книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

240

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

характеристический

многочлен.

Пусть As,

f, А, К

и 0 те же, что в теореме 7.14, 4SS —

канониче­

ская

поляризация

многообразия

^4В

и

* — инволюция кольца

Endo_(.<4s ) , определенная поляризацией % s .

Рассмотрим

А8

как ком­

плексный тор C8/L и выберем риманову

форму Es на

пространстве

С8,

соответствующую

дивизору поляризации

Пространство

можно отождествить с пространством 5 2 (Г') . Согласно

свойствам (6)

и (9)

из

предложения

7.2,

' Z s s

( a )

= Z s s

( a _ 1 )

= Z s s ( a ^ )

для каж­

дого a £ А',

так что

Es

( [ Г а Г ] * х,

у) = Еа

(х,

[ Г ' а Т ' ] 2

у) ((х,

у)\£ С* X С*).

(7.6.11)

Е (9(а,)ж,

у) =

Е(х,

Q(aP)y).

Пусть Y— дивизор

на многообразии

А,

соответствующий

форме

Е,

и

ф у — изо гения

из многообразия

А

в

его многообразие

Пикара,

ассоциированное

с

Y. Тогда

из

(7.6.11) следует,

что 1 0 ( а ( ? ) ф у

=

=

фу 0(аР). Изменяя

Y в его классе алгебраической

эквивалентпостп,

ТЕОРЕМА

7.24.

Пусть /, А,

К

и

Q^me же,

что в теореме

7.14.

Предположим,

что

Г' = Ta(N)

и

утверждение

(7.5.9) справедливо.

Тогда функция £(s; 4./Q, К) совпадает

с L(s, f) с точностью до

конеч­

ного числа эйлеровых

множителей.

242

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

ПРИМЕР

7.26.

Рассмотрим

группу

Г0

(N)

для

N=23,

29,

3 1 .

Тогда

род

кривой

Vs ( = Г0

(N) \ <§*)

равен

2.

Было

показано

(Дой

[1]),

что

многообразие

As

просто

и

кольцо

E n d Q

(As)

изо­

морфно полю Q (1^5), Q (1^2) или Q (1/5)

соответственно,

а

кольцо

End (As)

изоморфно

максимальному порядку

этих

полей. Поэтому,

взяв

эти

поля

в

качестве

поля

К,

положим

A—As.

Существует

со

такой

элемент

/ (z) =

У] апегпЫг

пространства S2(T0(N)),

что

f\T'

{n)2

— a , J

для всех п, где ап

взято из К. Тогда из

теоремы

7.23

следует,

что

функция

£ (s; AslQ,

К) — это

по

существу

L (s, /) —

со

=

2 ann~s

(если /

используется

для

определения

0: К -»- E n d 0

(Л)),

71=1

со

а

С (s; 4 S /Q) —

это

по

существу

L (s, /) L (s, / а ) , где / а

(z) =

2

а^е2 ^"*

и

о — образующая группы

Gal (ЛГ/Q).

п=1

ЗАМЕЧАНИЕ

7.27.

(А)

В

формулировке

теоремы

7.25

имеется

в

виду,

что

L

(s, f) L (s, / р )

=

[J

(1 -

арр-Г1

(1 - аРр-Г1

X

P\N

1

X

П

(1 - а р р - *

+ гр (р) pi - ») - i

(1 - я Р р -

+

ф (р)

pi - ») - i .

PliV

Положим

i?(s)

=

Afs (2n)_ 2 i T(s)2 L(s, /)L(s, / р ) . Согласно

теореме

3.66,

R(s)

=

Л(2 — s).

Если

iV — простое

число,

то

к =

Q ( j / A 0

к

N ==

Q([/"АО,

а

(1 — a J y/V' _ s ) _ 1 (l

— a^N'3)'1

— эйлеров

множитель

£(*•; А'Ik,

К')

для

(УIf).

Это

означает,

что

£(s;

A'Ik,

К')

=

=

L(s, /) L(s, /р)

без

ограничений,

связанных

с плохими

простыми

числами. К

этому вопросу мы еще вернемся в конце параграфа.

(Б) Якобиево многообразие As

кривой Vs часто имеет точки конеч­

ного порядка, рациональные

над

Q

и

получаемые следующим обра­

зом. Для простоты предположим, что

S =

Q" - tf\

U' =

{. * ^

eU\c

= 0

mod(iV)J

и,

следовательно, Г 3

=

Q* •Г0(ЛГ).

Пусть

\р — характер

порядка

г

группы

(ZA/VZ)*,

для

которого

ap(—1) =

1, и

? — подгруппа

груп­

пы

д",

соответствующая очевидным,

образом

ядру

характера гр.

§ 7.6. l-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

243

Положим

[Га Ь~]

}

rr==QX,|

"А

егоwn>(«) = i } .

и ут

— циклическое накрытие кривой Vs

порядка

г; каждый

эле­

мент

группы Gs\(VT/Vs)

как

бирациопальный

автоморфизм кривой

У т определен над Q. Предположим,

что

(7.6.16) кривая

VT

неразветпвлена над

Vs.

Положим F =

Q(e2 n i /r ).

Пусть Р — проектирование из VT

на Vs.

Тогда поле функций F(VT)

порождается над F(VS)

° Р таким элемен­

том

h, что hr £ F(VS)

о Р и h о X = e2ni'rh,

где X — образующая груп­

пы G a l ( y T / F s ) . (По поводу символа

F(VS)

см. дополнение

4.)

Пусть

d i v T

(соответственно d i v s ) — дивизор

функции

на

кривой

VT

(соответственно на Vs).

Тогда

P(divT(h))

=

га

при

некотором

дивизоре а на кривой

Vs,

рациональном над F;

таким образом, диви­

зор

га линейно

эквивалентен

0. Для

каждого

0"£Gal(.F/Q)

имеем

(/г°)г

£ F(VS) ° Р,

так

что

/гст = fh при некотором

элементе

/

поля

F(VS)°P.

Очевидно, что дивизор а0 линейно эквивалентен дивизору а.

Поэтому,

если

t

— точка

многообразия , 4 S , соответствующая

клас­

су дивизоров дивизора а, то t рациональна над Q и rt

= 0. Если ct =

— 0

для

некоторого

целого

положительного

с <

г,

то са =

d i v s ( g )

при

g 6 F(VS);

следовательно,

P(divT{hc))

= r-divs(g).

Отсюда

d i v T ( / i c ) =

d i v r

( ^ о P), так что hz 6 F{VS)

° P;

мы

пришли к

проти­

(7.6.17) якобиан

As кривой Vs имеет точку порядка г,

рациональную

над Q, если выполнено условие (7.6.16).

Выполнение

условия (7.6.16) в каждом отдельном

случае легко

элементов группы T0(N)

содержатся

в

Г г .

Например, кривая

VT

неразветвлена

над

Vs

в

параболических

точках, если число

N

сво­

бодно от квадратов.

Пусть, например,

N =

23, 29, 31 . В

силу (7.6.17)

можно

найти

точку t на As

порядка

г

=

11, 7, 5 соответственно,

рациональную

над Q.

Пусть

К = Q ( j / 5 ) ,

Q ( ] / 2 ) ,

Q ( K 5 ) , как это

было в

приме-

оо

ре 7.26,

и /(z)

=

2

апе2лШ,

где а^ =

1 , — общая собственная

функ-

ция для всех операторов

Т'(п)2 на пространстве S2(T0(N)).

Определим,

изоморфизм 0 поля К на кольцо E n d Q (As)

относительно функции /,,

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ

245

К — поле,

порожденное числами ап

над полем

Q для

всех п;

р — комплексное

сопряжение;

К' =

{х

е

К

| ХР = яг}.

Мы уже показали, что поле К'

вполне вещественное,

а поле К

чисто

мнимое. Далее,

(7.7.1)

«Р = i\y{n)an,

если п

взаимно

просто

с

N.

В теореме 7.14 было получено абелево многообразие А и некото­

рый изоморфизм

9 поля К в кольцо E n d o ^ ) ;

многообразие А и пре­

образования

0(a)

для

всех

а £ К

рациональны над

полем

Q;

пара

(А, 0) характеризуется свойствами

(1) и (2) из теоремы

7.14. Далее,

многообразие

А

обладает

таким

автоморфизмом

р.,

рациональным

над полем к,

что

(7.7.2)

р 2

= 1,

p.0(a)

=

0(aP)u.

(a 6

К),

(7.7.3)

и* =

- р .

Положим

(7.7.4)

А

=

(l

+

ii)A.

Мы уже видели, что А'

— абелево подмногообразие в А,

рациональ­

ное над к, и

(7.7.5)

А=А'+

А'*,

А'*

=

(1 -

у)А.

Обозначим

через

0'(а)

ограничение

эндоморфизма

0(a)

на

А'

для

каждого a £ К'.

Тогда 0' — изоморфизм поля К' в кольцо

E n d q ^ ' ) .

Можно,

конечно,

определить

и изоморфизм

0'Е

поля

К'

в

кольцо

E n d Q ( ^ ' E ) ,

положив

0'Е (а) =

0'(а)Е .

Очевидно,

9'Е (а) •— ограниче­

ние эндоморфизма 9(a) на

А'Е.

Пусть р

— простое

рациональное число, не делящее N,

и

р —

простой

идеал поля к,

делящий р.

Как было

замечено

в §

7.5,

Будем

отмечать знаком ~

объекты, редуцированные

по модулю

р.

Пусть

Лр —

эндоморфизм

Фробениуса редукции

А

степени р,

а

Лр — элемент

кольца

Епй(А), для

которого прпр

= р.

Из (7.5.1)

вытекает,

что

(7.7.7)

пр

+

^(р)п* =

Ъ(ар).

246

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

ко,

изменяя многообразие А с помощью подходящей

изогеиии над

Q, мы можем принять условие

0(о) cz Епс1(Л). Действительно,

пусть

т — такое положительное целое число, что

Q(mo)cz

ЕжЦА). В силу

предложений 7 и 8 из книги Шимуры и Таниямы

[1, § 7.1] можно

найти такие абелево многообразие А у, изоморфизм

Qy поля К в коль­

цо

End-Q^i) и изогеиию X из А

в Л,, что (i) X-Q(a)

=

Qy(a)X для всех

а£К;

(И)

et (o)cz E n d ^ O ;

(iii) Ker(A,) = {t £ A

| Q(mo)t = 0};

(iv)

многообразие

Ay,

изогения X и эндоморфизм

01 (a) при любом

а 6 о рациональны

над Q. Заметим, что

автоморфизм

\х переводит

Кег(Я,)

на себя. Поэтому можно определить

автоморфизм \Ху многооб­

разия Ау, рациональный над к, положив

\ХуХ = Х\х. Заменим Л, 0, a

на

Ау,

0 Ь

ixу и последние также будем

обозначать

через А,

0, \х.

Это изменение не нарушит соотношений

(7.7.2) и (7.7.3). Вновь

опре­

деляя

А'

равенством

(7.7.4),

мы опять

получаем

утверждения

автоморфизм

\х многообразия

А

и параболическая форма f(z) =

со

= 2

a n e 2 l t i n z i

для которой

выполняются соотношения (7.7.2) —

п=1

и

(7.7.7)

0(o)cz E n d ( 4 ) ,

8'(о') cz E n d ( 4 ' ) .

(7.7.8)

&о = (х

6 0 I х Р = —х }-

Пусть

Ъ — идеал

кольца о,

порожденный

множеством Ь0 . Тогда

bcz Ь. Заметим, что ап 6 Ь0,

если \р(п) = —1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.28. Для

каждого

х £ Б0

имеет место

включение

-NK/Q{x)

е Nh/Q(kx).

Кроме

того, ЩЪ) 6

Nh/Q(kx).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

х £ 60 .

Тогда а г 1 ^ cz К'.

Пусть

п — дробный идеал поля К',

порожденный

над о' множеством х_ 1 Ьо-

Тогда

Б = хоп и,

следовательно,

N(b) =

NK/Q(x)N(n)2.

Поэтому

для доказательства предложения достаточно доказать, что — N K

/ Q ( X ) £

Выберем базис

{а>у, .

. ., соп} пространства 3)(А'), рациональный

над к. Тогда {со? ,

. . .,

со^} — базис пространства Э)(А'е). Согласно

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ

247

(7.7.5)

и (7.7.2), отображение

В(х)

переводит А'

в

Аг

и

Ае

в А'.

п

Положим

сйло0(л;) =

2

Ума1

(п =

1,

• • ч ?г)>

Г Д е

£//и —

элементы

i = i

поля к. Применяя автоморфизм е к этому соотношению,

получаем

<ah°B(x) =

2 Ultab

0 Т К У Д а

м л ° ®(х*)

=

2

УемУи®г

Далее,

пред-

i

г,

j

регулярному

ставление поля i f ' на пространстве 3)(А')

эквивалентно

представлению

поля

К'

над полем

Q. Таким образом,

-NK/Q(x)

=

NK./Q(x*)

= det(yhi)-det(yhi)E

6

Nm{k*),

что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ

7.28'.

Гекке [5, теорема 61] доказал, что aNat$

— N,

если N

— простое число. Поэтому

N

£

NKIK'(K*)-

Интересно

отме­

тить,

что

это — обращение

предложения

7.28.

(7.7.9)

идеал Ь взаимно прост с 2.

5 =

{t£A

| 0(b)* =

0} = АШ,

\) =

s П A',

j = 5 П

А'\

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.29. о'-модули

t)

и

j

изоморфны

модулю

о'/с

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

предложению

7.20, модуль

j

изоморфен модулю (b/Ь)2 . Заметим, что

модуль o/Ь изоморфен

моду­

лю

о'/с. Из определения идеала Ь следует, что модуль $ инвариантен

относительно автоморфизма

р. Поэтому

(1 + р)

j cz

t) и (1 —

p ) j cz

cr

j . Так как идеал

Ь взаимно прост с 2, то каждый элемент

t из £

можно записать

в виде t =

2s, где s £ j ,

так

что

£ =

(1 +

p)s

+

-(-

(1 —

p)s 6 t) +

J.

Если

и 6 t) П J .

то

2u =

0

и

u

= 0.

Этим

доказано равенство j

= t) ©

g. Продолжим

автоморфизм

e до

неко­

торого

автоморфизма

б поля

Q.

Тогда

б

определяет

некоторый

о'-изоморфизм модуля

I) в модуль g. Поэтому t) и g должны быть изо­

морфны модулю

о'/с.

Пусть F — поле,

порожденное над к координатами точек

из

5.

В

силу

предложения 7.29

можно

найти такой

элемент

s модуля t)

248

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

и такой элемент t модуля

j , что

(7.7.10)

t) =

6(о>,

J =

8(о')«.

Но

тогда F

=

k(s,

t). Мы получили расширение 77 поля к, описание

которого в терминах теории полей классов хотим отыскать.

ТЕОРЕМА

7.30.

Лоле F является абелевым расширением

поля

к,

не разветвленным в каждом простом

идеале поля к, не делящем

N(c)N.

Кроме

того,

если

т — целое

рациональное

положительное

число,

взаимно

простое

с

N(c)N,

и

а =

("^у)>

т

о

х°

=

т х

9ля каждого

х

б£ -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

предложению

7.23,

каждый

простой

идеал поля к,

взаимно

простой

с N(c)N,

не разветвлен в 7Л

Заметим,

что

отображение

a t—»• 9(a)s

определяет некоторый

изомор­

физм модуля

о7с

на

t). Пусть т 6 Gal(Q//c). В

силу

определения

модулей

I; и

j

отображение

т

переводит

t) и

§ на

себя. Поэтому

F — расширение Галуа поля к и

(7.7.11)

s* =

Q(gt)s,

I х =

Q(hx)t,

где элементы gx и hx кольца о'

взаимно

просты

с с. Легко

видеть,

что отображение т у—*• (gx,

hx)

определяет изоморфизм группы

Gal(F/k)

на

подгруппу

группы

(о'/с) х 2 ,

и,

следовательно,

поле

77

абелево

иад

к.

Пусть

р

— простое

рациональное

число,

не делящее

N(c)N,

р — простой

идеал

в к, делящий р, п

^

— простой

дивизор

поля

Q,

продолжающий

р. Пусть X или ЩХ)

— объект,

полученный

из объекта X редукцией по модулю

Далее, пусть лр

и Лр те же,

что в (7.7.7), и а

элемент Фробенпуса группы Gal(Q//i) относитель­

но 4$. Тогда а

=

(

н

а

F.

(I) Рассмотрим

сначала

случай

\\>(р)

=

— 1 , так

что iV(p) =

р2.

В

силу

(7.7.7) лр — р

= Я р ( л р

— лр)

=

лр-&(ар). Согласно

(7.7.1),

&Р 6 Ь0 ,

так

что

(лр

— р)х

=

0 для

всех

х 6sТак как лрх =

^{х°),

то ^(ха

— рх)

=

0 для всех х £ £. В силу предложения 13 из

книги

Шимуры

и Таииямы

[ 1 , § 11.1]

редукция

по

модулю

2(3 определяет

изоморфизм

модуля

j

на

3(5(5).

Поэтому

ха

=

рх

для

всех

х £ j .

( I I )

Предположим

теперь,

что

ip(/j)

= 1. Тогда (р) = рр8

в

к.

Пусть б — элемеит

группы

GaI(Q/Q), совпадающий с е на к.

Тогда

F6

=

F п 6_1сг6 = (—7-) н а

поле 77. Для каждого простого идеала (

систему па А'

я А'Е.

Имеем

to = £ 2

,

где £

— простой идеал

в

К.

Согласно определению идеала Ъ, можно

пайти такой

элемент Я, в Бо,

что

Я делится

на £ ,

но не делится

иа

S2 .

В

силу

(7.7.2) 0(А.)р,

=

=

—р,Э(Х). Но тогда

Q(X) отображает

группу

А'[{]

в

группу

А'г

[f]

и группу А'г

[(] в группу А'[{].

(По поводу символа

>!'[(] см. (7.6.3).)

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ

ПОЛЕЙ

КЛАССОВ

249

Кроме того,

Кег(9(А.))

П

А[{]

=

AIQ]

=

s

П

AU],

так что

Кег(9(/\))

П

Л'[{]

=

t) П

Л'Ш ~

о'/Г,

Кег(0(д.))

П

=

s П

^ ' е

Ш

»'/f-

Положим t)t = t) П ^ ' [ ' ]

и 5t

=

5 П

4 ' е Ш .

Так как

l b cz со, то

Q(l)(A'U])czbl,

в(ЩА'*Ц])<=

9

l .

0 ^ S l - ^ ' E [ l ] ^ i - > i ^ 0 .

Выберем

элементы

и и

у

так,

чтобы

9 [

=

9 ( о > ,

^ ' [ ( ]

=

t)[ +

9 ( о > .

С помощью автоморфизма б получаем

S l

= 9 ( о > М

А'*

М

=

Ъ1

+

9(о')гА

Пусть

а = (—р— ) , go, ^ а те же, что выше; тогда иа

= 9(g-0)«. и и6а

=

= Q(ha)u6.

Положим

va

=

В(с)и

-f- B(d)v,

где

e n d

берутся

из

о'.

Тогда

(Q(X)v)a

= 9(Х)УС Т

=

Q(d)Q(k)v.

С

другой

стороны,

так

как

В(к)и 6 §, то (9(Я)у)ст =

9(/г(Т)9(Я)у.

Так как элемент

Q(k)v порождает

модуль

над

9(о'),

то

d =

ft0mod

1. Таким

образом, УС Т =

9(c)it

+

+

Q(ha)v

при

с 6 о'.

Аналогично

У 6 А

=

9(e)u6 +

9(g-a )y5 при

e g o ' .

Другими

словами,

если

определить

Ьадические

представления

Щ

и Щ группы Gal(Q/&) па А ' и

A

' s ,

как в § 7.6, то окажется, что

ha

е

mod (.

О

ha.

О

gCT

Согласно

(7.6.7) и (7.6.15),

ар

==

ga

+

ha,

р =

gaha mod

(.

Это верно для всех простых делителей I идеала с. Поэтому

(7.7.12)

ар

5= ga

+

ha,

р

=

gaha

mod с.

Далее,

u 6 a 6 - i = 9 ( / l o ) U )

убаб-i=

0 (е )

ц + 0 ( ^ ) 1 7 ,

(цб)й -1 с т б =

9 (ga ) u«,

(ye)6 "1 0 6 =

9 (с) и* + 0 (/га) «в,

так

что

(7.7.13)

Щ (боб"1 )

=

Щ (a),

SHf (б"1 аб) = Щ (о)

mod (.