книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

(3.5.11)

g(z)=

2

2

S

(ad)'1-1 <Г\|>

(а) с (?г) e ^ ^ + ' W / d ^

( a d = m ) .

d - i

n = i

a

b = 0

Так

как

2 e 2 j t i n b / d

равно

d

или

0

в зависимости от того, делит

d

число п или нет, то, сравнивая коэффициенты

при einilzll

в

обеих

частях равенства (3.5.11), получаем

(3.5.12)

С (1)=

2

У(а)ак-1с(1т/а*).

а\(1, т)

со

ТЕОРЕМА 3.43. Пусть

f(z)

=

2

с

(п)

е1пШ11

— ненулевой

элемент

п = 1

пространства Sk(T'0,

ap). Предгюложим,

что f — общая собственная

функция

операторов

T'(n)h,^,

для

всех

п,

т. е. f \T'(n)h,^

—

hnf

при

Хп £ С. Тогда

с(1)

Ф

0,

с(п)

— Хпс(1)

и

со

(3.5.13)

2

Knn-s

=

l][l

— kpp-s

+

^(p)ph-[~2s]-1

(формально).

Обратно,

71=1

Р

место

формальное

равенство

если

имеет

(3.5.14)

2

c(n)n-l

=

UH-c(p)p-'-i-^(p)pk-l-2r1,

71=1

р

то f

| T'(n)hi

^

=

c(?z)/ для

всех

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

/

|

T'(m)h,

ф

= k„j,

то,

пола­

гая в (3.5.12)

1 = 1,

получаем

(3.5.15)

1тс(1) = с(т).

Поэтому

с(1) Ф 0,

так как / Ф 0 и (3.5.13) следует из (3.5.9).

Обратно,

если

имеет

место

(3.5.14),

то

те

же

рассуждения,

что

и при доказательстве теоремы 3.24, приводят к тому, что

с(1)с

(т) =

2 ah-ly(a)c

(lm/а2).

о|(1, т)

Таким образом,

в

силу

(3.5.12)

имеем с'(1)

=

с(1)с(т),

так

что

/ I T'(m)kl*

=

g

=

c(m)f.

Непосредственно

отсюда

вытекает

СЛЕДСТВИЕ

3.44.

Если

две

функции

пространства

Sh(T'0, \\>)

являются

общими

собственными

функциями

операторов

T'(n)hi

^

для всех п и принадлежат

одному

и тому

же собственному

значе­

нию,

то

они

отличаются

только

на постоянный

множитель.

114

ГЛ. 3.

ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

( 3 )

характеристический

многочлен

преобразования

[Х]и

для

каждого I f

SB имеет

целые

рациональные

коэффициенты.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для X = 2 cv -Г'аЛ"" £ ЩТ', A) (g>

® z

С при cv

£ С положим X* = 2 cv -Г'а^Г". Тогда легко видеть,

что

( X Е

) * =

( Х * ) Е

. Согласно

( 3 . 4 . 5 ) ,

преобразование

являет­

ся

сопряженным к [X]h относительно скалярного

произведения

Петерсона на Sh(V).

Поэтому

tv([X*X]h)

> 0 , если

[X\h

Ф 0 .

Таким

образом,

58

инвариантно

относительно

отображения

X н-*• X*. Предположим, что В0

обладает

нильпотентным правым

идеалом N. Если [X]ka

N, то [XX*]h

содержится в А и, следова­

тельно,

является нильпотентным элементом, так что

t r ( [ Z Z * ] h ) =

= 0 . Поэтому [X]h

= 0 . Таким

образом,

кольцо В0

не содержит

Далее,

для / £ Sh(V)

положим / Е

= /(—z).

Легко

видеть, что

/ е 6 Sh(T')

и р

\{Х]Н

= (/ \[X*]hy

для каждого

Х е Д ( Г ,

А). Пусть

W = {/ 6 5*(Г)

I f = / } .

Тогда

W

есть

R-линейиое подпространство в Sh(T')

и

Sit(T')

=

= W ® к

С.

(Действительно,

2 / =

(/ + / Е ) -

»((*/)

+

(*/) Е ) . )

Пусть Б, обозначает R-линейиую

оболочку множества В0.

Тогда

W инвариантно относительно

Bt. Так как

E n d ( 5 f t ( r ' ) , С) =

End(W, R) ® R

С,

то элементы из В{ линейно независимы над R тогда и только тогда,

когда

они линейно

независимы над С. Отсюда мы можем

заклю­

чить,

что В — Bi ® R С. Поэтому

для доказательства ( 2 ) доста­

точно

установить равенство 2?4 =

В0

® Q R- Доказательство

этого

равенства, а также утверждения ( 3 ) основано на следующем

утверж­

дении,

которое

будет доказано

в

§ 8 . 4 :

( 3 . 5 . 2 0 )

существует

дискретный

Ъ-подмодуль

L

пространства

£),(Г')

максимального

ранга,

инвариантный

относительно

операторов

[Г'аГ"]^

при всех

а £ Д .

Принимая это, обозначим

Q-линейную

оболочку модуля L через

V. Тогда

Sh(V)

= V ® Q R и,

следовательно,

End(<Sf c (I"), R) =

E n d ( F , Q) <g>Q

R.

Поэтому элементы из B0 линейно независимы над Q тогда и только

тогда,

когда они линейно

независимы

над R. Это означает, что

Bi = В0

<8>Q R, и утверждение ( 2 ) доказано.

Пусть г — размерность пространства

Sk(T')

над полем С. Тогда

мы получаем три точных

представления:

р 0 :

S 0 - > M 2 r ( Q )

с* E n d ( 7 , Q),

P l :

£?! -»- M r ( R ) ^

E n d ( W , R),

p:

В - * - M r ( C ) ~ E n d ( 5 f c ( r ' ) , C).

§

3.5. ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

117

поненты

вектора

/

образуют

базис

в

Sh(T').

Пусть

L — модуль

из

(3.5.20)

и

=

€ Я 0

I 5Ь<= L } .

Е

Тогда алгебра D0

порождается множеством Е над

Q, и Е есть сво­

бодный Z-модуль ранга г. Определим регулярное представление Ф

алгебры

DQ

над

Q относительно

базиса

модуля Е над Z. Так

как

Е — подкольцо в В 0 ,

содержащее

элементы

[Г'аГ']^

для

всех

а 6 А', то Ф отображает

Т'(п)к

в M r ( Z ) . Положим Ф п

=

Ф(Т'(п)к).

Согласно утверждению (3) теоремы 3.51, существует такой

элемент

U

группы

GL r (C), что

Ua>(n)U~1

=

Ф п .

Положим

(gpq(z))

=

оо

=

Uifpq)!/-1

=

2 Ф п е 2 я ' п г /* .

Тогда

Sk(T')

порождается

Элемен­

та

1

тами gpq

над С ж gpq

имеют

целые

коэффициенты Фурье.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.53.

Если

f

— элемент

пространства

Sk(V),

являющийся

общей

собственной

функцией

операторов

T'(ri)k

для

всех п, то f принадлежит

пространству

Sk(T'B,

а|))

при

таком

един­

ственным

образом

определяемом

характере

\р группы

(Z/NZ)",

что

М§)

— 1) и

является

общей

собственной

функцией

для

всех

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

утверждению

(5)

теоре­

мы 3.34, элемент / является

собственной

функцией

операторов

T'(q,

q)k

для каждого

д,

взаимно

простого

с N,

так

что

в

силу

(3.3.11)

/ является собственной функцией операторов [eq]k.

Поэто­

му

можно

определить

характер

\р группы

(Z/NZ)*

равенством

/ Itcglk = Mo)f-

Тогда

/

£ Sh(T'0,

\\>). Последнее

утверждение сле­

дует из формулы (3.5.6), которая означает,

что T'(n)k,$

— огра­

ничение

преобразования

Т'(п)к

на

пространство

Sk(Y'0,

г|з).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.54.

Пусть

х

=

. 0

—t

Тогда

для

любого

N

0

а 6 Aft

( Г а Ч " )

(Г'тГ')

=

( Г Ч Г )

(Г'аГ') .

a tb~

d

—tc/N'

с

d _

.—УУЬ

а

и, следовательно, тГ'

=

Г'т. Для наперед заданного а

6 Aft поло-

-q

tb~

жим q — det(a) и

В =

т а т - 1 . Тогда В

=

0 1

mod(iV)

при Ъ 6 Z.

Положим у-

-tb

Тогда

"уВ=н

q

0"

=

a 1 mo&{N).

Так как q

1

0

1

US

ГЛ.

3.

ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ

И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

=

Г'л/ВГ"

=

Г'а1 Г'.

С

другой

стороны,

в силу

предложения

3.7

( Г р Т ' Х Г ' т Г ' ) =

Г'ВтГ'

=

Г'тоГ'

= ( Г Ч Г ' ) ( Г ' а Г ' ) ,

что и требовалось

доказать.

о

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.55. Пусть

х =

О

Тогда

оператор

[%}h

N

( = (i7V) 1 - f t / 2

[Г"тГ"]ь )

отображает

пространство

Sk(T'g,

\\>) в Sh(T'B, \\>)

и

[т]| =

1. Кроме

того, для

каждого

п,

взаимно

простого

с

N,

T'(n)k.

ф . [ т ] к

=

y(n)-fr]h-T'(n)k>

? .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

а £ Д^'и

det(a)

=

п.

В

силу

предложения 3.54 и равенств (3.3.13), если / 6 Sh(T'Q,

\р), то

(•)

/ |Ы j r - а П ь

= /

| [ r " a t r " ] F T [ T ] F E =

=

/ |[Г"о,-1 1 Г"]г ч [Г"аГ"]й [т]к =

=

^(/г) - 1 / Ц Г ' а Г ] к [ т ] к .

Возьмем

в качестве

а элемент

q-aq.

Тогда

/ |[тЫа,]к = МчУ^Ш

Iftlk =

№ ,

так ч т о /

|[т]ь £ i5h (r„, i|)). Из (*) и (3.5.6)

получаем требуемое. Соот­

ношение

[т]| =

1 очевидно.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.56. Если

X — собственное

значение

оператора

[T'0aT'0]ht

ф

при

а

£ Д!г,

mo X =

(det (a))~Х.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

g =

det(a)

и

/

([ЦаГ^ь

ф =

=

X/, то,

согласно (3.3.13) и

(3.5.6),

If

= i|>(g)/

|[Г"сс1 Г"]к . Обозна­

чая через

(

,

) скалярное произведение Петерсона на Sh(T"),

полу­

чаем в силу

(3.4.5)

М / ,

/ )

=

</|[Г"аПк , />

=

(/, /

Ц Г а Т г )

=

^(q)X-(f,

/>,

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3.57.

Пусть

f £ 5к (Г;,

яр),

/

| 7"(п)к , ,р' = а„/

и/ш

некотором

положительном

целом

числе

п,

взаимно

простом

с

N,

и

пусть

g = f Цт],,.. Тогда

g

\ T'(n)h^

=ang.

Это непосредственное следствие предложений 3.55 и

3.56.

~*

0"

. 1огда

"a

tb

а Ъ

г-1

а —

0

1

с

d

=

а

tc d_

"О

и,

в

частности,

—t

-

0

— 1"

а - 1

Поэтому

оТ„сг

— а

tN

0

/V

О

переводит

\р) в

=

Y0(tN),

и

отображение

f(z)

f(tz)

Sh(T'a,

Sk{T0(tN),

1(3).

Применяя

это отображение,

можно

свести

рас-

§ 3.5. ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

119

смотрение кольца

/?(Г',

А')

и

операторов

T'(n)h,

ф

относительно

Гд к случаю

t =

1, заменив уровень N на tN. Заметим, что N и tN

имеют один и те же простые делители, так как t делит N.

Поэтому

мы могли бы, не очень теряя в общности, положить

t =

1 в нашем

определении

Г„ и

Д„. (Следует,

разумеется, отметить, что

(Z/tNZ)x

может

иметь

больше характеров, чем

(Z/NZ)".)

ЗАМЕЧАНИЕ 3.59. Пусть р — простое

число,

ие

делящее

N,

и /

есть

собственная

функция

оператора

Т'(р)к,

ф

в

пространстве

Sk(TQ(N),

яр);

пусть

также

/

| Т'{р)к,

ф = cpf.

Положим

/ m ( z )

=

=

f(pm

z) для

т

=

0,

1 , 2 , . . .

и

обозначим

через

T"(p)h,

ф опе­

ратор в пространстве

Sk(T0(pbN),

ср), где ср(а) =

яр(а) для (a, pN)

=

=

1. Тогда легко проверить

что

/

I Г{р)к,„

=

cpf

-

ph-hp(p)flt

fm I Н И М = / m - l , m = 1, 2, . . ., I.

Следовательно,

оператор

T"(p)h

ф

не является полупростым,

если

I

>

3.

Пусть

теперь

X и

ц — корни

квадратного

уравнения

хг — срх + i p ( p ) / - 1 = 0.

Тогда

/

— Xfi

будет

собственной

функцией

оператора

Т'\р)к,

ф,

а

(х — собственным

значением.

"0

-

1

"

Положим

"0

-

г

Если /

| [x]h

=

g,

то

,/v

0_

.РАГ

0

легко

проверить,

что

/

|[т']„

=

pWg(pz),

п

\W\h

=

p-Wg.

Предположим,

что яр — тривиальный

характер

и /

\lx]k

=

е/

при

е =

+ 1 . Тогда

(/ —

XfI)\[T,]H

не

является

собственной

функцией

оператора

T"(p)h,v,

если

не

и

выполнено

равенство

ср

=

=

phl2(i +

р~г),

которое

обычно

не

имеет

места. (По

крайней

мере

оно противоречит гипотезе Рамануджаиа; см. ниже.)

ЗАМЕЧАНИЕ 3.60. Пусть А (соответственно А^)

— кольцо,

порож­

денное всеми

Т'(п)к

(соответственно

Т'(п)к:^)

над

полем

С,

и

В

(соответственно

Бф) — подалгебра

в

А

(соответственно

в

^4Ф ),

порожденная

операторами

Т'(п)к

(соответственно

Т'(п)к,^

для

всех п, взаимно простых с N. Тогда А (соответственно В) можно

отождествить