книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

ту входного импульса. Отрицательный перепад напря­ жения, соответствующий срезу импульса, распростра­ няется в линии со скоростью, меньшей, чем скорость положительного перепада, поэтому срез непрерывно отстает от фронта. Разность скоростей фронта и среза в обоих рассмотренных случаях пропорциональна

S2—Si.

Проведенное качественное рассмотрение механиз­ ма формирования импульсного сигнала в активной нелинейной линии позволяет сделать некоторые общие выводы о ее свойствах:

1. Линия обладает четко выраженным пороговым уровнем. Входные импульсы, превышающие этот уро­ вень, распространяются в линии, не затухая до исчез­ новения. Импульсы, уровень которых .ниже порогово­ го, быстро затухают до нуля.

2. Одновременно с формированием в линии проис­ ходит усиление (до некоторого предельного уровня) импульсов, амплитуда которых заключена между по­ роговым и предельным уровнями, и ослабление им­ пульсов с амплитудой, большей предельного уровня. Следовательно, на достаточно большом удалении от входа линии амплитуда импульса будет иметь посто­ янную величину, определяемую только свойствами линии и не зависящую от параметров входного сиг­ нала, а длительность определяется соотношением Si

иS2.

3.В линии возможно формирование и распрост­ ранение стационарного сигнала в виде перепада с ну­ левой длительностью фронта *).

Вобщем случае поведение воли напряжения и то­ ка в активных линиях описывается системой диффе­ ренциальных (1.1) или дифференциально-разностных (1.2) уравнений с линейной связью между Ф(г) и г

Бесконечно малая длительность фронта — результат идеа лнзации, не учитывающей влияние дисперсии и потерь.

80

[Q(«) и и] и нелинейной между током и напряжением па активных элементах (нелинейным функционалом /4,2). Поэтому математические методы анализа нели­ нейных активных линий те же самые, что и методы, применяемые для исследования нелинейных реактив­ ных линий. Процессы развития и установления ста­ ционарных волн рассматриваются на основе иссле­ дования укороченных уравнений волновых систем [23, 56]. Структура стационарных волн (решений, завися­ щих от одной переменной) \ = z— vi исследуются обыч­ ными аналитическими или качественными методами теории колебаний (метод фазовой плоскости, точеч­ ных преобразований и т. п.) [1—4]. Разумеется, в обо­ их случаях практически важными оказываются ре­ зультаты, полученные численными методами решения нелинейных волновых уравнений па ЭВМ, и данные экспериментальных исследований.

2 1. УРАВНЕНИЯ АКТИВНЫХ ЛИНИЙ. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Волновые процессы в распределенной активной ли­ нии передачи с низкочастотными потерями, эквива­ лентная схема которой приведена на рис. 2.1,а, опи­ сываются системой уравнений:

относительно переменных и = й—6/см и i (где й, i — общие ток и напряжение в линии, а 1(и)=1(й)—/ см) или одним нелинейным уравнением относительно пе­ ременной составляющей u{z, t) напряжения в линии:

LC^ “ l F + * C 4 r + L ^ + ^ / ( « ) = 0. (2-2)

Для распределенной системы с высокочастотными потерями (рис. 2.1,6) аналогичные уравнения относи­ тельно тока i и переменной составляющей напряжения

a(z, t) на линейном элементе имеют вид

в дальнейшем для анализа свойств активных линий. Обе линии (рис. 2.1,а, б), как будет показано ниже, имеют существенно различные свойства, поэтому их отдельное рассмотрение наиболее целесообразно с точ­ ки зрения более глубокого понимания процессов в ли­ нии как с низкочастотными, так и высокочастотными потерями.

Переходные процессы в линии, приводящие к обра­ зованию стационарных волн различных типов, иссле­ дуем на основе анализа решений укороченных урав­ нений, полученных из (2.2), (2.4) *).

Линия с низкочастотными потерями. Полагая поте­

в виде волны напряжения, форма которой медленно

*) Этот метод использовался ранее (§ 1.1) для получения и исследования укороченных уравнений нелинейных реактивных ли­ ний с малыми потерями.

82

в (2.5), найдем условие, при выполнении которого от­ брошенные члены (порядка р2) значительно меньше оставленных членов (порядка р). Проделав эту опера­ цию, получим неравенст­ во 6<С (2/м0) (дио/дт), из которого следует, что ре­ шение (2.8) применимо, когда входной сигнал имеет достаточно крутой фронт (скорость измене­ ния напряжения ип па фронте такова, что емко­ стный ток в линии значи­ тельно превышает ток че­ рез нелинейную проводи­ мость). При распростра­

нении крутизна фронта сигнала непрерывно возрастает при u<.Uo=pgU-i/2b, поэтому если это условие (вы­ полняется для входного сигнала, то в дальнейшем оно будет выполняться еще надежнее.

Решение (2.8) имеет одну особенность. Усиление сигнала происходит только до уровня Uo, а выше Uо затухает. Но так как точка u= U 0 не является точкой устойчивого равновесия, то напряжение не может стре­ миться к этому уровню; оно неизбежно должно дости­ гать значения U2. Ослабление сигнала при u>U0 сви­ детельствует лишь о том, что при u> U о не может формироваться и поддерживаться крутой фронт [от Uо до Uz напряжение будет изменяться гораздо медленее, чем до U0 и решение надо искать из уравнения

(2.2) или (2.5)].

Из (2.8) также видно, что если в линию поступит сигнал с амплитудой больше Uo, при u < U ь он будет затухать до нуля, а при u>tii — стремиться к посто­ янному значению U0 (рис. 2.5,о). Следовательно, кру­ тизна участка фронта сигнала с u<Uo (если U0> U i) будет непрерывно увеличиваться. Однако при этом бу-

84

ик

1

85

дет возрастать роль высокочастотных потерь г, учет которых станет, наконец, необходимым.

Линия с высокочастотными потерями. Полагая, как и в предыдущем случае, потери малыми (r= ur) и проделав аналогичную процедуру с заменой перемен­ ных, получим укороченное уравнение линии с учетом высокочастотных потерь:

/(х)=0]. Получить аналитическое решение уравнения (2.9), к сожалению, не представляется возможным. Однако из (2.9) видно, что по мере приближения фор­ мы волны к стационарной роль производной du/dx падает (ди/дх—Ю), а влияние потерь полностью со­ храняется и, по существу, как и в случае нелинейной реактивной линии, определяет ширину фронта ста­ ционарной волны. На рис. 2.5,6 приведена типичная экспериментально полученная картина формирования стационарного перепада напряжения из входного сиг­ нала с пологим фронтом. Видно, что качественное развитие разрыва здесь происходит так же, как и в нелинейной реактивной линии с динамическими по­ терями.

Искусственная линия. Если формирование импульс­ ных сигналов происходит в искусственной LC-линии с активным нелинейным элементом в каждом звене, описываемой дифференциально-разностным уравне­ нием

un+i- 2 u n + un_ ^ L C ^ + L ? t p - ,

то естественно предположить, что и здесь при малой нелинейности 1(и)=\\1(и) и отсутствии потерь ренщ-

86

ние также имеет вид Un{t) ~-=и(\ш, t-~nAt), где At —

запаздывание на звено (At—1/v).

Введя новые переменные n = p«, т = t—nAt и разло­ жив функции ип±1 в степенные ряды, получаем

Предполагая, как и ранее в § 1.3, величину А/-С <СДар и ограничившись в исходном уравнении первы­ ми шестью членами разложения ип±и приходим (по­ сле интегрирования по т) к укороченному дифферен­ циальному уравнению, описывающему волны в дис­ кретной линии с нелинейным током утечки:

Уравнение (2.9а) отличается от аналогичного урав­ нения для распределенной линии, как и в случае удар­ ных волн, наличием члена д3и/дт3 с более высокой производной.

Для входных сигналов с медленным (по сравне­ нию с At) изменением напряжения на фронте сигнала

— u(t—At), по виду полностью совпадающему с урав­ нением (1.26), учитывающим пространственную дис­ персию в реактивной нелинейной линии.

Как показали проведенные выше рассмотрения, полное аналитическое исследование процесса установ­ ления стационарных волн в формирующих активных линиях затруднительно. Поэтому в заключение опи­ шем некоторые качественные особенности процесса возбуждения импульса в линиях с высокочастотными потерями при различных параметрах входного (воз­ буждающего) сигнала. Это описание опирается на

87

результаты численного решения на ЭВМ уравнения

(2.4).

Расчет показал, что процесс возбуждения стацио­ нарной волны в линии носит качественно различный характер в зависимости от того, будет ли длительность Твх входного импульса больше или меньше длительно­ сти фронта стационарной волны Тф, зависящей только от параметров линии.

Если длительность входного импульса тЕХ^ 2тф, то амплитуда импульса при распространении его вдоль линии монотонно изменяется до стационарного уровня И2 , если UDX превышает пороговый уровень Unop, и уменьшается до нуля, если £/вх<£/Пор (рис. 2.5,в). Ве­ личина порогового уровня при этом почти не зависит от Твх и практически не отличается от уровня (рис. 2.2). Скорость изменения амплитуды импульса вдоль линии пропорциональна величине pg и увели­ чивается с увеличением тока смещения. Форма и дли­ тельность импульса изменяются мало. Влияние потерь незначительно.

Если Твх ^Тф, то амплитуда импульса изменяется вдоль линии немонотонно — кривая Un= f(z) на рис. 2.5,в имеет минимум. Величина порогового уров­ ня в этом случае сильно зависит от твх (зависимость ^пор(твх) близка к гиперболической), а форма им­ пульса значительно изменяется по мере распростра­ нения. Энергия импульсов с амплитудой Unор мини­ мальна ПрИ ЭТОМ При ТВх~1,2Тф.

Уменьшение амплитуды импульса при U1< U UX<U 2 на начальных участках линии объясняется тем, что в линиях рассматриваемого типа эффективное преоб­ разование энергии постоянного тока смещения в энер­ гию бегущей волны возможно лишь на частотах, не превышающих некоторой предельной частоты fnp, опре­ деляемой величиной высокочастотных потерь и дис­ кретностью линии и однозначно связанной с Тф. Для коротких входных импульсов, основная энергия кото-

88

рых сосредоточена в высокочастотных компонентах спектра, превышающих fnр, линия является пассивной, что и приводит к уменьшению амплитуды импульса. Одновременно с этим происходит расплывание им­ пульса за счет дисперсии в линии (пространственной п временной), и основная энергия импульса переме­ щается на более низкочастотные компоненты спектра. Когда длительность импульса в результате расплыва­ ния достигнет величины порядка Тф, становится воз­ можным эффективное усиление импульса в линии. Дальнейшее изменение амплитуды импульса происхо­ дит примерно так же, как и в случае возбуждения им­ пульсом с Тпх^ 2тф.

Таким образом, при возбуждении линии коротким входным импульсом усиление импульса начинается лишь после достижения им в результате расплывания

статочно большой амплитуды, превышающей U\). Процесс установления стационарных волн в нели­

нейной искусственной линии с активными параметра­ ми, как показали численные расчеты и эксперимен­ тальные исследования, имеет аналогичный характер

[П6].

2.2. СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ

Линия с низкочастотными потерями. Рассмотрим вначале бесконечную линию, эквивалентная схема ко­ торой показана на рис. 2.1,о. Для стационарных волн « = н (2—vi)= u(l) уравнения (2.5), описывающие по­ ведение волны напряжения в этой линии, имеют вид

Нетрудно видеть, что в исходном состоянии система находится в одном из положений равновесия i —0, и —

89