Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Г Л А В А 4

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

§ 4.1. Эллиптические кривые над произвольным полем

В этом параграфе мы приводим краткий перечень некоторых элементарных фактов об эллиптических кривых (без детальных доказательств) Эллиптическая кривая — это одномерное абелево многообразие (т. е. проективное неособое многообразие со струк турой алгебраической группы, обязательно коммутативной), или — что в конечном итоге то же самое — проективная неособая кривая

рода один со специфической точкой, называемой				начальной	точ
кой или нейтральным элементом.		Если кривая		определена		над
полем к и начальная точка рациональна над к, то групповой					закон
автоматически определен над к'. Поэтому, если мы говорим					об	эл
липтической	кривой, определенной	над полем к,	то	подразумеваем,
что кривая	и начальная точка рациональны		над	к.

Пусть Е и Е' — эллиптические кривые, определенные над полем к. Под гомоморфизмом из Е в Е' (определенным над к) мы подра зумеваем произвольное рациональное отображение (определенное над к) из Е в Е', являющееся групповым гомоморфизмом. Модуль всех гомоморфизмов из Е в Е' обозначается через В.от{Е, Е'). Всякое рациональное отображение из Е в Е', переводящее началь ную точку кривой Е в начальную точку кривой Е', обязательно является гомоморфизмом. Элемент X из Нош(#, Е') называется изогенией, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: (i) X Ф 0; (ii) подгруппа Кег(А,) конечна; (ш) л-сюръек- тивен. (Отметим, что Е всегда отождествляется с множеством всех точек на кривой, рациональных над универсальной областью; см. дополнение.) Если существует какая-либо изогеиия из Е в Е', то существует и изогения из Е' в Е, и мы говорим, что кривые Е и Е' изогенны. Это отношение эквивалентности. Введем теперь сле-

*) По поводу алгебро-геометрической терминологии и обозначений см. дополнение. Несмотря на то что обсуждение в этой и последующих главах сосредоточено на эллиптических кривых, теория не может быть до конца поня той, если не рассматривать их как частный случай абелевых многообразий. По этой причине мы рекомендуем читателю (но не настаиваем иа этом) познако миться с определением и простейшими свойствами абелевых многообразий по книге А. Вейля [3] (ее более легкой части), по книге того же автора [6] и по книге Ленга [ 1 ] . См. также дополнение, пп. 10 — 13 . Мы, например, заимствуем конструкцию корней из единицы eN в § 4.3 из книги А. Вейля [3, стр . 1 5 0 — 1 5 3 ] . Детальное изложение теории абелевых многообразий с комплексным умноже нием см. Шимура и Танияма [1] .

§ 4.1. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ						НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ		ПОЛЕМ		131
дующие	объекты:
тг	1 / сп			f кольцо всех эндоморфизмов кривой				Ел
апй(И)			=	\| ( н а д	универсальной областью)			J	~
			=	Hom (Е, Е),
E n d Q		(£) =		End (Е)	cg)z Q-
Для к =		С	будет показано, что			End(2?) — свободный			Z-модуль
конечного		ранга и Endq (Е) — кольцо с делением конечного								ранга
над Q. Известно, что то же самое верно и при произвольном к. Все
возможные типы колец					E n d Q (Е) и даже колец		End(Z?) были			опре
делены Дойрингом в					[1]: EndQ (Е)	изоморфно	либо	Q, либо		мни
мому квадратичному расширению поля Q, либо кватернионной
алгебре над			Q,	разветвленной в некотором простом числе р и точ

ке оо; последний случай может встретиться только тогда, когда характеристика универсальной области равна р. Однако этот

аспект	во всей	общности обсуждаться не будет: мы изучим лишь
в § 4.4	случай	характеристики 0.

Начиная с этого места, мы будем предполагать, что характери стика отлична от 2 и от 3. Тогда произвольная эллиптическая кривая, определенная над к, всегда изоморфна над к проективной кривой

(4.1.1)	Е: Y2Z	= 4 Х 3 -	g2XZ2	-	g3Z3,
где gt лежит в к и А =		g\ — 27g\ Ф	0.	(Отличие от нуля элемента

А эквивалентно отсутствию особых точек на кривой, определяе

мой этим уравнением.) Точку		(X,	Y,	Z)	=	(0, 1,	0) можно взять
в качестве начальной. Обратно, каждая					кривая		такого	вида при
А Ф 0 является	эллиптической.		В	дальнейшем			ради	удобства
мы будем записывать это уравнение					в	аффинной		форме:
(4.1.2)	Е: у2 =	кх3 -	g2x -			g3,

но всегда будем иметь в виду полную кривую с присоединенной точкой (х, у) = (оо, оо), начальной для Е. В такой ситуации ото бражение (х, у) ь-> (х, —у) задает автоморфизм — 1 кривой Е.

Такая кривая характеризуется своим инвариантом

№= ы = g\lA


(или		инвариантом	J E = 2 6 3 3 / Е ) имеющим		лучшие	целочислен
ные		свойства) в следующем смысле: две кривые Е и Е',				определен
ные		соответственно	уравнениями	у2 =	Ах3 — g2x	— g3,	у2 =
=	4х3 — g'2x — #з, изоморфны над			универсальной областью			тогда
и	только тогда, когда

JE = §Ж - 27g\) = g-3/(g? - 27g?) = j E -

Это утверждение можно сформулировать в более строгой форме:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Пусть	кривые Е	и Е' определены уравнения
ми у2 = Ах3 - g2x — g3 и	у2 = 4ж3	— g'2x — g'3 соответственно,

132

ГЛ.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

и пусть А, — некоторый

изоморфизм

из Е

на Е'.

Тогда

существует

такой элемент

ц., что

g'2

!-i4 #2,

§з

V?8z,

Цх,

у)

(иЛг, и3 !/).

Заметим,

что

} Е

принадлежит

всякому полю, над

которым

определена

кривая Е.

Пусть к0 — простое

поле. Тогда для

каж

дого j из универсальной

области существует

эллиптическая

кривая

Е,

определенная

над

полем

k0(j),

инвариантом,

равным

у.

для У =

0 положим g2

0, g3

для 7 =

1 положим g2

= 1, g3 =

положим

для 7 Ф

решим

уравнение

g/(g — 27) =

ёг

= £з = £ [S =

277/(7 —

1) € &<>(/))•

(Это

один

из

многих

воз

можных выборов; его не следует рассматривать как стандартный.)


Для рассмотренной выше кривой Е и для произвольного								авто
морфизма	а	универсальной		области	определим		эллиптическую
кривую			у2 =	4х3 - glx -
Очевидно,	что	Е°:				gl.
		j(EG) =	]{Е)а.	Поэтому	кривая Е		изоморфна	кри
вой Еа тогда		и только	тогда, когда		автоморфизм а тождествен
на поле k0(jE).		Поле k0(jE)		определяется		этим	свойством,	если
характеристика равна 0;			в этом случае его называют полем модулей

кривой Е. Мы только что показали, что кривая Е имеет некоторую модель, определенную над ее полем модулей. Поле модулей можно определить для каждого «поляризованного» абелева мно гообразия; см. § 5.4. Однако непзвестпо, всякое ли поляризован ное абелево многообразие имеет модель, определенную над его полем модулей.

§ 4.2. Эллиптические кривые над полем С

Рассмотрим теперь случай, когда универсальная область является полем комплексных чисел С. Каждая эллиптическая кри вая, определенная над некоторым подполем поля С , как комплекс

ное аналитическое		многообразие изоморфна одномерному ком
плексному тору C/L, где L — некоторая решетка в					С (под ней мы
подразумеваем дискретный подмодуль в С ранга 2 над Z). Обратно,
пусть L — произвольная решетка в С. Тогда каждая					эллиптическая
функция	с периодами из L есть по определению мероморфная					функ
ция на С, инвариантная относительно сдвигов на элементы						из L ;
такую функцию мы можем рассматривать на C/L, и обратно.
Пусть	FL — поле		всех	эллиптических функций	с периодами
нз L . Известно, что		FL	порождается функциями Вейерштрасса </р
л g>', определяемыми		равенствами
<g(u)=f(u;L)		=	u-2+	2 [ ( u - с о ) " 2 - с о " 2 ] ,
				to£L'

( и ) = i f (") = - 2 и _ 3 - 2 2 (" - а )"3

{L'=L—(0}).

		§ 4.2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ НАД ПОЛЕМ С		133
(Легко видеть, что <(? и <(?' содержатся в FL			и имеют полюсы только
при	и =	0 (по модулю L) степеней 2 и 3 соответственно.		Поэтому
в	силу	утверждения (3) предложения	2.11 [FL:	C(f>)] = 2

и [FL:	C(g>')] =		3;	следовательно,			FL=C(<§>,		§>'), что и	требовалось
доказать.)
Разложения			Лорана для <(р и <§>' при						и = 0 имеют	вид
					со
		g> (и) =		и"2 +	2	( 2 л - 1 )	G 2 N (L) и2 ""2 ,
					л=2	ОО
						ОО
		Г ( и ) = - 2 и - 8 + 2 ( 2 n - l ) ( 2 / i - 2 ) G 2 n ( ^ ) u 2 " - 3 ,
						п = 2
		G a n ( L ) =		2	со"2 ».
Таким	образом,
(4.2.1)				Г 2	= 4^3 - 2 (L)p -				* 3 W ,
где		g2(L)		= 60 - G 4 (L),			g 3 (L)	=	140 -G6 (L).
		g2(L)		= 60 - G 4 (L),			g 3 (L)	=	140 -G6 (L).
(Разность		g»'2 — (4g>3 — g2.{L)<@ —					g3(L))		голоморфна на C/L всю
ду, кроме		точки 0; но из				приведенного		выше разложения видно,

что она голоморфна и в 0, где обращается в нуль; следовательно, эта функция должна быть тождественным нулем.)

Так как FL	= C(g>, <§>')	— поле функций рода 1, то
(4.2.2)	g2(Lf	_ 27g3(L)* Ф 0.

Действительно, если бы левая часть в (4.2.2) была равна 0, то

уравнение		(4.2.1)	определяло			бы кривую рода 0.
Для	заданной		решетки		L	зададим эллиптическую		кривую
(4.2.3)			Е:	у2 =	4z3	- g2(L)x -	g3(L).
Тогда	отображение			и н-*• ( f ( u ) , §>'("))			определяет	изоморфизм
из C/L	на	Е.
Пусть		^ по-прежнему			обозначает верхнюю комплексную полу

плоскость. Для двух комплексных чисел со± и со2 , для которых

ft>i/co2 € @i

мы

имеем решетку

L =

Z M J + Zco2 . Обратно, каждую

решетку на С можно задать

в таком

виде. Будем

использовать

следующие

обозначения:

f{u;

щ,

со2)

= f{u;

L ) ,

Д(й)1,

<в2)

g2 (cui,

со2 )3 —

27g-3 (c0i,

ш 2 ) 2 ,

gz(®u

©z)

gz(L),

g3(ou

и 2 ) =

g3(L)

Zcot +

Zco2 ).

В § 2.2

мы

определили

модулярную

форму

Д(г)

модулярную

функцию j(z)

равенствами

Д(£)

Д(г,

1) = g2(z,

I ) 3

27g3(z,

1)\

/00

gz(a>u

oj2 )3 /(g-3 (<»i,

Щ)3 —

27g3 (cu1 )

co2)a)

щ/а2)

134		ГЛ.	4.	ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ	КРИВЫЕ
(или же	J(z)	= 2°33 -/(z)) и установили ряд фундаментальных
свойств	этих	функций.		Отметим, что	j(z) — это	инвариант ] Е
эллиптической		кривой	(4.2.3), изоморфной		фактору	C/XZcui -\~ Za>2 ).

Позднее мы обсудим связь между модулярными функциями выс шего уровня и точками конечного порядка на Е. Мы видим теперь из (4.2.2), что A(z) не обращается в нуль на ,<§, что было лишь сфор мулировано, но не доказано в § 2.2.


	Покажем,			что для		всех г, s £ С, для которых г3 — 27s2				Ф О,
существует			решетка		L	в	С, удовлетворяющая условиям g 2 (L) =				г
и	g3(L)	=	s. Действительно,					рассмотрим эллиптическую	кривую
Е:	у2 =	4а;3 — rx — s. Эта кривая изоморфна тору C/L' при								неко
торой		подходящей			решетке			L ' и, следовательно, кривой		у2	=
=	4х3 — g2(L')x			—	g3(L').		В	силу предложения 4.1 g2(L')		=	р,4г
ц	g3(L')	=	LI6 S при		некотором ц. 6 С. Но тогда решетка				L	=	lib'

обладает	нужным свойством.		В частности, отсюда следует,	что
функции	# 2 ( ^ 1 1 со2)	и g3 (cui,	со2) алгебраически независимы	над
С — это	требовалось	при доказательстве предложения 2.27.

§ 4.3. Точки конечного порядка на эллиптической

кривой и корни из единицы

Пусть Е — эллиптическая кривая, определенная над полем характеристики р (р может быть и нулем), и iV — положительное целое число. Положим

	&(N)	=	6(N, Е)	=	{t£E	\Nt =	0 } .
Можно	показать,	что	группа	(}(./V) изоморфна			подгруппе		группы
(ZfNZ)2,	равной	произведению			двух	экземпляров группы			Z/NZ.
В частности, если р не делит N,					то	g(iV) изоморфна		(Z/NZ)2.		(Это
очевидно, если универсальной					областью является			поле	С,	так

как кривая Е изоморфна тогда комплексному тору.) Следует также заметить, что

(4 3.1) если кривая Е определена	над	/с, то	координаты	каждой
точки конечного порядка	на Е	суть	алгебраические	над к
элементы.

Это очевидно, так как число образов любой такой точки t при изо морфизмах над к пе превосходит N2, если t 6 $(Ю-

Зафиксируем теперь простое				рациональное число I и положим
		9<"=		со	6(П-
		9<"=		U	6(П-
			71=1
Если р не делит I, то можно показать, что							д< ( ) изоморфно		группе
(Qz/Zj)2 ,	где Qj — поле Z-адических				чисел		и	Z j — кольцо	целых
Z-адических чисел. Пусть а £ End(E).						Тогда	а	индуцирует	некото
рый эндоморфизм		группы	з < г ' .	Так		как	каждый эндоморфизм
группы	(Q,/Zz)a	очевидным	образом			представляется^ некоторым

§ 4.3. ТОЧКИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

135

элементом

алгебры

M 2 ( Z ; ) ,

мы получаем

инъективный

гомомор

физм пз End(i?) в M 2

( Z ( ) ,

который можно продолжить до инъектив-

ного гомоморфизма

из

EndQ (Е)

M 2 ( Q i ) - Назовем

Z-адиче-

ским представлением кольца E n d Q (Е).

Можно показать, что харак

теристический многочлен преобразования Ri(a)

при произвольном

а 6 End<j (Е)

имеет

рациональные

коэффициенты

(и

целые

коэф

фициенты,

еслн

End(jE')) и не

зависит

от

Мы свяжем сейчас с двумя произвольными элементами

s и

группы Q(N) некоторый корень iV-й степени из единицы,

обозна

чаемый через eN(s,

t). Пусть D0

— модуль всех дивизоров степени О

на Е и DH

— подмодуль в D0,

состоящий из дивизоров всех

функ

ций на Е,

т. е. DJDH

— модуль всех классов дивизоров

степени О

на кривой Е. Для каждой точки t £ Е пусть (it) обозначает

дивизор,

ассоциированный

точкой

Хорошо известно, что

отображение

t н-> (г) — ( 0 ) £D0

задает

некоторый изоморфизм группы Е

на груп

пу D0/DH.

(Действительно,

групповой закон

на

определяется

с помощью

этого

взаимно

однозначного

соответствия

между

и D0/DH.)

Следовательно,

( 4 . 3 . 2 )

если

tm£E,

си

cM €Z,jj YjCj=0

2 С ^ = °>

t=i

i=i

то

2 a

(tt) 6

DH.

Если

es(N),

то

N-({t)

— ( 0 ) ) 6 Д Н ; поэтому

N-{(t)

— ( 0 ) ) =

=div(/) для некоторой функции / на кривой Е. Выберем на Е

такую	точку t',	что	Nt' =	t. В	силу	( 4 . 3 . 2 ) на Е			существует	функ
ция £,?для которой
		d i v ( g ) =		2	(t' +	u)-	2	(и).
Легко	видеть,	что	функции		f(Nx)	и!	g(x)N	(х	6 Е) имеют	один
и тот же дивизор. Домножая / на подходящую								константу, мы		полу

чаем две функции / и g, характеризуемые с точностью до постоян ного множителя равенствами

div(/) =

N-((t)

( 0 ) ) ,

g(xf

f(Nx),

x 6 E.

Если

s 6g(A0,

то

g(x

s)N

g(x)N

;

следовательно,

g(x

eB{s,

t)g(x)

для некоторого корня N-ш степени

из

единицы

eN(s, t).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4 . 2 . Предположим,

что число N взаимно

просто

с характеристикой

универсальной

области.

Тогда

функция eN(s, t)

на прямом

произведении

Q(N) X Q(N)

обладает

следующими

свой

ствами:

(1)

eN(si

sz,

eN(si,

t)eN{sz,

t);

( 2 )

eN(s,

tz)

eN(s,

ti)eN(s,

t2)-h

136

ГЛ.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

КРИВЫЕ

(3)

eN{t,

eN(s,

г)""1;

i) = 1

(4) функция eN(s,

невырожденна,

т.

е.

если

eN(s,

для

всех

s (i $(N),

то

t =

(5)

если

t — точка

порядка

то

eN(s,

t) —

первообразный

корень

N-й

степени

из единицы

при

некотором

s £ g(/V);

(6)

eN(s,

t)a

eN(sa,

ta)

для

каждого

автоморфизма

универ

сальной

области

над

полем

определения

кривой

Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое

последнее

свойства

оче

видны в силу самого определения.

Чтобы доказать (2), положим t3

+ t2, и

пусть

и gt

—

функции,

обладающие

указанными

выше

свойствами

для

точек

tt,

3. Так

как t±

t2 — t3 — 0 =

силу

(4.3.2),

то

существует

функция

на

Е,

для

которой

div(ft) =

(tj

(t2)

—

(*3)

(0).

Тогда

divifjj;1)

= d i v ( W ) ,

так

что

ch»

при

некоторой

константе

с.

Поэтому (gyg2g31)(x)

c'HNx)

при

некоторой константе с'; отсюда получаем (2).

Для доказательства (3) заметим, что

N-l

N-1

d i v ( П

f(x-it))=N-

({it+-t)-(it))=0;

i=0

следовательно,

N-i

f(x

— it) — константа.

Поэтому,

если

Nt'

= t,

[ J

i=0

то

произведение

g(x — it')

должно

быть

константой. Подстав-

i=0

ляя

х — t'

вместо

х,

получаем

g(x)g(x

-t')

. . .

g(x

l)t')

= g(x

-t')

. . .

g(x

~(N

l)t')g(x

t),

так

что

g(x) =

g(x

— t),

откуда

eN(t,

1, и,

следовательно,

(3)

доказано.

Если eN(s,

1 для всех s 6 зС^О, т

s )

i(x)

Д л

я в

е х

s 6 d(N).

Поэтому

g(x)

p(Nx)

для

некоторой

функции

на

Е.

Таким

образом,

f(x)

p(x)N

div(p) =

(t)

— (0),

а это

возможно

только

тогда,

когда

t =

поскольку

— кривая

рода

Это

доказывает

(4).

Наконец, чтобы доказать (5), рассмотрим произвольную точку t

порядка TV, и пусть

ТN

— группа всех корней JV-й степени из еди

ницы. Тогда s н-»- eN(t,

— гомоморфизм

из

$(N)

ТN.

Если

он

не сюръективен, то существует такой положительный делитель М

числа N, что, будучи меньшим, чем N, он дает равенство			eN(s,	t)M	=
= 1 для	всех s £ Q ( N ) . В силу (4) отсюда	следует, что	Mt =	0;	мы
пришли	к противоречию. Доказательство	закончено.


§ 4.4. ИЗОГЕНИИ И ЭНДОМОРФИЗМЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ			137
§ 4.4. Изогении и эндоморфизмы		эллиптических
кривых над полем С
Пусть Е и Е' — эллиптические	кривые, изоморфные		C/L
и С/Z/ соответственно при некоторых	решетках L и L ' на С.		Тогда

каждый гомоморфизм кривой Е в кривую Е' соответствует неко торому комплексному аналитическому гомоморфизму простран

ства C/L в пространство

С/Z/

обратно. Всякий

комплексный

аналитический гомоморфизм из C/L в С/Z/ задается некоторым

линейным отображением и н-*• \ш, где

р, — такое

комплексное чис

ло,

что f i L c

L ' .

Поэтому

H o m ( £ ,

Е')

~ I i o m ( C / L ,

C/L')

{ц. £

| дХ cz V}.

частности,

End(£)

End(C/L) =

{ц. 6

| pLa

L ) ,

E n d Q (Я)

E n d Q

(C/L) =

(и. б

| j i - ( Q L ) с :

Q L } .

Здесь QL обозначает Q-линейную оболочку решетки L . Мы гово рим, что эллиптическая кривая Е обладает комплексным умноже нием, если End(2?) Ф Z.

где

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.3.

Пусть

L =

Z®i

Zco2 u Z/ =

ZcOj + Zcoj,

z =

coj/coa £ j§

w z' =

(OJ/OJ^ 6 £>•

Гогда

кривые

C/L

С/Z/

изогенны

(соответственно

изоморфны)

в том и только в том

случае,

когда существует

такой

элемент а

группы

GL*(Q)

(соответственно

SL 2 (Z)),

что

а(г')

где

GL+(Q)

{£ 6

G L 2 ( Q ) | det(g) >

0 } .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

число

0 Ф ц. £ С

таково,

что

Ц-Ь с : Ь

, то существует элемент а

с d

из

пересечения

M 2 (Z) П

G L 2 ( Q ) , для

которого

"«>Г

"а

со,

С 0 2

со,

следовательно,

d e t ( a ) > 0

z = a(z') . Обратно,

если a ( z ' ) = z

для

"а

Ь1

а =

d ^ M 2 ( Z ) n G L + ( Q ) ,

положим

A. =

c z ' - - d .

Тогда

ХфО

а Ъ~

V "

со,

(4.4.1)

. 1 .

ИЛИ

(XCU2/CU2)

_ С 0 2 _

со.

следовательно,

иХ cr L '

при

и. =

A,coa/co2. В частности,

u.L =

тогда и только тогда, когда a

£ S L 2 ( Z ) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.4.

Пусть

L =

ZcOi +

Zco2

при

% =

coj/сог 6

Кривая

CIL

обладает

комплексным

умножением

тогда

только

тогда,

когда

существует

такая нескалярная

матрица

группе

GL+(Q),

что a(z)

138	ГЛ. 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Повторим доказательство предложе ния 4.3 для случая z = z' и сог = щ. Тогда мы увидим, что каж дому числу р. Ф 0, удовлетворяющему условию \iLczL, можно

'а Ъ~

поставить	в	соответствие	некоторый		элемент		а = I с d
чения M 2 ( Z )		П G-Lj(Q) по формуле			(4.4.1)		при и.
Из (4.4.1)	получаем
		Z Z	0"	'а	Ь~	Z Z
(4.4.2)		1 1	>0 V-	с	d	1 1

из пересе-

к п z = z'.

Легко видеть,

что

р. 6 Z тогда и только

тогда,

когда а — скаляр

ная матрица. Предложение

доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.5. Пусть

L и z те же,

чг?ю в предложении

4.4.

Тогда

C/L

обладает

комплексным

умножением

том

и только

том случае,

когда

поле

Q(z)

является

мнимым

квадратичным.

Если

это

так, то

кольцо

EHCIQ

( C / L ) изоморфно полю

Q(z).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если в соотношении

(4.4.2) матрица

а Ь~

не скалярная, то число

р не может быть вещественным;

с d

кроме того,

р, и

р,

суть

характеристические

корни

матрицы

поэтому

удовлетворяют

некоторому

квадратному

уравнению

над Q. Так как ц. =

cz +

d и с Ф

0, то

Q(z) =

Q(p.), так что поле

Q(z)

должно

быть

мнимым

квадратичным.

Обратно,

если

Q(z) — мнимое

квадратичное

поле,

то

QL =

co2 -(Qz +

=(о2К, так что

(4.4.3)

E n d Q ( C / L ) = {u. 6 С | n Q L c

Q L } = {р

6 С | \лК с:щАК}

= Я .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.6. Пусть

и z'me

же,

что в предложении

4.4.

Предположим,

что кривая

C/L обладает комплексным

умножением,

и пусть

Q(z). Тогда

существует

инъективный

гомоморфизм

(или попросту

погружение)

q поля

в алгебру

M 2 ( Q ) ,

для которого

(АЛЛ)

q(K*)

{а

б GL2 + (Q)| a(z)

z}.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

силу

(4.4.2) и (4.4.3)

можно опре

делить

матрицу

q(\n) для

числа

р £

равенством

(4.4.5)

(|x)i

Тогда утверждение становится очевидным в

силу (4.4.3) и дока

зательства предложения 4.4.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.7.

Пусть

— мнимое

квадратичное

поле

и q — некоторое

погружение

поля

в алгебру

M 2 ( Q ) .

Тогда

суще

ствует

точка

на полуплоскости

$Q, для

которой

выполняется

соотношение

(4.4.4).

§ 4.4. ИЗОГЕНИИ И ЭНДОМОРФИЗМЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ				КРИВЫХ 139
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть X £ К — Q и а =	q(X). Тогда
det(ct) =	NK/Q (X) =	XX > 0 и а имеет X и X в качестве характери
стических	корней.	Поэтому а	как преобразование полуплоскости

@ является эллиптическим и обладает некоторой неподвижной

точкой г в ^ . Если записать соотношение (4.4.2) для полученных

то

окажется,

что

X =

р. или

X =

р. В

любом

случае

Q(z)

Q(X) = К.

Если

д'

обозначает

погружение поля

алгебру

M 2 ( Q ) ,

определенное

равенством

р, 1

то

q(X) = q'(X)

д(А,) =

д'(Х)

Так как i f

Q(A-), отсюда

следует, что

или д(р)

g'(p)

для всех

\л

£ К,

или g(p)

= д'(р)

для всех

р. 6 К.

Поэтому

наше утверждение

получается из

предложения

4.6.

Мы уже видели, что существует ровно два погружения поля К

алгебру M 2 ( Q ) ,

обладающих свойством

(4.4.4)

для фиксирован

ной точки z. Погружение q назовем нормализованным,

если оно

определено равенством (4.4.5). Второе погружение

определяется

через (4.4.5)

после

замены

z на z.

Пусть q и q' — произвольные погружения одного и

того

же

поля К в алгебру

M 2 ( Q ) . Тогда существует

такой

элемент

В груп

пы

G L 2 ( Q ) ,

что

g'(p)

Bg(p)B_ 1

для

всех

р, £ К.

(Это

хорошо

известно и может быть доказано так. Пользуясь погружением q


(соответственно q'),			рассмотрим	Q2 как одномерное векторное про
странство V (соответственно V )				над полем К. Тогда V и				V	долж
ны быть изоморфны над К; это				означает, что существует				Q-линей-
ный автоморфизм 6 пространства Q2 , для которого g'(p)B								=	Вд(р,).)
Пусть	z (соответственно z') — неподвижная					точка	группы q(K )
(соответственно q'(K*)) на ,<д. Тогда P(z) равна или							z', или		z', так
как z'	и	z' — единственные		неподвижные		точки	на	С	группы
q'(Kx).	Поэтому В		равно либо с		либо		при некотором
ненулевом комплексном числе с. Следовательно, если q и q'									норма
лизованы,		то число	det (P) должно быть		положительным.

Зафиксируем теперь мнимое квадратичное поле К (оно всегда рассматривается как подполе в С) и определим все классы с точ


ностью до изоморфизма			таких эллиптических		кривых Е, что коль
цо	EndQ(i?) изоморфно		К.	Заметим сначала,	что кольцо Еп&(Е)
является порядком в поле Endo^E1 ).
Вообще под порядком			в поле алгебраических чисел F конечной
степени мы подразумеваем подкольцо в F, содержащее Z и являю
щееся Z-модулем ранга			[F:	Q]. Каждый порядок в F содержится
в кольце всех целых алгебраических чисел в F,						которое называет
ся максимальным		порядком		в F. Под решеткой		(или Ъ-решеткой)
в F мы подразумеваем свободный Z-подмодуль в F ранга IF : Q].
Для	произвольной	Z-решетки а в F кольцо о = . {р. б F \| р, а с= а}

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ