книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

( I I )

Обратно,

предположим,

что

а = i d на

K{j Е ,

hsit)).

Тогда

j(E)

=

j{E)a

=

j{Ea),

так что существует изоморфизм б

кривой

Еа

в

кривую

Е. Согласно предложению

4.8,

существует

такой

элемент

и. группы Кх,

что

u.s_ 1 a

= а. Выбирая

б

подходя­

щим образом,

мы получаем

коммутативную диаграмму

С

> С/а

-±->Е

Согласно (4.5.4), hE(6f)

=

tiEa{f)

=

WE{tf

=

tiE(t). В

силу

(4.5.3)

существует

такой

элемент

£

поля

К,

что £а =

а и

6(£)б£с т =

t.

С другой стороны, б£а =

6(£(u)a )

=

6(H'(s_ 1 u)) =

£ (us - 1 u),

поэтому

t,{\i)

= £(£us_ 1 ii).

Полагая

£ u s _ 1

=

s',

видим,

что

s'a

=

а и s'u —

=

и;

следовательно, s'

£ W

и

s £

i P H 7 .

Поэтому сг =

i d

на

F .

Это

значит, что Fcz K(jЕ,

hsit)),

и

доказательство

закончено.

СЛЕДСТВИЕ 5.6. Пусть

Е — эллиптическая

кривая,

принадлежа­

щая классу %i. Тогда расширение

КаЪ

порождается

над

К

инва­

риантом j Е

и значениями h^t)

для

всех

точек

t конечного

порядка

на

Е.

подгруппы

W,

введенные в

теореме

5.5, берутся

для

всевозмож­

ных

и.

ТЕОРЕМА

5.7.

Пусть

о — порядок

поля

К

и а —

собственный

о-идеал. Тогда справедливы

следующие

утверждения:

(i) группа

Gal(K(j(a)/K)

изоморфна

группе

всех

классов

собст­

венных о-идеалов относительно

соответствия

а н-*• Ъ, при котором

Да)0

=

Я ь - М ;

=

QJ;

(и) щ д а ) ) :

к]

mm-

( i i i )

если

а ±,

. . .,

ап —

представители

классов

собственных

о-идеалов,

то

j(ai),

. . ., }{ап)

составляют

полное

множество

сопряженных

элементов

для

]'(а)

над

полем

Q и над

полем

К;

(iv)

если

о =

Ок и,

следовательно,

а — дробный

идеал

в

К,

то

K(j(a))

— максимальное

неразветвленное

абелево

расширение

поля

К

it

j(a)a

=

7( 0 - 1 а) для

а

= ^£i£Ml/^ j ;

где

j , —

произволь­

ный

дробный

идеал

поля

К.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Сохраняя

обозначения

теоремы

5.5,

положим и =

0

(или

вообще

не будем обращать иа u

внимания).

Тогда W =

П ° Р - В

силу

(5.4.2)

легко

видеть,

что

отображе-

X

р

ние

KA^si—*•

so

дает

изоморфизм

группы

K*AlK*W

на

группу

(1) для каждого целого

идеала с поля К

существует

такая

точка

t кривой

Е, что

а 6 Ок,

Q(a)t

= 0

<=>

а

£ с,

где

0 — нормализованный

изоморфизм

поля

К на кольцо EIICIQ (Е);

(2) для любой

такой

точки t поле K(jЕ,

с

/YE(£)) является

макси­

мальным

полем

классов

лучей по

модулю

над К,

определенным

в §

5.2.

Комплексное

умножение

эллиптических

кривых

может

послу­

Дойрииг

[2], И ] , Рамачаидра

[1]. Дальнейшие

ссылки можно

най­

ти в этих работах. В § С.8 мы обсудим другую

формулировку

ком­

плексного

умножения в терминах модулярных функций произ­

вольного

уровня.

§ 5.5.

Комплексное умножение абелевых

многообразий

высшей размерности

Кратко поясним, как обобщить результаты предыдущего пара­

графа на

многомерный случай. Мы

считаем,

что читатель

знаком

с абелевымп

многообразиями

(над

полем

комплексных

чисел).

А. Предварительные

сведения

из

алгебры

В этом параграфе

мы

будем

обозначать

через х р

число,

ком­

плексно сопряженное

к

х. Под

полем

алгебраических

чисел

мы

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.11.

Поле

алгебраических

чисел К

есть

СМ-поле

тогда

и

только

тогда,

когда

выполнены

следующие

условия:

(1) отображение

р индуцирует нетривиальный

автоморфизм

поля

К;

(2)

рт

= тр

для

каждого

изоморфизма

т

поля К

в поле

С.

при некоторых элементах 1р7- группы

G. Согласно

предложе­

нию 5.12, F является СМ-полем, так что в силу предложения 5.11

ограничение

отображения

р на F

принадлежит

центру группы

G.

В силу (5.5.2) имеем G =

S

\] Sp,

так что

G =

5 _ 1 U 5 _ 1 р ,

а

это

говорит о

том, что

[К*:

Q]

= [G : # * ]

=

2т,

и

пабор

{ipl

t . . .

• • - 1 ipm}

удовлетворяет

условию

(5.5.2).

Итак,

мы

получили

т

СМ-тип (К*,

Ф*),

где

Ф*

=

Y j i p i -

Мы

будем

называть (К*,

Ф*)

i = i

отражением

СМ-типа

(К,

Ф) 1 ) . Так как

S-1y =

S'1

для -у £ Н,

то

det Ф*(х)

6 К для

каждого

х £ К*.

Рассмотрим

группы иделей

К"х и Кх

полей К

и К*.

Отображение

det Ф*: К*х-+

К"

в группу

К_\. Для простоты положим

(5.5.3)

ф)

= det Ф*(х)

(х Е К%*).

Б. Лбс.гевы

многообразия

с многими

комплексными

умножениями:

(5.5.4)

0^L^CnXA-+0

при

некотором

голоморфном

отображении

Тогда

каждый эле­

мент

кольца

Endo_ (А)

соответствует

некоторому

С-лннейному

преобразованию

пространства

С". Таким

образом,

мы получаем

Q-лпнейный

изоморфизм Ф4 из

кольца

E n d Q (А) в

кольцо

М„(С),

при

котором

£ о ф (Я) =

X о £

для X £

E n d ( ^ ) .

Заметим, что

(5.5.5) Ф^А-)

отображает

QL

в

QL при любом

X 6

EndQ (v4).

Так

как R L

=

Сп , то легко показать,

что

(5.5.6) прямая

сумма представления

и комплексно

сопряженного

к нему

эквивалентна рациональному

представлению

кольца

E n d Q

{А)

(см. дополнение, п. 11).

!) В книге Шпмуры и Тапиямы [ 1 , § 8.3] пара (К*,

Ф*) названа двойствен­

ной по отношению к (К, Ф). Понятие отражения можно

ввести для любой пары

(К, Ф.) при произвольном поле алгебраических чисел К

и произвольном классе

(К,

Ф) изогенны.

Возьмем

теперь

какую-либо

поляризацию

% на А и рассмот­

рим

тропку

(^4, 'ё,

0).

Пусть

у

обозначает

инволюцию кольца

Endq ( А ) , определенную поляризацией % (см.

дополнение, п. 12).

Подчиним тройку

(А,

%, 0)

условию

(5.5.10)

В(К)У =

в(К).

0 (К) = Endq (А) (см. Шимура

и Таиияма

[ 1 , стр.

42,

предложе­

ние 6]). Можно показать, что еслп условие

(5.5.10)

выполнено, то

К является СМ-полем. так что

пара (К,

Ф)

является

СМ-типом.

Из условия

(5.5.10) следует, что

(5.5.11)

0(аР) = 6(o)v

для каждого

а 6

К.

(5.5.12)

Е (Ф {а)х, у)

=

Е{х,

Ф (о") у).

Положим

/(а)

= Е(и(а),

и(1))

для

а £ К.

Тогда

/

будет Q-линей-

ным отображением нз К

в Q, так что f(a)

=

ТГ^/Q (£а) при некото­

ром элементе

£ из К.

Имеем

Е(и(а),

и(Ь))

=

Е(и(а),

Ф(Ь)и(1))

=

=

Е{Ф(Ье)и{а), и(1)) =

Е{и{Ь'а),

и{1)),

откуда

(5.5.13)

Е(и(а),

и{Ъ))

= ТтК/ч (£аЬР)

(а

6 К,

Ъ 6 К).

Так как форма Е знакопеременная, то

(5.5.14)

£ р

-

— £.

Теперь можно показать, что

(5.5.15)

Е(z,

и>) =

п

£ " 4 ^

для

г6С71,

u;£С",

2

где zv

и

wv

— компоненты векторов z и w соответственно.

Дей­

ствительно,

(5.5.13) означает, что (5.5.15) верно

для z, w £ w(if) .

Так как

множество

и(К)

плотно

в

С",

то

(5.5.15)

верно для z, w £

б С".

Будучи

римановой

формой

положительного

невырожденного

дивизора, функция Е обладает тем свойством, что форма

E(z,Y—iw)

симметрична

и положительно

определена.

Это

имеет

место

тогда

§ 5.5. КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ

АБЕЛЕВЫХ

МНОГООБРАЗИЙ

167

и только

тогда, когда

(5.5.16)

1 ш ( ^ )

> 0

для

v

=

1, . . .,

п.

Итак, из

данной тройки

(А,

%,

0)

мы

получили СМ-тип (К,

Ф),

некоторую Z-решетку а

в К и некоторый элемент

£ поля К,

удов­

летворяющий соотношениям (5.5.14) и (5.5.16).

Обратно, по этим

данным можно построить тройку

(A,

%, 0).

В самом деле, пусть (К,

Ф) — некоторый СМ-тип,

а а

есть Z-ре­

шетка в К. Определим и с помощью (5.5.8)

и построим

комплекс­

ный тор

/1 = C n / L

так,

чтобы диаграмма

(5.5.9)

была

коммута­

тивной.

Определим 0(a)

для а 6 К равенством 0(a) о £ =

|

о ф ( а ) .

изоморфизма

тройки

(А,

'ё,

0)

полностью

определяется набором

(К,

Ф;

а, £). Говорят,

что

такая тройка

(А,

0)

имеет

тип

(К,

Ф; а, £) (относительно

£).

Заметим, что пара

(а, £)

зависит от

выбора отображения

Е. из

(5.5.9).

В.

Основная

теорема

Пусть тройка (А,

'ё, 0)

будет той же, что и выше, и а g Aut(C) .

Тогда

Сст естественным

образом

определяется

как

поляризация

на

А°.

Определим

отображение

Qa: КEndq(Aa)

равенством

0° (а) — 0(a)0

для

a 6 К,

0(a) 6 End(^4).

По

определению,

если

(А,

0) имеет тип (К,

{cpv }), то можно найти п таких линейно неза­

висимых голоморфпых дифференциальных

форм

со j ,

. . ., со„ сте­

пени 1 на А,

что

covo

0(a) =

a4 ^ cov

(a £ К,

0(a) £ ЕпсЦЛ),

v

=

1,

. . .,

п).

Далее,

со"°°

9а ('а)

=

аф ^а

со",

так

что

щающей теорему

5.4.

ТЕОРЕМА 5.15. Пусть

(К, Ф) — некоторый СМ-тип,

{К*,

Ф*) —

отражение пары

(К,

Ф), a — некоторая Z-решетка

в К

и £ —

элемент из К,

удовлетворяющий

соотношениям

(5.5.14)

и (5.5.16).

Пусть

(А,

%,

0) — тройка

типа

(К,

Ф; а , £),

и — отображение,

определенное

равенством

(5.5.8),

| —

такое

отображение,

что

диаграмма

(5.5.9)

коммутативна,

и

£ соответствует

поляризации

%

относительно

|.

Наконец,

пусть

а — произвольный

элемент

группы

A u t ( C / / f * )

us

— иделъ

из

К*£, для которого

а =

[s,

К*]

на

Каь-

Определим

отображение

г\ равенством

(5.5.3).

Тогда

суще­

ствует

точная

последовательность

0-+- ufote)-1 а)-»-

С"

Аа-+

0,

обладающая

следующими

свойствами:

(i) тройка (А°, %а, 0а ) имеет

тип

[К,

Ф;

r j ( s ) - 1 a ,

£')

относи­

тельно

£ ',

где

£' =

j\T(il(s))£

(по

поводу символа il(s)

см.

§

5.2);

(ii)

%(и(а))а

=

g'(u(ii(s)- 1 a)) для всея

a 6

# / a .

Доказательство

при несколько

более общей постановке

вопроса

(5.5.18) автоморфизм а поля С

тождествен

на

к

тогда

и только

тогда,

когда существует

такой

изоморфизм

X

многообразия

А в

многообразие Аа,

что

ХС&) =

%а,

Xtt =

t°

для i =

отображение

X

называется

изоморфизмом

объекта

(А,

0;

t u

. . .,

tT)

в

объект

(Аа,

%а,

0°;

tf,

. . .,

Щ).}

Назовем к

полем

модулей

объекта

(А,

%,

0, tt,

. . .,

tT).

(По по­

воду доказательства существования поля к см. работы

автора [ 4 ] г

[7,

I I ] . ) С помощью

этого понятия из теоремы

5.15 легко вывести

СЛЕДСТВИЕ

5.16.

Сохраняя

обозначения

и

предположения

теоре­

мы

5.14,

предположим,

что vit

. . .,

vr — элементы

фактора

К/а.

и Т — множество

всех

иделей

s из К^*,

для

которых

qqPN(il(s))

=

1,

дф)

а

=

a,

qr\{s)Vi

=

vt

(i

=

1,

. . .,

г)

при

некотором

q £ К".

Тогда

поле

модулей

объекта

(А,

'ё, 0;

^(u(vi)),

. . .,

|(u(yr ))) является

подполем

в К%ъ,

соответствующим

подгруппе

Т группы

К*д.