Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

90	ГЛ. 3.	ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Теорема	3.21 в	случае п =	2 принадлежит Гекке [4], хотя ои
и не рассматривал		абстрактное	кольцо R(Y, Д); его представления

в пространстве модулярных форм даются ниже. Абстрактное кольцо

R(T,

Д) было

введено

в работе

автора

[3]. Результат

теоремы 3.21

при

произвольном

п был получен

Тамагавой

(см. его работу [1]).

ТЕОРЕМА

3.24. Пусть

п =

2 и р — простое число.

Тогда

выпол

няются следующие

соотношения:

(1)

Т{т)=

T(a,d);

ad=i>i, a\d

(2)

Т{1,рЬ)=Т(р>)-Т(р,р)Т

к >

(3)

Т (т) Т (п) =

d-T(d,d)T

(mn/d2);

d|(m, 71)

(4)

Т (f)

Т (ps) =

PlT (p\ Pl) T ( p r

+ s - 2

( ) ,

r < s ;

(=0

в частности,

T(p)T(ph)

Т(рш)

pT(p,

pjTip'1-1),

к > 0;

(P +

i)T(p,

p), k =

(6)

d e g ( r ( l , p f e

) ) = d e g ( r ( ^ ,

p<+*)) =

p*-* ( p + 1),

fc>0;

(7)

deg(r(?7i)) равно сумме всех положительных

делителей

числа т.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первые

два соотношения очевидны.

Так

как Rp'

— полиномиальное

кольцо

Z[T(p),

Т(р, р)],

можно

погрузить Rp1 в полиномиальное

кольцо

QL4, В] с

двумя пере

менными А и В так, чтобы

Тогда

Т(р)Х

+ РТ(р,

р)Х2

(1 -

АХ)(1

ВХ).

со

Г (Pm) Xm+1

= [(1 -

АХ)-1

(1 -

5 Z ) " 1 ] /

(-4 -

В) =

(Ат-Вт)Хт1(А-В),

так что

т = 0

Поэтому

Т (рп) = ( 4 M + 1 - £ M + 1 ) / ( Л — 5 ) = S 4 Т - ' Я ' •

(pr) -

(/>')]/

( Л -

Л )

(рт) Т (ps) = [AS+1T

= ( Л 5 + 1

2 Л Г - £ Б ' - Б 8 + 1

2 4 ' . 0 / ( 4 - 5 ) =

= 2

(=0

t =0

—B)

^ ' 5 * (Ar+S~zi+1

— Br+s~2Ul)/(А

t = o

= 2

Р 1 Т ( Р \

Р 1 ) Т ( Р ^ - 2 1 ) ,

t =0

§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 91

что доказывает (4). Заметим, что равенство (4) — это частный случай равенства (3). Поэтому (3) следует из (4) и (3.2.1). Если к = 1, то

(5) — частный случай соотношения (4). Если к > 1, то из (2) и (4) находим

Т(р)Т(1,

ph)

Tip**1)

T{pt

p)[PT(ph^)

- T(p)T(ph-*)]

Til,

p h + 1 )

Tip, p)[ip

l J Z V - 1

) -

T(p)Tip*-z)].

Последний

член

Tip)T(pk~2)

задается

помощью

равенства (3),

мы имеем (5).

Согласно

предложению

3.18,

deg(7, (p))

с\2' =

р +

1 и

deg( r (p, р)) = 1. Применяя предложение

3.3

соотно

шению

(4),

получаем

ip + l ) - d e g ( T V O ) = d e g № " + 4 ) + p . d e g ( r ( p f t - i ) ) .

Индукцией по к легко проверить, что

<*)

deg(2'tP »))

= 1 + р

. . . +

рК

Из этого соотношения, предложения 3.3 и равенства (3.2.1) выте кает (7), а (6) следует из (*) и (2).

Сделаем теперь несколько замечаний относительно смысла эйле рова произведения из теоремы 3.21. Поскольку мы работали только с абстрактным кольцом /?(Г, А), эйлерово произведение рассматри валось как формальное. Теорема 3.21 представляет собой не анали тическое, а, скорее, арифметическое утверждение о свойствах коэф фициентов ряда Дирихле. Использование символа т~6 (до сих пор) не было связано с анализом: m~s — это только произвольная пере менная.

Теперь введем в рассмотрение некоторые соображения из анализа. Предположим, что кольцо R(Y, А) представляется на некотором векторном пространстве над полем С. Тогда элементы Т(т) действуют как матрицы с комплексными коэффициентам. Исходя из такого представления, приведенный выше результат об эйлеровом произ ведении, если оно сходится, дает аналитическое утверждение о неко торой матричнозначной функции комплексной переменной s, обла дающей некоторыми мультипликативными свойствами. Если матрицы Tim) привести одновременно к диагональному виду, то диагональ ные элементы в выражении для Z)(s) будут обычными рядами Дирих ле, каждый из которых обладает эйлеровым произведением. Это будет сделано в § 3.4 и 3.5.

В качестве примера рассмотрим простейшее представление

Д(Г, A) + Z, ГаГ н-* deg(raT)

(см. предложение 3.3). Тогда получим

2 deg(71 (7?i))m.-s =[{[

2 ( - 1)*

pW-Wclpp-b]-*.

7?]= 1

Р 1 = 0

92 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ I I ДЗЕТА-ФУНКЩШ

Но

вместе с тем справедливо равенство

(3.2.3)

( - l ) V ( i - 1

) / 2 C i l ) A ^ = (1 -X)

{1-рХ)

. . .

-р^Х),

i = 0

которое легко

доказать

индукцией по

п.

Таким

образом,

со

deg (Т И )

щ- = Ш

i (s -

. .. £ (* -

п +

1),

711=1

где

£ — дзета-функция

Рпмана.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.25. Пусть .F —локальное поле, т. е. конечное

алгеб

раическое расширение р-адического поля

Q p

либо поля формальных

степенных

рядов

от одпой переменной

над

конечным

полем. Пусть

г — максимальное

компактное

подкольцо

G =

GLn (.F), Г =

GL„ (г.)

Д =

{а £ M n ( t ) | det(a) Ф 0}.

В этом

случае

кольцо

ЩТ, А) является подалгеброй групповой алгебры группы G. Чтобы в этом убедиться, заметим, что группа G локально компактна п Г — ее открытая компактная подгруппа. Пусть R' обозначает модуль всех комплекснозначиых непрерывных функций / с компактным носителем, для которых f(axb) = f(x) при всех a £ Г и Ъ £ Г. Зафик

сируем такую меру Хаара ц. на G, что ц(Г) =	1. Для / и g из R' опре
делим произведение / * g формулой
f*g(x)=^f(xy-i)g(y)dii(y),	xeG.
G

Легко проверить, что / * g £ R' и что этот закон умпожеппя ассо циативен. Сопоставим теперь с каждым двойным смежным классом ГаГ его характеристическую функцию. Продолжая по С-линейности это соответствие, мы получаем С-линейное отображение из R(T, G) <g) <g)zC на R', являющееся на самом деле изоморфизмом колец. Далее мы можем развить теорию формальных рядов Дирихле (или фор мальных степенных рядов) аналогично тому, как это делалось выше, только вместо р мы должны взять число элементов поля классов вычетов кольца г по модулю максимального идеала.

УПРАЖНЕНИЕ 3.26. (А)

Пусть

{еи .

. ., еп)

— стандартный базис

решетки L =

и L v

У, Zet.

Докажите (индукцией

по п),

что

для

каждого

элемента

i = i

можно

найти

такие

представители

£ А

{ а г } ,

что ГаГ

U Га; - и

Lva.j

L v для v =

1, . .

., 7г.

(Б)

Сохраним

из

(А); для каждой решетки 71/ с : L ,

обозначения

для

которой

порядок

[ L : М]

равен

степени

числа

р,

положим

[ L v

: L v П М]

p°v и

ЦМ) =

Здесь Хи

. . ., Хп

—

И Z v v " a v - ' .

переменные и а0

= 0. Для ГаГ

v=l

£ А и det(a), равном

[} Гаг при а

§ 3.3. КОЛЬЦО ГЕККЕ ДЛЯ КОЫГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

степени числа		р, положим			Ф(ГаГ)		= 2 ЦЬсс;)		и продолжим		по
							г
Z-лниейностн отображение				Ф до		отображения		из	Др7" в Z[XU . . .
. . ., Хп].	Докажите,		что	Ф — сюръективный				изоморфизм		колец.
УПРАЖНЕНИЕ		3 . 2 7 .	Пусть / — положительное целое число и % —
некоторый	характер		группы		(Z//Z)". Найдите			выражение		для
			оо
			2		X(m).deg(T(m))m-s
			m = i
в терминах L-функций с характером							%. (Положите %(т) =			0 ,	если
т не взаимно просто с /.)
УПРАЖНЕНИЕ		3 . 2 7 ' . Докажите, что					при п =	2
		2	' I т \		I	m
т(Р)т=		2

(m\

где I I = m\lr\(m — г)!

§ 3.3. Кольцо Гекке для конгруэнц-подгруппы

Пусть Г, А и Y N те же, что в § 3 . 2 . Займемся теперь кольцом 7?(Г', А'), где Г' — подгруппа в Г, содержащая Г^- при некотором N , и А' — некоторое подмножество в А. Начнем с простой леммы.

ЛЕММА

3 . 2 8 . Пусть

а и

Ь — положительные

целые числа

и с —

их

наибольший

общий

делитель.

Тогда

Гс =

Г а - Г ь .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

£ Гс ,

то

существует

такой

элемент

В из M n ( Z ) , что

В =

1 rnod(a) и В == a mod(tj) в

соответствии

китайской

теоремой

об

остатках.

Тогда

det(B) =

1 mod(atVc).

силу леммы 1 . 3 8 (или ее доказательства) существует такой элемент

группы

Г,

что у == В mod(abfc).

Поэтому у

£ Г а , у~ха

6 Г 6

и а =

а-у1-а,

так что Гс

с ТаТь.

Поскольку обратное включение оче

видно, требуемое равенство

получено.

Зафиксируем

целое положительное число N и положим

AJV

6 M n (Z)

I det(a) >

(det(a),

N ) =

1 } ,

так что

A =

A j . Обозначим

через

естественное

отображение

из M n (Z) в M„(Z/./VZ). Зафиксируем

подгруппу Г'

в Г,

содержащую

Т N

, И ПОЛОЖИМ

Ф = (а 6 А * 1 М Г ' а ) = М « Г ' ) } .

Очевидно,

Ф =

AN,

если Г' =

Т N .

94 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

ЛЕММА 3.29. Пусть в прежних обозначениях а, Р £ Ajy-. Тогдасправедливы следующие утверждения:

(1) Г'аГ' = {I 6 ГаГ | %N(Q £ lN(T'a)}

если а € Ф;

(2) Г^аГ 1 У = Г^рГ^- тогда и только тогда, когда ГаГ = ГрГ

иа = р mod(iV);

(3)ГаГ = ГаГ' = Г'аГ;

(4)

Г'аГ'

= T'aTN

VNaT',

если а 6 Ф;

(5)

если

£ Ф

Г'аГ'

(J Г'а г

— разделенное

объединение,

та

ГаГ

[J Г а ;

— разделенное

объединение.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

доказательства

(3) положим

а =

det(a).

силу

лемм

3.28

и 3.9 имеем Г =

Г а Г ^ с : а - 1 ГаГдг г

так

что а _ 1 Г а Г с

а ^ Г а Г ^ .

Следовательно, ГаГ

с : Г а Г ^ сг

ГаГ' .

Так как обратное включение очевидно, то (3) доказано. Чтобы убе

диться

справедливости

( 1 ) , возьмем

£ 6 ГаГ

и XN(Q

6 ^лг(Г'а).

Тогда

g =

уа mod(iV) при у 6 Г'. В силу (3) имеем \ £ ГаГ^;

поэто

му

I =

бае при б ^ Г и е ^ Г ^ .

Тогда у =

б mod(iV). Так

как

Г^

сг

с=

Г',

то

е Г',

и потому

| е

T'aTN

Г'аГ'.

Обратно,

если

£ 6

6 Г'аГ', то

очевидно, что

§ £ ГаГ, и по определению множества Ф-

получаем

XN(h)

£ XN(T'a).

Утверждение

(1) доказано. Попутно

мы

доказали, что Г'аГ' cz Г'аГ^. Так как обратное включение очевидно, то доказано (4). Утверждение (2) является частным случаем утвер

ждения

( 1 ) . Наконец,

пусть

a 6 Ф

Г'аГ' =

U Г ' а ;

(разделенное-

объединение). Тогда ГаГ =

ГаГ'

U Г а ; . Предположим, что Г а ;

Га7-. Тогда а г

yaj

при у

£ Г. В силу ( 1 ) имеем а ;

ба7 - mod(./V)

при

б 6 Г'.

Но

тогда -у =

6 mod(/Y). Так

как

а Г',

то

у £

Г' г

так что Г'а^

= Г'а7 -, и (5) доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.30. Сохраним

прежние обозначения. Соответствие-

Г'аГ' и-*- ГаГ

при

£ Ф

определяет

некоторый

гомоморфизм

из:

Д ( Г ,

Ф)

R(Y,

А).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Р £ Ф

Г'аГ'

U Г ' а ; г

Г'рГ'

у Г ' Р ; — разделенные

объединения. В силу (5) (лемма 3.29)

ГаГ

= (J Га £

ГрГ

Гр^ —

разделенные

объединения.

Поло

жим

( Г ' а Г )

( Г ' р Г )

= S e t . ( Г ' ^ Г ) ,

Г де

с\ (Е Z.

Тогда

ГаГрГ

= ГаГрГ' =

ГаГ'рГ'

= *у

Г £ Г

при

тех

же самых \. Кроме того,

так

как

Р 6 Ф,

то

XN(f'Q

ХЛ г(Г'аР)

для каждого

£ б Г ' а Г ' р Т \

так

что,

согласно утверждению ( 1 ) леммы 3.29,

Г'ЕГ

{с

е TIT

I M £ ) е м г ' а р ) } .

§ 3.3. КОЛЬЦО ГЕККВ ДЛЯ КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

Следовательно, отображение Г'£Г' i—»• Г|Г взаимно однозначно. По

этому,

положив (ГаГ) (ГВГ) =

У, С 1, (Г£Г)

при

с5

£ Z,

получим

се

# {(*,

| Га,р,

У)

Щ,

tf{(i,

|Г'а; Р;

Г'5}.

Таким образом, достаточно показать, что Г'а^Р;

Г'| тогда и только

тогда,

когда

Гаг р; - =

Г£. Пусть

Гаг р7 - =

Г|.

Тогда

£ =

7агр_,- при

V е Г. Так как Xw (£)

6 M r ' a ^ ) , то Е =

6а; р; - mod(A)

при 66 Г'.

Но

тогда S =

у mod(TV); следовательно,

£ Г',

так что Г'аг р^ =

Г'£.

Поскольку

обратное

очевидно,

доказательство

закончено.

В дальнейшем

мы

будем

рассматривать лишь случай п = 2.

Пусть t — положительный делитель числа N и

I) — некоторая под

группа

в (ZA/VZ)X . Мы

будем

часто обозначать

той

же

буквой £)

множество всех целых чисел, классы вычетов которых по mod(A) принадлежат I). Определим полугруппы А%, А^ и группу Г' сле дующим образом:

(3.3.1)

(3.3.1')

	\| о б А \| Х д а ( о ) = 0 х			при * 6 ( Z / / V Z ) x j ,
iV	и	V	£A\|ii£f),	y = 0 m o d ( i ) , w = 0 m o d ( A ) ,
	W	Z

( 2 , iV) = l } »

(3.3.2; Г' = { 6 S L 2 (Z) I a e t), b = 0mod(i5),c = 0 m o d ( A ) J .

Такой вид имеют, например, группы Г 0 (А) и Г^. (Однако существуют некоторые группы, заключенные между Г и TN, которые нельзя преобразовать к группам такого типа никаким сопряжением внутри

Г.)

Легко видеть, что A'N =

А%Т'

Т'А%

Е А » с

Ф.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.31. В

прежних

обозначениях

соответствие

Г'аГ' t—»• ГаГ при

£ А^

определяет

некоторый

изоморфизм

из-

R(T',

A'N)

на R{T,

AN).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу

предложения

3.30

достаточно-

доказать инъективность и сюръективность рассматриваемого

отобра

жения. Пусть г) 6 &N и

b =

det(r]). Возьмем

такое

целое

число

с,

Г1

Тогда

det(r)9) ==

что

be =

1 mod(A),

положим

ср

= _0

1 mod(A). В силу леммы

1.38

существует

такой

элемент

у из

Г1

I T

Г,

что

у =

т)ф mod(A).

Тогда

mod (Аг );

следовательно,.

y~h\ =

ГЛ.	3.	ОПЕРАТОРЫ	ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
у h] £ Д]у и Ту гцТ		- FnT. Этим доказана		сюръективность.	Для
доказательства	пнъективности		рассмотрим а,	р £ А^ и а ==	1 О'
					О с

"1 О'

Р ^ О d mod(iV). Если ГаГ = ГрГ, то с = det(o) = det(P) =

=d mod(iV); следовательно, a == p mod(iY). Поэтому в силу (1)

{лемма	3.29) Г'аГ'	= Г'рГ'.	Этим доказана ииъективность, так как
R ( T ' , A ' N ) (соответственно			R ( T ,	A N ) ) является свободным		Z-моду-
лем, порожденным		классами Г'аГ'		(соответственно ГаГ) при а		Е к%.
Рассмотрим теперь множество
(3.3.3)	(Га	Ь~\				]
	Д' = \|	6 A \| a 6 t ) ,		b = 0 mod (0, с = 0 mod (YV) \| .
Это полугруппа, содержащая Г' и A ' N . Выясним структуру коль
ца Д ( Г , А').
Для	каждого простого числа			р положим	Ер = G L 2 ( Z P ) .	Тогда
для каждого элемента a £ А двойной смежный класс ЕраЕр						полно
стью определяется		р-частыо	элементарных		делителей матрицы a

и обратно. Далее, для целого положительного числа m будем писать тп | №°, если все простые делители числа m делят N. В таком случае каждое положительное целое число единственным образом записы

вается	в виде mq, где m \| JV00			и (q,	N) = 1.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.32. Пусть а				6 A ' , det(a) =		mq, т \ №°, (q,		N)	=
= 1.	Тогда	справедливы	следующие		утверждения:
(1)	Г'аГ'	= {р 6 А'	\| det(P)	= mq, ЕР$ЕР		= ЕраЕр	для всех	про
стых делителей р числа q}\
(2)	существует такой элемент £ из А', что det(£) =						q, и ЕР\ЕР		=

=ЕраЕр для всех простых делителей р числа q;

(3)	если 5 — элемент из (2) и и =		Г1	01
(3)	если 5 — элемент из (2) и и =		Q Т	> Т О
	Г ' а Г = (Г'ЕГ')-(Г'лГ')		= ( Г н Г ) - ( Г 1 Г ) ;
(4)	элемент с из (2) можно	выбрать из
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть	Х(а)	— множество,	определен
ное в правой части равенства (1). Очевидно, Г'аГ' сг Х(а).					Для дока-
					а	*
зательства обратного включения рассмотрим матрицу р					=	*
					*	*

6 А'(а). Так как числа а и mN взаимно просты,						то ае == 1 mo&(mN)
при некотором е 6 Z. В силу леммы 1.38 существует такой элемент у
из SL2	(Z), что у		е	01
' 1	tb		0	а	mo&~(mN). Так как р £ А', то у 6 Г' и у$ =
		mod	(mN)	при некоторых целых b и		/. Положим б
JN	*

§ 3.3. КОЛЬЦО ГБККЕ ДЛЯ КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

О'

Тогда б € Г' и SyB!

to"

mod (niN) при

некотором

-fN

l j

g 6 Z. Вычисляя определитель, получаем mq =

g mod(mA/),

так что

6 7 Р==

1 tb .

" 1

to"

I =

LO /ngj mod(miV). Положим

и =

e = .0

6 7 P s _ 1 ri _ 1 .

Тогда det(|) =

g и

£ =

0 mod(Ar ), так

что

| £

AjvДалее,

P 6 Г'|т|Г'. По

Ep<xEp

для

всех

построению

E V % E V

делящих g. Это доказывает (2) и (4).

Элемент I может зависеть от р. Покажем, что класс Г'^нГ" опре

деляется только элементом а н не зависит от выбора элемента р. Для этого выберем такой элемент ^ из А%, что det(^± ) = q и Ер^Ер =

=ЕраЕр для всех р, делящих д. В этой ситуации элементы | и £t

имеют одни и те же элементарные делители и, следовательно, Г£Г

Г^Г.

Так

как

\ =

£t

О gj mod(iV),

то

Г ^ 1 \

= Г Л - £ Д \ -

это

следует

из

утверждения

(2)

леммы

3.29; таким образом, ^

ф^1р при

некоторых

ср и

ар из Г^.

Согласно

китайской

теореме

об остатках, можно найти такой элемент 9 в группе М2 (й), что

0 = 1

inod(mJV)i

0 =

Tj-4p_ : L n

mod g - M 2 (Z p )

для

всех

делящих

Но

тогда

det(G) =

1 mod(m.giV). В

силу леммы 1.38 можно счи

тать,

что

0 Е SL2 (Z).

Тогда

0 €

Положим

со = £грт]9(£т|)_1.

Тогда

det(co)

со =

1 mod iV'M2 (Zp)

для

всех

р,

делящих

со == mod M 2 ( Z P )

для

всех

р,

делящих

д.

Поэтому

со 6 M2 (Zp) для

всех

р,

так

что

со 6 M 2 ( Z ) ;

следовательно,

со 6 I V

Так

как

Ъ\Щ =

coin©"1 ,

то

Г ' ^ Г '

= Г ' ^ л Г '

= Г'|г|Г'.

Это говорит о том, что класс Г'^пГ' определяется только элементом а. Кроме того, мы уже видели, что Г'аГ' cz Х(а) cz Г'|т)Г'. Тогда очевидно, что все три указанных множества должны совпадать, а это дает утверждение (1).

Из определения множества Х(а) следует, что для произвольного элемента |, упомянутого в (2), множества Г'^Г'ттГ' и Г'т)Г'|Г' содер жатся в Х{а). Поэтому

Г'аГ' = Г'|Г'т)Г' = Г'г|Г'£Г\

Чтобы доказать, что кратность класса Г'аГ' в (Г'£Г') -(Г'^Г') равна 1,

покажем	сначала,	что
(*)	если at	£ А', а 2 6 А' и Га 4 = Г а 2 , то Т'ссу = Г'а 2 .

7—01118

98	ГЛ.	3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ				И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Действительно,		положим		a t = Ya 2		при		у	£ Г	и
			at	ibf					"и к?
Тогда		К (ад	= 0	ail_ .	V	(у) =			V	X
Тогда				~uaz	uifr2		-\|-	wa„1
				~uaz	uifr2		-\|-	wa„1
		.0	* .	_щ2		*
так что	у = 0,	u =	aiffij1	6 £) и	£ \| ш;		следовательно, Y € Г'. Этим
доказано	утверждение		(*).	Пусть	теперь			Г'£Г' = U Г'£ г , Г'т)Г' =

= (J T'r\j — разделенные объединения. Согласно утверждению (*), i

классы Г|; различны и классы Гл. j тоже различны. Кроме того, в силу предложения 3.16

(Г£Г) -(ГиГ) = Г|Л Г = ГаГ.

Поэтому число таких пар (i, / ) , для которых Г£;Г|;- = Га, не боль ше 1. (Заметим, что класс РпГ может содержать смежные классы, отличные от Гп;-.) Следовательно, число таких пар (£, ;'), для которых

Г'ё;Г\|^ =	Г'а, не	превосходит 1, так что кратность класса	Г'аГ'
в ( Г £ Г )	-(Г'^Г') равна 1. Произведение (Г'т\|Г') -(Г'БГ) можно		иссле
довать с помощью		тех же рассуждений.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.33. Пусть а £ A ' , det(a) = т, где т \ №°. Тогда

m - l	."1	tr
r ' a r ' = { P 6 A ' \| d e t ( p ) = m} == U Г'	0	т
7=0	0	т
7=0
(объединение разделенное).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждение о	совпадении первых

двух множеств есть частный случай утверждения предложения 3.32. Что же касается последнего множества, то оно, очевидно, содержится

во втором множестве. Пусть (3 £ A ' , det(P)

= т. Рассмотрим частный

случай

q =

доказательстве

предложения

3.32.

Очевидно,

что

5Y 6

# Г

при

некотором

§ из Г N ,

некотором

целом числе h

б из Г'. Если

г и 0 ^

г <

и некоторых

элементах

у,

Ъ = mh +

т,

" 1

Г1

Щ Г1 t4l

Поэтому

р содержится

последнем

T ° 0 m

0 1

От'

множестве.

Для

доказательства

разделенности

предположим,

что

0 < r < s

—

tr'

ts~

a tb~

О-. т =

Y _0 т_ при у —

d е

г .

Тогда

" 1

'а

— с ctsJj-dm_

так что у должно быть равным 1. Доказательство закончено.

§ 3.3. КОЛЬЦО ГЕККЕ ДЛЯ КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

Для произвольного целого положительного числа п обозначим

через Т'(п)

сумму всех классов Г'аГ', в которых а 6 А' и det(a) = п.

Согласно предложению

3.33,

(3.3.4)

deg(7"(m))

- m,

если

| N<*>.

Далее, для

двух

положительных

целых

чисел

and,

для

которых

(3.3.5)

| d,

(d, N)

обозначим

через

Т'(а,

элемент

кольца

R{T',

A'N),

переходящий

'а

в Т{а, d) =

при изоморфизме R(V,

Д^) иа R(T,

Д),упо-

минавшемся в предложении 3.31. В этих обозначениях докажем

следующую теорему.

ТЕОРЕМА 3.34.

(1) Кольцо

R(V,

А') является

полиномиальным

над

Z с

образующими

вида

Т'(р)

для

всех простых

р,

делящих

Т'(1, р), Т'(р, р) для

всех

простых

р,

не делящих

Эти

элементы

алгебраически

независимы.

(2)

Каждый

элемент

Г'аГ'

при

а 6 Д'

единственным

образом

представляется

виде

произведения

Т'(т)Т'(а,

d) =

Т'(а,

d)T'(m)

при

| №°,

а \ d,

(d,

(3)

T'(m)T'(n)

T'(mN),

если

m \ №°,

n \ Nn.

(4)

Т\щп2)

Т'{щ)Т'(п2),

если (щ, п2) = 1.

(5)

Кольцо

R{V,

A')

® z Q

порождается

элементами

Т'(п),

где

п пробегает

поле

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждеипе

(2) следует

из

предложе

ния

3.32.

Если

т | №°

п \ №°,

то

силу

предложения

3.33

имеем

Т'(т)Т'(п)

сТ'(тп)

при некотором положительном целом числе с.

В силу (3.3.4) и предложения 3.3 с должно быть равно 1; этим дока зано (3).

В силу предложения 3.31 кольцо R(V, А') порождается элемен тами, перечисленными в (1). Доказательство алгебраической неза висимости этих элементов проводится непосредственно и предостав ляется читателю.

Наконец,		если п =	mq при			т \ №°		и (q, N) = 1,	то	Т'(п) =
=	T'(m)T'(q)	= T'(q)T'(m)		в силу (2). Поэтому, согласно					предложе
ниям 3.16 и 3.31, а также утверждению							(3), выполняется		(4).
	В силу утверждений (1) и (5) теоремы 3.24 и в силу предложе
ния 3.31		РТ'(р,		р)	=	T'{pf	-	Г(р«)

для	каждого	простого	р,	не	делящего		N;	вместе с (1) это		доказы
вает (5).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ