
V, |
то |
(i) |
L + |
М |
и L f| М — решетки |
в |
V; |
|||||||||||||
(И) существует |
такое |
положительное |
целое |
|
число |
с, |
что |
cL а |
М. |
|||||||||||||
|
ЛЕММА 3.11. Пусть |
L |
и М |
— решетки |
в |
V. |
Тогда |
существуют |
||||||||||||||
такие |
п элементов ил, |
|
. . ., ип |
пространства |
V |
и такие |
п положи- |
|||||||||||||||
тельных |
рациональных |
|
чисел |
|
by, |
. . ., |
bn, |
что |
L |
|
п |
|
М |
= |
||||||||
|
|
— 2 J Zut, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = l |
|
|
|
= |
2 |
ZbjU; |
и |
b i |
+ i g biZ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это есть не что иное, как основная теорема об элементарных дели телях (вернее, переформулировка). Очевидно, М cz L тогда и только тогда, когда Ь; £ Z для всех £ = 1 , . . ., 7г. Множество {byZ, . . .
. . ., bnZ} мы будем называть множеством элементарных делителей решетки М относительно решетки L и будем писать
|
|
|
{L:M}= |
{h, |
. |
. ., |
bn}= |
{b.Z, |
. . ., bnZ). |
|||
Если M |
cz |
L , |
то |
[ L : M] |
= |
bt . . . |
bn. |
В |
частности, если a = |
|||
= |
d i a g [ b b |
. . ., |
bn], |
то { L : La} |
= |
{bu |
. . ., |
bn}. |
||||
|
В дальнейшем мы будем обозначать через L стандартную решет |
|||||||||||
ку |
Z". |
При |
этом |
соглашении |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Г |
= |
SL„(Z) = |
{а |
€ G \ La = |
L , det(a) > 0} . |
Для а и р из А равенство Га = Гр выполняется тогда п только тогда, когда La = L p .
ЛЕММА |
3.12. Пусть М и |
N — решетки |
в V. |
Тогда { L : М) = |
= { L : N} |
в том и только в том случае, |
когда |
существует такой |
|
элемент- а |
группы Г, что Ма |
= N. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточность очевидиа. Для доказа тельства необходимости положим { L : М} = { L : N} = {аи . . .
. . ., ап). Тогда существуют 2тг элементов ut и vt пространства V,
§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 83
для |
которых |
|
L = |
2 |
Ziij |
= |
^Zvh |
М |
|
= |
2 |
Za(ub |
|
N = |
2 |
Za;y;. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
г |
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
г |
1 , . . . |
||
Определим элемент а группы G равенствами uta |
= |
vt |
для i = |
||||||||||||||||||||||||
. . ., |
п. Тогда La = |
L , Afa = |
N |
и det(a) = |
± 1 . Если det(a) = — 1 , |
||||||||||||||||||||||
надо взять —Vi вместо |
vt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пусть |
а ь |
. . ., |
ап — такие |
|
положительные |
целые |
числа, |
что |
||||||||||||||||||
Ui+i делится иа at. |
Определим следующим образом элемент Т(аи . . . |
||||||||||||||||||||||||||
. . ., |
ап) |
кольца |
R{T, |
А): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Т(аи |
. . ., |
ап) |
= |
ГаГ, |
|
|
а = |
|
d i a g [ a b |
. . ., |
ап]. |
|
|
|
|
||||||||
Как отмечалось выше, кольцо R{T, |
А) |
порождается |
над Z |
элемен |
|||||||||||||||||||||||
тами |
T(at, |
. . ., |
ап). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ЛЕММА |
3 . 1 3 . Пусть |
ГаГ |
= |
Т{аи |
. . ., |
ап). |
Тогда |
отображение |
||||||||||||||||||
Г£ к-»- L \ задает взаимно однозначное |
соответствие между |
смежными |
|||||||||||||||||||||||||
классами Т\ в ГаГ и решетками |
М, для которых |
{ L : М} |
= |
{аи . . . |
|||||||||||||||||||||||
• • |
•. |
ап}- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Можно |
считать, |
что |
а |
= |
d i a g [ a b . . . |
|||||||||||||||||||
. . ., |
ап]. |
|
Если |
Г£ = Габ |
при |
|
б 6 Г, |
то |
{ L : Щ |
= |
{ L |
: Lad} |
= |
||||||||||||||
= |
{ L |
: La} |
= |
{а4 , |
. . ., |
ап). |
Обратно, |
|
если |
|
{ L |
: М} |
= |
{а{, . . . |
|||||||||||||
. . |
., |
ап}, |
то, согласно лемме 3 . 1 2 , существует |
такой элемент у |
из |
Г, |
|||||||||||||||||||||
что М |
|
= |
Lay. |
Очевидно, Taycz |
ГаГ. Соответствие Г£ |
|_*. L \ взаимно |
|||||||||||||||||||||
однозначно, так |
как |
Г£ = Гт| тогда |
и только тогда, когда |
L \ = |
L I T . |
||||||||||||||||||||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
3 . 1 4 . Степень |
|
элемента |
Т(аи |
. . ., |
ап) |
совпадает |
|||||||||||||||||||
с числом |
таких |
решеток М, |
что { L : М} |
= |
{аъ |
. . ., |
ап}. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Это немедленно |
следует |
из леммы 3 . 1 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
3 . 1 5 . Если |
(ГаГ)-(ГрТ) = 2 |
с | "Г^Г, |
где |
|
сг£Ъ, |
||||||||||||||||||||
то |
Cg |
равно |
числу |
таких |
решеток |
М, |
|
для |
которых |
{ L : М\ |
= |
||||||||||||||||
= |
[ L : L B } и |
{М |
: L\) |
= |
{ L : |
|
La}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть |
ГаГ |
= |
U Гаг |
и |
ГрТ = |
U Гр7- |
||||||||||||||||||
(объединения |
разделенные). |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
с6 |
= |
й |
{(», j) |
I Г а , р , |
= |
Щ |
= |
# |
{(i, |
j) |
I La$} |
= |
L I } . |
|
|
Заметим, что число i однозначно определяется элементом | и числом / .
Предположим, что La$j |
= L | , и пусть М = |
L$j. Тогда { L : М} |
— |
|||||||||||||
= { L : L B } |
и |
{М |
: L\} |
= |
{L$j |
: La$j} |
= |
{ L : Lat |
|
\ = |
{ L : |
La}. |
||||
Обратно, |
пусть |
M |
— такая |
решетка, |
что |
[ L : М} |
= |
{ L : L$} |
и |
|||||||
[М : L I ) = |
{ L : La}. |
Согласно лемме 3 . 1 3 , М = L$j |
для |
одного |
||||||||||||
и |
только |
одного |
|
Но |
тогда |
{ L : 1/ЦЗ,т1 } = |
{ L B ; : L\} |
= |
{ L |
: |
La}. |
|||||
Согласно |
лемме |
3 . 1 3 , L^fi]1 |
= |
Lat |
при |
некотором i, |
так |
что |
L \ = |
|||||||
= |
Laftj. |
Таким |
образом, |
каждая |
решетка М |
определяет |
пару (г, ;') |
|||||||||
и |
обратно. Утверждение |
доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
6*
84 |
|
ГЛ. |
3. |
ОПЕРАТОРЫ |
ГЕККЕ |
И |
ДЗЕТА-ФУНКЩ'Ш |
|
|
|
|
||||||||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
3 . 1 6 . Пусть |
а и |
В — такие |
элементы |
из |
А, |
что |
||||||||||||||
числа det(a) и det(P) взаимно просты. |
Тогда |
(ГаГ) -(ГВГ) = |
|
ГарТ. |
|||||||||||||||||
Другими |
словами, |
если |
(ап, |
bn) |
= |
1 , |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Г(а„ |
. . ., an)-T(bu |
|
|
. . ., |
bn) |
= |
Tfaby, |
. . ., |
anbn). |
|
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть |
E. 6 ГаГВГ. |
Пусть |
М |
|
и |
М' |
|||||||||||||
таковы, |
что |
|
{ L : М) |
= |
|
{ L : М'} |
|
= |
{ L : L B } |
и |
{М |
: Щ |
= |
||||||||
= {М' |
: Щ |
= |
{ L : La}. |
Имеем |
[М |
+ |
М' |
: М] |
= Ш' |
: М |
f| |
М'\. |
|||||||||
Левая часть этого равенства делит |
[ L : М] = |
|
det(B), |
а правая |
часть |
||||||||||||||||
делит [ L : L a ] = |
det(a), |
так |
как |
М |
+ |
М' |
a |
L |
и |
LE cz М |
|
П |
М'. |
||||||||
Так |
как числа |
det(a) |
и |
det(B) |
взаимно |
просты, |
то |
М + М' |
= |
М |
|||||||||||
и М' |
= |
М П М', |
так что М |
= |
М'. |
В силу предложения |
3 . 1 5 отсюда |
следует, что кратность класса ГЕГ в (ГаГ) -(ГВГ) равна единице. Далее, если Е 6 ГаГВГ, то можно найти по крайней мере одну решет ку М с названными выше свойствами. Тогда LE. а М с L и фактор
L l L \ |
пзоморфеп модулю |
ЫМ ф |
MlL\, |
а следовательно, |
н |
модулю |
|
L I L a |
© |
L / L B , поскольку |
числа |
det(a) |
и det(B) взаимно |
просты. |
|
Поэтому |
элементарные делители |
решетки L \ относительно |
L |
полио |
стью определяются элементами а и В. Из сказанного следует, что ГаГВГ состоит ровно пз одного двойного смежного класса, которым, очевидно, является ГаВГ. Предложение доказано.
Из этого |
предложения вытекает, |
что |
каждый |
элемент Т(аи . . . |
||||
. . ., ап) |
можно |
представить как |
произведение |
элементов |
вида |
|||
Г(р'1, . |
. ., |
рс"), |
где р — простое число |
и 0 ^ ех |
^ |
е2 =Sj . . . ^ |
еп; |
такое представление единственно (если брать пе более одного сомно жителя для каждого простого числа). Для каждого простого числа р
обозначим через R'™ подкольцо в R(T, |
А), порожденное |
элементами |
||||||||||||||
впда |
T(pei, . . . . |
реп). |
Тогда |
обсуждаемый вопрос |
сводится к |
изу |
||||||||||
чению |
структуры |
|
кольца |
R'p'. |
Но |
сначала отметим |
следующий |
|||||||||
простой факт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
3 . 1 7 . Имеет |
|
место |
равенство |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Т(с, |
. . ., |
с)Т{Ьи . . |
., Ь„) = |
Т{сЬу, |
. . ., |
сЪп). |
|
|||||||
|
Это |
следует |
непосредственно |
из |
определения |
закона |
умножения |
|||||||||
в кольце R(T, |
А). В частности, мы видим, что |
Т(с, |
. . ., |
с) не являет |
||||||||||||
ся |
делителем нуля |
в |
R{T, |
А). (Позднее мы |
покажем, |
что R(T, |
А) |
|||||||||
в |
действительности |
является |
областью |
целостности.) |
|
|
Зафиксируем теперь простое число р и изучим структуру кольца Rpn>. Рассмотрим фактор (Z/pZ)n = L I p L как векторное простран ство размерности п над простым полем Z/pZ.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
3 . 1 8 . Пусть с™' — число k-мерных |
подпространств |
|||
в (Z/pZ)n. Тогда |
|
|
|
|
|
c («) = |
c(n2 = |
(РП-1)(РП-Р) |
• •• (Р"-Р1 '"1 ) |
_ |
|
" |
п _ * |
(pfc_i)(pk_p)...(pfe_p fc-i) |
|
||
|
= |
deg (Т |
, |
р^^р))• |
|
n-h ft
§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 85
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Равенство |
с}"' = |
cln-h 1 1 представле |
||||||
ние |
числа <4П) как |
рациональной функции от |
р хорошо известны. |
||||||
Чтобы связать это с deg(T), |
воспользуемся |
|
предложением 3.14. |
||||||
Пусть М |
— такая |
решетка в |
V, |
что [ L : М) |
= |
{ 1 , . . ., 1, р, . . . |
|||
. . ., |
р}, |
где на первых п — к местах стоит 1 и па остальных |
/сиестах |
||||||
стоит |
р. |
Тогда pL cz М cz L , и |
MlpL |
есть (п — /с)-мерное |
подпро |
||||
странство |
в L/pL. |
Обратно, |
для |
каждого (п — /с)-мерного |
подпро |
странства К в L/pL можно найти единственным образом такую решет
ку М, |
что MlpL |
= К. |
Вместе с предложением 3.14 этот факт дока |
|||||
зывает |
требуемое |
равенство. |
|
|
|
|
|
|
Определим Z-линейное отображение тр: Лр1 + 1 > ->• R'™ равенствами |
||||||||
|
яр(Г(1, |
, |
. . ., |
= |
T(p*i , |
. . ., |
р«»), |
|
|
\\){Т(ра°, ра^, |
. . ., |
ра «)) = |
0, |
если |
а0 > |
0. |
|
ЛЕММА 3.19. Отображение |
т|э является сюръективным гомоморфиз |
|||||||
мом и |
его ядро Кег(яр) совпадает с Т(р, |
. . ., |
p)-Rlp+1\ |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Сюръективность очевидна. Утвержде ние о ядре Кег(тр) следует из предложения 3.17 и определения яр. Поэтому для завершения доказательства достаточно проверить мультнпликативиость для элементов Г(1, ра *, . . ., р а «) . Положим для простоты
|
|
е' |
= |
{ 1 , |
р а 1, . . |
., |
р«"}, |
|
е |
= |
{pai, |
. |
. |
., |
р п * } , |
|
|
|||||
|
|
/' |
= |
{ 1 , |
pbi, . . |
., |
pbn), |
|
f |
= |
{pbi, |
. |
. |
., |
рЪп}, |
|
|
|||||
|
|
g' |
= |
{ 1 , р^, |
- . |
., рс"}, |
|
g |
= { p c i , |
. |
. |
., |
рсп}, |
|
|
|||||||
|
|
рЙ. |
= |
т(Це')-Т(П; |
|
T(g% |
|
u.g |
= |
m(T(e).T(f); |
|
T(g)). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
Мы собираемся |
показать, |
что |
\хе — и.д<. Пусть |
L ' = Z™*1 |
= |
2 Z U J , |
||||||||||||||||
L |
= |
S Zuh |
N'> = Z u 0 |
+ |
|
S |
|
|
ЛГ = |
2 Z p c ^ £ |
. Тогда |
{L:N}= |
||||||||||
|
i=i |
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
-i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
g, |
{ L ' : N'} |
= |
g', и в силу предложения |
3.15 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ц в |
= |
й |
{ М |
| {Z, : i ¥ } = |
/, |
{М |
: Ж } |
= |
«}, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
ця . |
= |
ft |
{ М ' |
| { L ' : Ж ' } |
= |
/ ' , {М' :N'} |
|
= |
е'). |
|
|
|
||||||||
Предположим, что |
{U |
: М'} |
= |
/', |
{М' |
: N'} |
= |
е'. |
|
Тогда |
и0 |
£ N' |
cz |
|||||||||
cz |
М'. |
Пусть |
М |
= М' |
(] L . Тогда |
Ж ' = |
Zu0 |
+ |
|
М |
и, |
очевидно, |
||||||||||
{ L |
: 7¥} = |
/, |
{ М |
: iV} = |
е. |
Обратно, если |
М |
— решетка |
в Q n |
= |
||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
2 |
Qu i> |
Д л я |
которой |
{ L : М) |
= |
/, |
{Л/ : iV} = |
е, |
то |
|
положим |
||||||||||
М' |
= |
ZM.0 |
+ М. |
Легко |
проверить, что |
i l f = М' |
П £> { L ' |
: М'} |
= |
|||||||||||||
= |
/ ' , |
{ М ' |
: iV'} = |
е'. Это |
показывает, |
что |
\xg |
= |
иг<. |
Далее, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
T(e)-T(f) |
|
= |
S |
Li g r(g), |
+ |
2, (p. |
• . . . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
W - r ( / ' ) |
= |
S |
^ |
W |
|
|
|
|
|
86 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
при некотором X |
из Rpn+1\ |
Так |
как ty(T(p, . |
. ., |
р)) |
= О, то \\> пере |
|||||||
водит T(e')-T(f) |
|
в T(e)-T(f). |
Доказательство |
закопчено. |
|
||||||||
ТЕОРЕМА |
3.20. |
Кольцо |
R™ |
является |
полиномиальным |
кольцом |
|||||||
над Z от п |
переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т(1, |
. . |
., 1, р), |
Т(1, |
. . ., |
1, |
р, |
р), |
. . ., |
Т(р, |
. . ., |
р), |
||
которые алгебраически независимы. В частности, |
кольцо |
Rpn) не |
|||||||||||
имеет делителей |
нуля |
(отличных |
от |
0). |
|
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Проведем индукцию по п. Для п = 1 |
||||||||||||
утверждение |
очевидно, |
так как |
Т(ра) |
= |
Т(р)а |
в |
силу предложе |
ния 3.17. Предположим, что п^> 1 пчто утверждение верно для п — 1.
Для |
каждого двойного смежного класса ГаГ при clet(a) = pv |
поло |
|||||||||||||||
жим |
г^(ГаГ) = |
v |
и |
определим |
для |
X |
= |
У, ck-ТакТ |
£ Rpn) |
число |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
w(X) |
как наибольшее среди чисел г^(Га,,Г) при ненулевых |
ск. Назо |
|||||||||||||||
вем |
элемент X |
однородным, если |
числа w(VakT) |
равны |
для |
всех |
|||||||||||
ch Ф |
0. В частности, элемент T ( p a |
i , |
. . ., |
рап) |
однороден и w(T(pni, . .. |
||||||||||||
. . ., |
рап)) |
= at + |
. . . -+- ап. |
Произведение |
двух |
однородных |
эле |
||||||||||
ментов, |
очевидно, |
однородно. Положим Ткю |
= |
Г(1, . . ., |
1, р, . . . |
||||||||||||
. . ., |
р), |
где на первых п — к местах стопт 1 и па остальных к местах |
|||||||||||||||
стоит |
р. Мы собираемся доказать, применяя индукцию |
по w, ITO |
|||||||||||||||
каждый |
элемент |
X |
кольца 2?рп> является многочленом от |
Т\ю, . . . |
|||||||||||||
. . ., |
Т™. Достаточно |
рассмотреть |
элементы |
вида |
X |
= |
T(p°i, . . . |
||||||||||
. . ., |
рап). Если |
at > |
0, |
то, |
согласио |
лемме |
3.16, |
|
|
|
|||||||
|
Т(р^, . . |
., |
р"п) = |
Т(р, |
. . ., |
p)T(p^-i, |
|
. . ., |
p«n-i), |
|
так что в этом случае вопрос сводится к элементу с минимальным w.
(Заметим, что w(X) = |
0 тогда и только тогда, когда X — константа, |
|||||||||
т. е. элемент из Z.) Поэтому предположим, что |
ах = 0. Рассмотрим |
|||||||||
гомоморфизм |
г|э: Rpm-»- |
R'p~v, |
полученный |
в лемме 3.19. По |
пред |
|||||
положению |
индукции |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
лр (X) = |
т ( Р « « , . . . , рап) |
= |
y j U |
h . Mk |
(ТГ'), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
где |
u f c 6 Z |
и |
Mh(T^-v>) |
— одночлены |
от Т\п~. |
. ., Г™. |
Заме |
|||
тим, |
что каждый одночлен Мь(Т\п~и) |
является |
однородным элемеп- |
|||||||
том. |
Поэтому |
можно |
предположить, |
что 1и(Мк(Т\п~™)) = w(X) |
для |
всех к, так как никакого сокращения между однородными элемен
тами с различными |
w произойти |
не может. Подставляя |
Т1-"' |
вместо |
|||||||||
Д п _ 1 ) , положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
= |
%иъ'Мк{Т™, |
. . ., |
та. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко видеть, что ю(Мк(Т^)) |
= |
w(X). |
Так |
как |
\\>(Х — Y) = |
0, то |
|||||||
существует |
такой элемент |
Z |
в |
Rpn), что |
X |
— Y |
= |
Т(р, |
. . ., |
p)-Z. |
|||
Очевидно, |
что w(Z) < |
w(X). |
По |
предположению |
индукции элемент |
||||||||
Z является многочленом |
от |
Г'"'; |
следовательно, |
X 6 Z [ r j n > |
, . . . |
. . ., |
l n j . |
|
§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 87 |
||||||||||||||
|
Для |
доказательства |
алгебраической |
независимости |
элемеитов |
||||||||||
Т\п) |
предположим, что существует такой многочлен Р, |
что Р(Т\п\ . . . |
|||||||||||||
. . ., Т'™) = |
0 и |
Р ф |
0. |
Многочлен |
Р |
можно |
представить в |
виде |
|||||||
|
|
P ^ f , |
. . . , 2 t > ) = |
2 |
(T™)ipt(T<?\ |
. . . , 2 ^ 0 , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=k |
|
|
|
|
|
|
|
|
где 0 ^ |
к ^ |
I и Рк Ф |
0. |
Так |
как |
не является |
делителем |
нуля |
|||||||
(см. предложение |
3.17), то 0 = 2 |
{T^)iJhPt{T^\ |
. . ., |
T^li). |
При- |
||||||||||
меняя |
\\>, получаем |
P ^ T Y 1 - 1 1 , |
. . ., |
Г ^ 1 ' ) = |
0, |
и |
по |
индукции |
|||||||
Рк |
= 0. |
Мы |
пришли |
к |
противоречию. |
Доказательство |
закончено. |
Из теоремы 3.20 следует, что R(T, А) — полиномиальное кольцо над Z от бесконечного множества переменных вида Г(1, . . ., 1, р, . . ., р), где /л — простое число. В частности, R(T, Д) — область целостности.
Для произвольного положительного целого числа m обозначим через Т(т) сумму всех ГаГ при а 6 Д и det(a) = т. Мы рассмотрим теперь формальный ряд Дирихле (с коэффициентами из R(T, А))
оо |
2 (Г«Г) • de t (a) ~s , |
D («) = 2 Т И m~s = |
|
m = l |
Г\Д/Г |
где последняя сумма берется по всем различным двойным смежным классам ГаГ, а 6 Д. Из предложения 3.16 легко вывести, что
(3.2.1) |
T(mm') |
= T{m)T(m'), |
если (то, |
то') = |
1. |
Поэтому D(s) |
можно |
(формально) |
выразить |
в виде |
бесконечного |
произведения |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
0(8)=П.[У>Т(рЬ)р-ь°],
р к=0
где р пробегает множество всех простых чисел. По определению Т(т)
со |
т (р« ..., Реп) г1 + -+ в » |
2 т о*) х к = 2 |
при произвольной переменной X. Докажем теперь, что этот формаль ный степенной ряд является в действительности рациональным выражением от X.
ТЕОРЕМА |
3.21. Пусть |
Т\м |
= |
Т(1, . . ., 1, |
р, . . ., р), |
где |
на |
|
первых |
п— |
i местах стоит 1 |
и |
на остальных |
i местах |
стоит |
р, |
|
и пусть |
X |
— переменная. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
2 T(Ph)xh=[ |
2 |
(-lVpw-wj'0 **]"1 |
|
|
h=0 |
i=0 |
88 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
со |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Т (m) m- = \\ \ У, ( - 1)* |
|
p W - D / a i f V l - 1 . |
||||||||
|
|
m = l |
|
|
р i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
произведение распространяется |
на |
все |
простые |
числа р. |
|||||||||
|
Докажем сначала |
две |
леммы. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ЛЕММА 3 . 2 2 . Пусть |
целые числа с^ те же, что в предложении 3 . 1 8 . |
||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т\п)х*- (23 |
T(pm)xm) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
7)1 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
S ciA ) -{ |
У |
т ( 1 , . . . , |
1 , р*,..., / Л ) |
z d l - - + d M |
||||||
|
|
|
|
ft=0 |
|
l $ d j $ . . . ^ d f t |
|
|
|
|
|
|
||
(подразумевается, |
что |
С{Й > = 0, если i > |
к и с{00> = 1). |
|
||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Зафиксируем |
множество |
показателей |
||||||||||
{di, |
. . ., dh} |
и обозначим |
через |
\i(d) |
коэффициент |
прп Т(\, . . . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
. . ., |
1 , |
. . ., pdh)Xdi+--+dh |
|
в Т^Х1 |
(2 |
T(pm)Xm). |
Заметим, |
|||||||
что |
это выражение появляется в |
|
|
|
. 7П=0 |
только тогда, |
||||||||
Т{™Х1 |
T(pm)Xm |
|||||||||||||
когда i + m = dj + . . . -f- dh. Фиксируем |
такую решетку N, что |
|||||||||||||
{ L |
: N} = { 1 , . . ., 1 , pdi, . . ., / А } . В силу предложеппя 3 . 1 5 |
|||||||||||||
V- |
№ = 2 |
# |
| { L : М) |
= { 1 , . . ., 1, р, |
. .., р), {М |
: N} = { L : La}}, |
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где сумма распространяется на все классы ГаГ, для которых clet(a) = = pm и а 6 А- (Здесь п далее число вхождений р в { 1 , . . ., 1 , р, . . .
. . ., р) равно i.) Если |
{ L : М} = ( 1 , . . ., 1 , _р, . . ., р} ж N cz М, |
|||||||
то можно |
найти |
такой |
элемент а из |
Д, что {М : iV} = |
{ L : L a } , |
|||
н очевидно, что det(a) = pm. Поэтому |
\x(d) равно числу таких реше |
|||||||
ток М, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
NczM, |
|
|
{ L :М) = ( 1 , . . ., 1 , р, . . ., р}. |
||||
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
Возьмем |
базис {и,} |
так, чтобы L = 2 |
Z u v И |
|
||||
|
|
|
|
|
h |
v = i |
|
|
|
|
|
|
n - ft |
|
|
|
|
|
|
N= 2 ZuV -T- 2 z/vU n _,i + v . |
|
|||||
|
|
|
|
v = l |
v = l |
|
|
|
|
|
7 1 - / J |
|
' i |
|
|
|
|
Тогда pL |
-\- N — |
2 |
Z u v + 2 |
ZpUn-k+v', |
следовательно, |
фактормо- |
||
|
|
v = l |
|
v = l |
|
|
|
|
дуль L/(pL + iV) изоморфен (Z/pZ)f t . Если Af обладает свойством
|
§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ |
89 |
||||||
(*), |
то pL + N cz М и |
модуль |
L I M изоморфен |
(Z/pZ)1. |
Поэтому |
|||
\i(d) |
ф |
0 только тогда, |
когда i ^ |
к. Итак, для i ^ |
к фактормодуль |
|||
M/(pL |
+ N) является (к — ^-мерным подпространством |
в L/(pL + |
||||||
+ |
N). |
Обратно, каждое (к — £)-мерное подпространство |
в Ll(pL |
+ |
||||
+ |
N) можно представить в виде M/(pL + N), где М — некоторая |
однозначно определяемая решетка, обладающая свойством (*). Таким
образом, p,(d) = |
cf-\ и лемма |
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
ЛЕММА 3 . 2 3 . |
Если fc>0, |
то 2 ( — l ) V ( i - 1 |
) / 2 c ( i h ) = |
0 . |
||
|
|
|
i = 0 |
й - 1 |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим / (X) = |
|
Тогда |
|||
[} |
(Х — р1). |
|||||
|
/ |
1 |
i |
= ° |
|
|
|
i = S |
|
fW/if'Wix-p*)], |
|
так как правая часть есть многочлен степени, меньшей чем к, при
нимающий значение 1 в к точках |
р°, р1, |
. . ., рк~1. |
Подставим рк |
|||||
вместо X. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
й - 1 |
|
|
|
й |
|
|
|
|
1 = |
2 c f ) ( _ l ) f e - i - l p № - i ) ( f t - i - l ) / 2 = |
V |
c W ( _ l ) J - l p i O - l ) / 2 f |
|||||
|
г=0 |
|
|
|
i = l |
|
|
|
что и требовалось |
доказать. |
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
3 . 2 1 . Рассмотрим произ |
||||||
ведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ S |
( - 1 ) * Р^-»/2ТРхЧ |
[ § |
Т (рт) Х"1) . |
||||
В силу леммы |
3 . 2 2 оно равно |
|
|
|
|
|||
2 ( - i ) i p w - * ) / 2 2 с?Ч2г(1. |
|
••• |
|
|||||
г=0 |
|
|
й=0 |
|
|
|
|
|
Согласно |
лемме |
3 . 2 3 , здесь |
не обращается в |
нуль |
лишь член при |
|||
к = 0, который |
равен 1 . Теорема |
доказана. |
|
|
Имеет смысл выделить частные случаи теоремы 3 . 2 1 при п =
=1 , 2 . Если п — 1 , то
|
2 |
Т(т)т-^Ц[1-Т{р)р-Г1\ |
|
|
7Л=1 |
Р |
|
если п = 2, то |
|
|
|
|
со |
|
|
( 3 . 2 . 2 ) |
2 Т(т)т-=Ц |
р)р- + Т(р, р) |
Р^Г1. |
m = l |
Р |
(Заметим, что Г ( 1 , р) = |
Г(р).) |