книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

70

ГЛ.

2.

АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ I I ФУНКЦИИ

В

силу

леммы

2.22 и неравенства

(2.5.1)

мы получаем, что

если

п >

1,

то

(2.6.4) d e g ( [ J B ] ) - ( 2 g - 2 ) >

>(п

-

1) {(2g -

2) +

V

( 1 _

e r i )

m J

:.т

>

т .

i = l

Поэтому в

силу

утверждения (2)

предложения

2.14

Ц[В])

=

deg([5l)

- g

+

1 .

Если

п =

1

и

771 ; > 0, то

получается

тот

же

результат.

Если

же

п =

1 и т?г =

0,

то С,г(Г) = 5/ДГ),

и ответ

дает

следствие

2.17. Если

п =

0,

то

В =

0

и

/([Я])

=

1. Если

?г <

0, то

Г

d e t ( [ 5 ] ) < d e g ( B ) = n { ( 2 g - 2 ) - ! - 2 ( l - e ? 1 ) - ; - m } < 0

в силу

неравенства

(2.5.1);

i= l

согласно

утверждению

следовательно,

(1) предложения

2.14, 1{[В\) = 0.

Таким образом,

ТЕОРЕМА

2.23.

Пусть

g — род

поверхности

ГД.'д*,

т — число

неэквивалентных

параболических

точек группы

Г и

еи

. . .,

ег —

Г

г

(к -1) (g-1)

I - 4 • т + 2

(«I - l)/2et ]

№ > 2),

dim Gft (Г) = g + tn — 1

t = i

(Л =

2, m > 0 ) ,

g

(k =

2,m

= 0),

1

( f t = 0 )

,0

( & < 0 )

В' =В—

и

и'

Qj и

с учетом того, что в силу формулы (2.6.4)

У] Qj—

2

deg ([В'])

3 =

1

з' = 1

тг>2, можно доказать, что верна

>

2g

— 2,

если

ТЕОРЕМА

2.24. Размерность векторного

пространства

5; ! (Г) для

четного

числа

к

равна

( f c - l )

(g-l)--r(±-l)m

+

2 [ Л ( в , - 1 ) / 2 в 1 ]

( Л > 2 ) ,

dim

Sh (Г)

i = l

(/с =

0,

771 = 0),

(ft =

0,

m > 0 ) ,

( f c < 0 ) .

§ 2.6. РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ФОРМ

7 »

Например,

рассмотрим

группу

из

(1.6.1)

для

N >

2. Очевидно,

что — 1 (£ r i

Y . Так как каждый параболический элемент из TN

сопря-

Г1

N-

жен с некоторой степенью матрицы

^

относительно Г^, то любая

параболическая

точка группы

r j Y

регулярна. Если i i Y =

[1\ : Г л - ] г

то

и =

n,N/N

и

g =

1 +

— и/2, как

было

показано

в

§

1.6

так

что

и/2 — g +

1 =

ц(1 — iV/12).

Поэтому

(2.6.9)

dim ^ ( Г ^ )

=

f.LjV /2iV,

5 t

( r w )

=

{0},

3 <

N <

11.

Вычисление

размерностей

dim Gi{T)

и dim Si(T)

более эффективным

способом

является

открытой

проблемой.

Возвращаясь

к

четному

к

при

Г =

SL2 (Z),

мы

получаем,

что

g =

0, т =

1 и

{ел,

е 2 }

=

{2,

3},

так что после легкого

вычисления

устанавливается

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

2.26. Если

Г =

SL2 (Z), то

для

четного

к ^

2

f [Л/12]

(А; =

2 mod (12)),

d i m G f t ( r ) = | [ й

/ 1

2

] +

1

(/c^2mod(12));

Г 0

(/с =

2),

dim

5,, (Г) =

<^ [к/12] -

1

(к >

2,

'к =

2 mod (12)),

L [Л/12]

(/c^2mod(12)) 1 ) .

Например,

отсюда

видно,

что

dim Gh(T)

=

1

п

dim Sh(F)

= О

для к — 4,

6, 8, 10. В §

2.2

мы

видели,

что

пространство

Gh(T)

содержит

нетривиальный элемент Е%. Поэтому

Gh(T)

=

C-Ei,

Sh(T)

=

{0}

(к — 4,

6, 8,

10).

При

к = 1 2

имеем

dini £ 1 2 ( Г) =

1, d i m G J 2

=

2;

форма

A(z)

из

тео­

ремы

2.9

порождает

51 2 (Г)

и,

как

было

показано

в

(2.2.1),

Et

натянуто

на

A(z)

и Е*2.

Аналогично можно показать, что

Su(T)

=

{0},

Sk(T)

=

C A - £ f _ 1 2

(к =

16, 18,

20,

22),

5 2 4 (Г) =

СА-Е*2 +

С-А2 .

Вообще

справедливо

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

2.27. Если

Г = SL2 (Z), то

пространство

Gk(T)

порождается

над полем С функциями

g^g^, где а и b — такие

неотри­

цательные

целые

числа,

что

4а +

6b = к

и

Sh(T) = А -С,;_1 2 (Г),

a A,

g2

и g3

определены в теореме

2.9.

1 )

Заметим, что

отображение

/ ь - Д

•/ устанавливает изоморфизм: между

б;,(Г)

и 5 Й + 1 2 ( Г ) , так как A(z) = t 0 при

Im(z) > 0 и Д имеет простой пуль при

z = со . Кроме того, d i m Gh —

d i m Sh =

1 при к >

2, так как £fc 6 Gk,

Е% $ 5ft,

а все параболические точки эквивалентны о о . — Прим.

ред.

74

ГЛ. 2 . АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ И ФУНКЦИИ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим g2 (cob

со2) =

GO•JE,/j(co1, со2)

1 1 ёз(С °1! «ь)

= 140 •/?,.(со 1, со2)

при

^4

и Еа, взятых

из §

2.2. Тогда

g2 (z) = g2 (z,

1) и g3(z)

= g3 (z,

1). Позднее (в § 4.2) мы покажем,

что

g2 (coi, со2) и

g3 (coi, coo) алгебраически независимы

над

полем

С.

Из этого следует, что мономы

^2 (z)a g3(z)b

при

4a +

66 =

А и фик­

сированном А- линейно независимы

над

С,

так

как

« Г " £ 2

( 2 ) a g3 (Zf

= g 2 ( C 0 i , C 0 2

) ° g 3

(СО»,

СО»)"

( Z =

2 " )

•

(a,

Ь) уравнения

4a +

Qb = А- равно

[А/12], если А ==

2mod(12),

и

[А/12] -г 1, если

А

2mod(12). Так

получается первое

из утвер­

ний, потому что

A(z)

2 (Г) с= SU(T) и

dim Sh(T)

= dim G h _ i 2 ( r ) .

В качестве примера пространства Sk(V)

для

копгруэиц-подгруппы

Г' группы SL2 (Z) рассмотрим

ПРИМЕР 2.28. Пусть N — одно из чисел 2,

3, 5,

И , и пусть А =

= 24/(А' -г 1). Тогда пространство Sk(T0(N))

одномерно и порождает­

ся элементом

(A{z)A(Nz))i^N+i\

определить

A(z)1 -'"1 для любого положительного

целого

числа

т:

это

будет некоторая голоморфная функция на

Положим g(z)

=

=

A(z)A(Nz).

Согласно (1.6.6) и предложению 2.4, Д(Аг) 6

Sl2(r0(N)),

так что g 6 £2 4(r0 (iV)). Так как A(z) = спр(д), где

функция ty(q) голо­

морфна в q =

e2niz

и отлична от нуля

в нуле, то g(z) = giV+1 iKGr )1'(5, 'V )>

так

что g имеет

нуль порядка N +

1 в параболической

точке

оо.

валентные параболические

точки группы T0(N), потому что число N

простое. Положим т = А - 1

/ 2

0 -

1 " . Тогда х переставляет 0 и оо и

N

0

g

| [ т ] к = A ( - l / A T z ) A ( - l / z ) (Ar z)-1 2 z~1 2

A(Az)A(z) =

g(z).

Так

как х

1

0"

является

образующей

группы

-N

1 .

Sh(T0(N)).

Тогда и g,

и f + 1

принадлежат S2i{T0{N)),

так что

f+i/g£

€A0{F0{N)).

Так как

g=^0

на <§, функция fN+i/g

голоморфна

на !Q.

§ 2.G. РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ФОРМ

75

Более того, так как / имеет нуль в 0 и в сю, функция fN+i/g

голоморф-

па также и в параболических точках. Поэтому fh+i!g

должна

быть

константой. Доказательство закончено.

Является классическим тот факт, что форма

A ( z ) представляется

в виде

со

( 2 K ) - 1 2 A ( Z ) = C7 I ] ( l - g n ) 2 4

(д = е 2 ^ ) .

со

Действительно,

если положить

т| ( z ) =

е 2 я ' 2 / 2 4

Д

( 1 — д " ) ,

то

Г] будет

удовлетворять

равенству

п = 1

п ((az 4- b)/(cz + d)) = X-(cz

+ d)U2t]

( z )

/ ^

Ь

6 S L 2

(Z)

с

d

к

книгам: Дедекпнд [ 1 ] , Эрмит

[ 1 ] , Гурвиц [ 1 ] , Вебер [ 1 , стр. 1 1 2 —

1 3 0 ] , Знгель

[ 3 ] п Вейль

[И] г ) .

УПРАЖНЕНИЕ 2 . 2 9 . Пусть N — одно из чисел 2 , 3, 4, 6, 1 2 , и пусть

к

= 12/JV. Докажите, что Sh(T(N))

= C-A(z)*/*.

ЗАМЕЧАНИЕ

2 . 3 0 . С каждым

элементом

/ пространства

Gh(T)

мы

можем

связать

функцию

ср

на

группе SL 2 (R), положив

ср(а)

=

=

f(a(i))j(a,

i)~k для

а £ S L 2 ( R ) .

Легко

проверить,

что

у(у-сс)

=

=

ф(а)

для

каждого

у £ Г

и

ср(а- а(0))

= е т -ф(а)

для

каждого

а(Э) =

Г

cos0

sinO~|

SO(2).

Часто оказывается удобным и важ-

. .

„ 6

L — sm0 COS0J

можно

найти в

«Семинаре по комплексному умножению», сб .

Математика,

12 : 1 (1968), 67; другое очень короткое доказательство имеется

в книге Серра

[2, стр .

1 5 1 ] . —

Прим. ред.

§

3 . 1 . Определение кольца Гекке

Пусть G — мультипликативная

группа и Г, Г'

— ее подгруппы.

Будем писать Г ~

Г', если

Г и

Г' соизмеримы,

т. е. если группа

Г П Г' является подгруппой

конечного индекса в Г и в Г'

(см. § 1 . 1 ,

особенно предложение 1 . 11) . Зафиксируем произвольную

подгруппу

Г в G и положим

Заметим, что aI\oc- 1 ~

Гц

для всех

a £ Г и всех

X, ц. £ Л.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 . 1 . Если

а £ Г,

то имеют

место

разложения

на непересекающиеся

смежные

классы:

Г?.аГц =

U I\a„

где

d =

[\\ : Гц f]

а^Ы;

i=i

r , . a I V =

(J

P W ,

где

е =

[Г>.: I \

f] a ^ a " 1

] .

3 = 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим разложение на

непересе­

кающиеся смежные

классы

I V =

U (Гц

П с г З Д б , .

i

Тогда

а^Г^аГц

=

|J а- 1 1\сх6; и,

следовательно, Г^аГц

=

у Г^аб,-.

Если

Г^аб, =

г

то

6 i 6 j x 6 Гц П а _ 1 Г * а

и,

таким

i

r x a 6 j ,

образом,

конечных сумм вида

2 си •(Г^а,1 Г1 1 ), где ck

£ Z,

ah

6 Г. Для

каждого

_

к

Г а аГц при а £ Г обозначим через ueg(TaaY^

число смежных

классов

Г\е, содержащихся

в Г^аГц. Далее, для

х =

2

сл -(Гя а; ( Гц) 6 Я-хц

§ 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА ГЕККЕ

77

определим число deg(#) равенством

deg(x)

= 2

c?i •deg(r^af c ri l ) и на-

k

зовем его степенью элемента х.

(Мы

можем

определить степень

Такая

степень может быть отличной

от

только

что определенной.)

Введем закон умножения RXVk

X R^-*-

R\v.

Для

этого рас­

смотрим сначала разложения на непересекающиеся

смежные

классы

I V z r ^ U I V a , ,

ГцРГ, =

U

г

з

(разумеется,

при этом

а

и

р

лежат

в

Г).

Тогда Г\ссГц,рГ\,

=

=

U Г^аГ^Р; =

U 1\аг р; -;

поэтому

Г\аГцр1\,

является

конечным

3

i, 3

объединением

двойных

смежных

классов вида

Г\£ГУ . Пусть и =

=

1\аГц, v =

r ^ t p r v

и

w =

1\£ГГ ;

определим

«произведение»

u-v

как следующий

элемент

из

RXv:

u-v = 2 rn(u-v;

w)w,

где сумма распространяется на все

w =

1\£Г\, с

Г\аГцРГ\,

и

(3.1.1)

m{U'V,

w) =

число таких пар (£, j), что 1\аг Р; =

I \ t ,

(для

фиксированного

£).

зать, что правая часть равенства (3.1.1)

зависит

только от

и,

v и w

и не зависит от выбора представителей

{о^}, {Р,} и £. Для

этого

обозначим

через fl

(S)

число

элементов в конечном множестве S

и

заметим,

что Txa$j

= Г х |

тогда

и только

тогда, когда

1\сс; =

=

I Y I P J 1 .

Для

каждого

фиксированного

/

последнее

равенство

выполняется ровно

прп

одном

значении

i. Поэтому

#

{(г, ])

| Г х а,р, =

Ы}

=

#

{ Л

W

6 Г , а Г „ }

=

=

й {/ | Р, 6 Tlta-^l}

=

й

{/ I

с : 1 > - Ч \ | }

=

Последнее число,

очевидно,

не

зависит от

выбора представителей

{а,-} и

{Р;} . Далее,

если

=

1\г)Гу ,

то I =

б'г)6, где 5' 6 1\

и

б g T v ;

следовательно,

Г^рГ,

П I V c r 1

^

=

( Г „ р ^ П

Г ^ Г ^ б .

Поэтому число, о котором идет речь, не зависит от выбора £.

После

такой проверки мы

можем определить закон умноженпя

Rkyi

X R^v~f- Rxv,

продолжая

естественным образом по Z-лпней-

постп отображение (и, v) н-> u-v.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Пусть

и,

v, w,

{ а * } , { Р ; } и § те же, что выше.

Тогда

deg(u>) -т(и-v;

w) =

/) | 1\аг р; -1\, =

I \ g r v } .

ft

{ ( i ,