книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

В

силу формулы

(2.2.3)

это равно

оо

оо

оо

— л2 /3 + 8л2 2

2 „ . e 2 n i m n z _ 4 n 2 2

п-е2*™-

7)1=1 71=1

71=1

со

— 4я2

2

2 ?г-[е2 я "г <1 '+т г ) + е 2 л " г ( - ' и + т г ) ] .

Поэтому,

полагая

7П=1 71=1

целых

г

и

s,

а

также

и —- (rojj - j - saiz)/N

при

^ =

е 2я;/лг)

3 = е 2 л ; г

и

gN

=

e2niz/N^

получаем

(6.2.1)

(co2 /2n)2 g>((rcuH-sco2 )/iV;

со4,

со2)

=

со

=

- ( 1 / 1 2 ) +

2 2

nqn/(l-qn)-

со

- № ( 1 -Ж > 2 - 2

+ Г

• г ^ г

( 0 < r < ; V ,

(г, s)$7VZ2 ).

Вместе

с

результатами

§ 2.2 это показывает,

что

коэффициенты

Фурье

функции / а

принадлежат полю

kN

для

каждого а £

N~XZ2,

а (jj Z3 .

Пусть

X

(соответственно

X ' )

— поле всех

модулярных

функций

уровня

N,

коэффициенты

Фурье

которых

относительно

qN

принадлежат

полю

Q

(соответственно

kN). Тогда

X

(соответ­

ственно X ' ) и С являются линейно разделенными полями над Q

(соответственно над kN).

Действительно,

пусть

р 4 ,

. . .,

р т —

элементы поля С, липейио независимые над Q. Предположим, что

771

= 2 СыЧм

2 V-iSi

=

0 при

gi

из

поля X . Пусть

gt

при с ы

6 Q.

1 = 1

71

Тогда 2

М^гп =

0 для

каждого

п, так что с ( П

=

0 для всех

i и 7г;

г

следовательно,

g\ — . . .

= g m

= 0. Те же соображения

приме­

нимы к X ' и kN.

Так как %Ncz

X' cz

C$N,

из линейной разделен­

ное™ следует, что ?jN

=

X ' .

Чтобы

доказать

утверждение (2),

положим

Y

=

Q0'(z),

]{Nz),

/ 0 i (z)) . Из

приведенной

выше формулы

(6.2.1)

видно,

что

fai

£ X ,

так что У с : X . В силу уже доказанного

утверждения

(3), а также

в силу

утверждения

(3)

теоремы 6.6 очевидно, что только

относи­

тельно единичного элемента группы

Gal^jf jy/QO')) могут быть инва­

риантными элементы

из

Y(t,);

следовательно,

%N

=

Y(t,).

Итак,

Y

cz X

cz

Y(Q.

Из линейной разделенности полей X

и

Q(£) над Q

мы получаем равенство

Y

= X . Доказательство закончено.

§ 6.3. Одно обобщение теории Галуа

Пусть к — поле и К — его произвольное расширение. Сделаем

§ 6.3. ОДНО ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ ГАЛУА

181

применяться к полю всех модулярных

функций,

рациональных

над циклотомическими полями, т. е. к композиту полей % N по всем

N.

В этом же параграфе

для простоты мы фиксируем поля к и К

и полагаем 21 =

АмЦК/к).

Для произвольного подполя F поля К,

содержащего

к,

мы полагаем

9 (F) =

АЩК/F)

=

{ст 6 21 | х° =

х для

всех х 6 F ) ,

и для каждой подгруппы S группы 21

f (S)

= {х

6 К

| ха = х для

всех а

6

S}.

Мы

можем превратить

21 в хаусдорфову

топологическую группу,

группы вида

{о 6 21 \х°

=

хи . . .,

х° = хп},

где {xt,

. . .,

хп} —

произвольное

множество

элементов

из К.

Отметим,

что

тополо­

гия группы

A u i ( K / F )

=

g ( F ) совпадает

с топологией,

которую

ние — основное и хорошо

известное.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6 . 1 0 . Если

К

— (конечное

или бесконечное)

расши­

рение

Галуа

поля

к,

то

группа

компактна,

Q (f (S))

=

S

для

каждой

замкнутой

подгруппы

S группы

21 и f (й (F))

=

F для

каж­

дого

подполя

F поля

К, содержащего

к. (В

этом

случае, конечно,

21 =

G&l(K/k).)

В более общей ситуации мы имеем

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6 . 1 1 . Пусть

2

— множество

всех

компактных

подгрупп

группы ЧЦ и Ф — множество

всех

подполей

поля

К,

содер­

жащих

к,

над которыми

К

является

(конечным

или

бесконечным)

расширением

Галуа.

Тогда

g(f(iS))

=

S

и

f (S)

£ Ф

для

каждого

5 е 2

х ) ,

а

также f(g(.F)) =

F

и

Q(F)

6 2

для

каждого

F

£

Ф.

Таким

образом,

существует

взаимно

однозначное

соответствие

между

51 и Ф.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Тот

факт,

что f (Q(F))

=

F и

Q(F)

6

6 2

для

каждого

F £ Ф,

следует

непосредственно

из

предложе­

ния

6 . 1 0 .

Для доказательства

остальных утверждений

рассмотрим

S € 2

и

а £ К.

Очевидно,

S =

U

{°" 6 S \ аа =

Ь}.

Так

как

Ъ£К

группа S компактна, она покрывается конечным числом множеств

вида {а

6 S

\ аа — Ь]. Отсюда следует,

что

множество

{а°

\ а 6 S}

конечно,

скажем

{а4 ,

. . .,

ап}.

Но

тогда

коэффициенты

много-

члена

п

(X

— at)

лежат

в

поле

f (5). Это

означает, что

каждый

[ J

г = 1

алгебраичен над f (S)

и неприводимое

уравнение

элемент а поля К

г ) О том, что каждая компактная подгруппа S соответствует некоторому

элементу

множества

Ф, упоминается в работе N .

J a c o b s o n ,

Lectures

i n

abstract

algebra, V o l . I l l (1964),

p . 151,

ex.

5.

См. также Пятецкий-Шаппро

замкнутую

подгруппу группы

g(f(S))

=

Gal(A7f(5)).

Применяя

предложение 6.10 к S, мы получаем, что S =

g (f(5)).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6.12. Сохраняя

обозначения

из предложения

6.11,

введем

символ

2 '

для множества

всех

открытых

компактных

под­

групп

группы

21

и

символ

Ф'

для

подмножества

множества

Ф,

состоящего

из

всех

полей F

£ Ф,

конечно

порожденных

над

f (21).

Предположим,

что множество

Ф'

непусто.

Тогда

группа

21

локаль­

но компактна

и взаимно однозначное

соответствие

между

множе­

ствами

2

и

Ф

индуцирует

взаимно

однозначное

соответствие

между 2 ' и Ф'.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

к0

=

f (21). Предположим,

тов Xi, .

.

.,

хп над А;0.

Тогда

g(v¥)

=

{о

е

21

I *?

=

хи

. . .,

4

= хп}-

Поэтому

группа

Q(M)

открыта и, следовательно-,

g (М)

£

2 ' .

Отсюда получается, что группа 21 локально

компактна. Обратно,

пусть

S

£

2 '

и

F

=

f (S).

Тогда

Q(MF) =

g (М)

П в ( Л .

а

эта

группа

открыта

и

компактна,

в

силу

чего

[MF:

М]

=

=

t

:

g (MF)]

< о о . Следовательно,

MF 6 Ф',

и

77 £ Ф'.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6.13. Пусть

S — подгруппа

группы

21, F

=

f(5)

и ^ — алгебраическое

замыкание

поля F

в

К.

Тогда

F{

является

расширением

Галуа

поля

F. Если,

кроме

того,

$(F)

=

S,

то g (У^)

является

нормальным

делителем

в S и факторгруппа

S/Q (Ft)

как

абстрактная

группа

канонически

изоморфна

некоторой

всюду

плотной

подгруппе

группы

Qa\(FJF).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

и £ Fit

то

очевидно,

что

{иа

1 а

6 S)

— конечное

множество,

скажем

[ии

. . .,

ип}.

Тогда

многочлен

п

(X

— ut)

имеет

коэффициенты из F,

так

что

Ft

—

[J

i=l

расширение

Галуа

поля F.

Если g (F)

=

S,

то g (Ft)

cr

S и Ff

=

=

Fx

для

каждого

о

£ S ;

следовательно,

g (Ft)

=

g (F°)

=

=

a _ 1 g

(FJCT

для

каждого

a E 5.

Группа

5/g (Ft)

теперь

может

пой в G a l ^iAF) . Так как F — неподвижное подполе в Fx

для этой

подгруппы, мы получаем последнее утверждение.

Предложение 6.14. Если

f(g (F)) = F для некоторого

подполя

F поля К, содержащего 1с, то f (g (М)) =

М для каждого

конечного

алгебраического расширения

М поля Е,

содержащегося

в

К.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

S = Q(F) И

Т

= д(М).

Пусть Fi — алгебраическое

замыкание поля F в поле К.

Рассмат-

§ 6.4. АДЕЛИЗАЦИЯ ГРУППЫ GL.

183

рпвая

ограничение элементов

группы S па М, мы

находим, что

[S : Т]

^ [М : F]. Если f (S) =

F, то пз предложения

6.13 следует,

из некоторого элемента группы S. Поэтому [S

: Т] = [М:

F].

Пусть

S =

U

Та — разделенное

объединение.

Очевидно,

что

для каждого v £ f (Т)

многочлен

Q

(X — va) имеет

коэффициенты

в F;

СЕД

конечного

рас­

следовательно, f (Т) cz Fy. Далее, для каждого

ширения М'

поля М,

содержащегося в f (Г), имеет место

равенство

${М')

=

Т.

Беря М'

вместо М,

мы получаем

[S : Т] =

Ш'

: F],

так

что

М

= М'.

Но

это означает,

что М =

f (Т).

Предложение

Gp

=

G L 2 ( Q P )

{р — рациональное простое

число),

G а> =

G L 2 ( R ) ,

>

0}.

Gcc+

=

{z

£ с?»

I del(x)

Тогда

группа

GA

по определению состоит из всех таких

элементов

х = (...,

хр,

. . .,

а;со)

прямого

произведения

\\GP

X

Geo,

что

v

Хр £ G L 2 ( Z P )

для

всех,

кроме

конечного

числа,

простых

чисел р.

Группа GA

может быть отождествлена с группой

G L 2 ( ^ t ) . Положим

U = I l G L 2 ( Z p ) х

v

Тогда

U — подгруппа в GA

, локально

компактная

относительно

обычной топологии произведения. Мы вводим

на GA

топологию,

относительно

которой

U является

открытой

подгруппой

в

GA-

Положим

GQ =

G L 2 ( Q )

и

рассмотрим эту

группу

как

под­

группу

в

GA

относительно

диагонального

вложения

a i->

*-»- (а,

а,

а, .

. .) £ GA.

Обозначим

через G0 недрхимедову

часть

группы

GA,

т. е. множество

всех

элементов из GA,

оо-компонента

которых равна 1. Положим

GA+

=

GoG со+,

GQ+ =

G Q

П GA+ =

{a

e GL 2 (Q) |det(a) >

0} .

Заметим,

что

отображение

x

det(x)

определяет

непрерывный

гомоморфизм группы GA в

группу

Q l . Определим

гомоморфизм

(6.4.1)

и: GA^

G a l ( Q a b / Q )

J ) П о

поводу

общей теории

аделизации

алгебраических

групп

сы.

184

ГЛ 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

равенством о(х)

=

[del(;r)"\ Q], где х

£ G A . (По поводу символа

Is, Q]

при s £

см. § 5.2.) Заметим, что а{х) = 1, если х 6

Для произвольного целого положительного числа

N положим

(6.4.2)

UN

=

{х

=

(хр)

е U \хр == 1 mod v V - M 2 ( Z p ) } .

Очевидно, U =

U{

и

UN

— открытая

подгруппа в

G A . Отметим

также, что

(6.4.3)

каждая

открытая

подгруппа в G A содержит

UN

при неко­

тором

N.

(6.4.4)

k(S) =

kixSx'1)

для каждого x 6 G A ,

(6.4.5)

S cz T

kT a

ks.

Пусть j

— некоторая

Z-решетка в

Q2 . Мы можем

определить

действие элемента группы GA на факторе Q 2 /j точно

так же, как

в § 5.2. Именно обозначим

через

j p замыкание решетки j

в про­

странстве

Qp и отождествим Q 2 / j с прямой суммой модулей

Q J / j p

по всем р.

Для каждого

с =

(ср)

£ GA определим jc

как Z-решет-

ку в Q2 , характеризуемую равенством

(j:c)p = $ р с р .

Тогда

правое

умножение

на с р

определяет

пекоторый

изоморфизм

пространства

Qp/jp иа Qp/5P cp и, значит,

изоморфизм из Q2 /g в

OJVjc.

Будем

обозначать через wc образ элемента из Q 2 / j при этом

изоморфизме.

Такая ситуация описывается

коммутативной диаграммой

ср

|

Qp/Sp

>• Q2 /sP cp

I

е

I

Q2 /s

— ^ — > Q2 /sc

где вертикальные

стрелки

обозначают

канонические

вложения.

В частности, каждый элемент группы U определяет

некоторый

автоморфизм группы Q2 /Z2 . Заметим также, что

(6.4.6)

U =

{с £ G A

+

| Z2 c =

Z 2 } .

Докажем теперь несколько

полезных лемм. Положим

SL2(A)

=

{ж 6 С л

I det(a:)

= 1}.

ЛЕММА

6.15. Для каждой

открытой

подгруппы

S группы GA

SL2(A)

= S L 2 ( Q ) . ( 5

П SL2(A))

= (5

П SL 2 (JL)) - SL 2 (Q) .

§

6.4. АДЕЛИЗАЦИЯ

ГРУППЫ GL.

185

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Это простейший

случай

«сильной

аппроксимациониой

теоремы»

для полупростых

алгебраических

групп. В нашем случае это просто переформулировка

леммы 1.38.

Пусть

g =

Z 2 и с £ GA-

Тогда

можно

найти

такой

элемент а

группы

GQ, ЧТО ;СС =

у.а. Согласно

(6.4.6), а с - 1

6 UG«, (это дока­

зывает

равенство

GA

=

U-GQ).

ЕСЛИ

С £ S L 2 ( J L ) , то

det (а) 6

6 det(£/Gco)

П Q* =

{ ± 1 } - Выберем

такой элемент е пз GQ, чтобы

{ 6 = j

и

det(e)

=

det (а).

Тогда

£с -- ;сесс, так

что

элемент

с - ( е а ) - 1

принадлежит

пересечению

U f| SL2 (JL).

Этим

доказано

равенство

(6.4.7)

S L 2 ( A )

=

(С/ П SL 2 (JL)) - SL 2 (Q) .

(6.4.8)

U П SL2 (.4)c=

П

S L 2 ( A ) ) - S L 2 ( Z ) .

Пусть

v £ U П S L 2 ( J L ) . Можно

найти

такой

элемент

6 алгебры

M 2 ( Z ) ,

что р == У р mod 7V-M2 (ZP )

для

всех

р. Тогда

det(B) =

пы SL 2 (Z), что у = В mod(iV). Тогда vy-1

£ Cfry П SL2 (JL), откуда

получается (6.4.8). Доказательство закончено.

ЛЕММА 6.16. Ограничение

отображения

а на GA+ сюръективно-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как GA =

G^+GQ, ТО а^ц - ) =

(ii)

5GQ+ Z / = { X 6 GA+ I o"(a;) = а(г/) на ks}

для у £ G^+;

>гро-

изведение

SGQ+У можно брать

в любом порядке следования

S,

GQ+, у.

Д о к а з а т е л ь с т в о ,

(i) В силу

определения

поля

ks

имеем a(s) =

i d на ks

для s 6 S. Поэтому достаточно показать, что>

если а(х)

=

i d иа

k s

для х £ GA+, ТО Х £ £ GQ+ П а; £ GQ+S.

а

Одна­

ко

из

предположений

следует, что det(a:) £ Q*-det(S),

потому

det(x)

=

det(a)det(s)

для некоторого

а £ GQ я

некоторого

s £ S.

Тогда

det(a) > 0 и det(a"1 a;s~1 ) = 1. В силу леммы 6.15 а - 1

^ -

1 =

=

fit

при р £ S L 2 ( Q )

и t 6 S;

следовательно,

х = af>-ts £ GQ+S,.

и

аналогично х £

SGQ*.

(ii)

Это всего

лишь

очевидное

обобщение

утверждения

(i) .

В

самом деле, из (i) мы получаем

SGQ+У

=

ySGq+

= GQ+Sy

=

yGq*S

=

=

{х 6

| а(ж) =

а(г/) ка & s } .

§ 6 . 5 . ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ U НА ПОЛЕ

187

(1)

последовательность

1->-

{ ± 1 } —

>

-

U

G a

l

(fy/?fi) - > "

1

точка;

(2)

х(ц)

=

а(и)

на

Q a b ;

(3)

feT(T>

=

ho у для всех

h 6 g' it SL 2 (Z) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для каждого

и £

17

и

каждого

Л

существует

такой

элемент

а

пересечения

M 2 ( Z ) fl

GQ+, Ч

Т О

=

=

a mod 7 V - M 2 ( Z P )

для

всех

р.

Тогда

аи

=

аа

для

каждого

а 6

6 N~lZ2/Z2.

Поэтому

в

силу

теоремы

6.6

отображение

/ а - » - / а 1 1

определяет

некоторый элемент группы G a l ^ ^ / g ^ ) , . а потому и эле­

мент

из

G a l ^ / j j i ) -

Обозначим этот

элемент

через

т(и).

В

силу

утверждения (2) теоремы 6.6 ограничение отображения

х (и)

на

поле % N определяет точную последовательность

(6.5.1)

{±1}-UN^

U+G&mM-*-!.

Поэтому

Кег(т) =

со

{ ±

1 } - U N

— { +

1}-Goo+;

отображение

т

|"|

№=1

является непрерывным гомоморфизмом группы U в

группу

Gal(g/g-4 ); кроме того, множество

%{U) плотно

в Gal(g/gj) . Так

как

фактор

U/C оо+

компактен,

мы получаем

утверждение

(1).

Чтобы убедиться в справедливости утверждения (2), возьмем и

и а, как выше. Определим два элемента с и с' группы

равен­

ствами

Г det (ос)

для

р | N,

С

р ~ \

1

для

р t N

или р — оо

и условием сс' = det(cs). Тогда

в

силу

утверждения

[(3) теоре­

мы 6.6

получаем

т

М =

( - ! т н " ) =

[ с ' ' Qi = [ d e t ( a ) " l c ' ' Q] = [ c _ 1 ' Qi =

=

[det ( u ) - 1 ,

Q] = о (и)

на

kN,

так что т(ы)

= о(и)

на kN

для каждого N;

следовательно,

справед­

ливо утверждение

(2).

Если

и — у

6 SL 2 (Z),

то

элемент

у

можно выбрать

так,

как

выше

выбиралось

а,

и тогда /а ( и )

=

fay

=

fa

° У

в

соответствии

с формулой (6.1.3); таким образом, утверждение (3) доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.22.

(1)

Для

каждого

а

6 Gq+ и

для

каждого

h € 2f

функция

h о сс

принадлежит

полю

%.

(2)

Если

а

6 GQ+,

В £ GQ+,

и £ U,

V £ U

и

аи

=

УЙ,

/ПО

(;' о а)т (и >

=

/

о 6

и

(fa

о а)т<и>

=

fav

о В

Зля

каждого

а 6

6

Q'7Z2 ,

а ф

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть f j ' — поле, порожденное

над

Q функциями h о а для

всех

/г 6 3 И

В С Е

Х

а

£ GQ+- В силу

леммы

6.5 существует такая точка z0

полуплоскости

ig,

что

отобра­

жение

g

I—>- ^(z0 )

определяет

изоморфизм

поля^'

на подполе

=

ные элементы а и р вместо самих элементов а и 6,

мы можем счи­

тать, что

преобразования

а - 1

и

Р - 1

принадлежат

алгебре

M 2 ( Z ) .

Для

каждой

точки

z £

<g

положим

L(z) =

Zz - j - Z .

Определим

число с и кривую Е

равенствами

Е: у2 = 4а:3 —

сх

— с,

с/(с

— 27)

=

j(z0).

Теперь возьмем

произвольный изоморфизм

£ тора

C/L(z0 ) на кри­

вую Е и положим

1

(а

6 Q2 /Z2 ).

В силу леммы 6.4

/ a (z 0 )

=

ЛЬ (2(a))- Чтобы упростить

обозначения,

положим

a =

a 4 ,

р =

а 2

и

Wi =

аг (г0 )

для

i = 1, 2.

Тогда

суще­

ствует такое число

ja, £ С

х

,

что

1

_ 1 . LI; =

СЦ1 .

1

_

( » = 1 , 2 ) ,

и

умножение

на

иг

определяет

некоторую

изогенпю

из

C/L(z0 )

в

C!L(iVi).

Определим

сг

и

i =

1, 2,

равенствами

E i ' .

у2

=

4а;3

— с,-ж — сг ,

С;/(с; — 27) =

/(«>i).

Пусть 11; — изоморфизм тора

C.'L(Wi)

иа кривую Е{;

положим

si (a) =r\i

a

1

( a 6 Q 2 / Z 2 ;

i =

l , 2).

Тогда существует изогения Xt кривой Е на кривую

Eh

при

кото­

рой диаграмма

C./L

(z0)

-»

Е

д.

I

I

коммутативна.

-> C/L (и;»)

-

в ,

Далее,

'

z0

"

U(t(a))=h

(£

l a

~z0 ~ \\

(

1

.

1

.

1 .

= s i (aa i 1 )

для

каждого

a £

Q 2 /Z 2 . Поэтому

Кег(л-г) =

<(Z2 a; /Z2 ).

Рассмотрим

теперь автоморфизм а поля Q(/i(z0 )

| h £ 3 )

над полем

Q(c), для

которого

fa(zo)a

= /a u(z0 )

при

всех

а 6 Q 2 /Z 2 ,

а Ф

0

(он

соответ-