книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

Качественное исследование структуры ударных волн, проведенное выше, не позволяет непосредствен­ но получить необходимые для расчета формирующих систем количественные оценки характерных парамет­ ров волны: длительности фронта, амплитуды, периода и времени затухания осцилляций за ее фронтом и т. д. Такие оценки удается извлечь из аналитического или численного решения исходных или укороченных урав­ нений.

В качестве примера аналитического исследования структуры ударной волны найдем приближенное решение нелинейного диф­ ференциального уравнения (1.26), допуская аппроксимацию ха­ рактеристики Q(u) полиномом третьей степени: Q(u )=CoU—D2u3 (Со, Ь 2— постоянные, положительные коэффициенты).

Укороченное уравнение (1.26) в этом случае запишем >в виде системы *>

i£dLJ2

где согласно (1.24) А2= ( 1—D2U2/Co).

При достаточно малом значении г (таком, что г=цг) для решения полученной системы можно применить метод усреднения

мкнутые кривые типа эллипса, вложенные друг в друга. При за­ данном значении А представляющая точка совершает на плоско-

*> Поскольку качественное влияние сопротивлений R и г на структуру ударной волны одинаково, в (1.26) для простоты вы­ числений положим т н=0 и, кроме того, будем считать, что U| = 0

и Q{Ui) = 0, a U?=U .

40

сти у, и периодические движений с периодом

При учете диссипации (р.=5^0) характер движения представ­

ляющей точки на фазовой плоскости существенно изменится: она

Для исследования этого движения будем считать параметр А

т«,

- у - j" u2dx = - у - j* и2duly = u2E (k, я/2)/F (k, я/2);

dA (т)

I- f И (х)]

где f[A(x)] — правая часть исходного уравнения, в которой заме­ нены переменные и* и4 на средние значения и* зависящие

только от А (т).

*> Отметим, что усреднение здесь ведется по периодическим функциям, отличным от гармонических, однако, так как p-C l, та­ кое усреднение вполне корректно [101].

41

Нетрудно показать, что. начиная с некоторого момента вре­ мени т>т* значения Mi«0,14£/, средние значения а2 и ГА с до­ статочной степенью точности приближаются к величине U2 и /У4. В этом случае решение для А (т) выглядит значительно -проще:

(U0= A (т = т *). Аналогично может быть найдено приближенное

выражение А (т) для начального участка колебаний, где иi2«

« 2 t/2, и22~0.

Изменение амплитуды колебаний за фронтом ударной волны определяется как разность значений щ—«2, в частности, для

Тнач. характеризующим изменение напряжения на фронте удар­ ной волны от 0,1Ы| до 0,9«ь

Кроме того, метод усреднения справедлив лишь при выпол­ нении неравенства Тнач'СТз, что всегда выполняется в реальных линиях. С другой стороны, как уже было отмечено, время запаз­ дывания фронта стационарной ударной волны на одно звено ли­ нии А должно быть много меньше некоторого характерного вре­ мени т, равного по порядку величины тНачЭто выполняется тем лучше, чем меньше параметр D2, т, е. чем меньше нелинейность характеристики Q(u). Следовательно, вышеизложенное справедли­ во для слабых ударных волн.

В большинстве практических случаев основной ин­ терес представляют сильные ударные волны. Однако при,исследовании их структуры почти всегда необхо­ димо учитывать времена релаксации нелинейных ве­

42

ществ, поэтому метод исследования стационарных ударных волн рассмотрим на примере формирующих линий с ферромагнитным и сегнетоэлектрическим за­ полнением.

Структура стационарных волн в линии с нелинейны­ ми элементами, описываемыми динамическими уравне­ ниями связи. Рассмотрим систему нелинейных уравне­ ний (1.5) и (1.7) предпола­ гая, что емкость звена ли­

нейна (Q(u)=C0u), а ин­ дуктивность — катушка, на­ мотанная на тороидальном ферритовом сердечнике, ди­ намика перемагничивания которого полем ударной волны Hi,=PoihZo (рис. 1.12)

описывается уравнением (1.5). В этом случае систе­ ма укороченных уравнений

та). Рассматривая укороченные уравнения для разных

43

k, исследуем структуру стационарных ударных волн в формирующих линиях различного вида.

Структура ударных волн в линии с распределенны­ ми параметрами. Особенностью уравнения связи (1.5) является то, что оно полностью исключает возмож­ ность разделения нелинейных и диссипативных эффек­ тов. Потери на перемагничивание феррита возрастают тем больше, чем быстрее изменяется ток и напряжение на фронте ударной волны. По сравнению с этими поте­ рями потери в линейных элементах звена линии (г) могут быть пренебрежимо малы. Положив в уравне­

дисперсии. Это решение представляет интерес в том отношении, что позволяет исследовать и сравнить раз­ дельно влияние дисперсии линии и диссипации ферри­ та на структуру фронта ударной волны.

Укороченные уравнения для k= \ имеют вид

Сведя эту систему к одному уравнению и проинтегри­ ровав его дважды по времени с учетом начального условия i — I i= 0, m = mi при t-*— оо, получим

Подставив выражение для Д2 и положив m%= 1 (что

соответствует полному насыщению феррита при (=

44

= /2), найдем в неявном виде |(т):

и совпадает с формулой, полученной в работе [5]. Видно, что форма стационарной ударной волны то­

ка t(т), распространяющейся в нелинейной линии с распределенными параметрами, представляет моно­ тонно изменяющуюся функцию от / = 0 при t^>— оо до

у), его начальной намагниченностью яд и установив­ шимся значением амплитуды действующего в феррите магнитного поля Н = р012. Безразмерное время нара­ стания начального участка фронта волны при этом равно

Тн=[ауроТо(1—nii)I2l (1 + а 2)]-1.

Отмстим, что для линии передачи с нелинейными сегнетоэлек-

системы относительно напряжения и(т), выраженного в неявном виде, с учетом граничных условий, находится сравнительно просто:

45

д нелинейной линии передачи с сосредоточенными па­ раметрами, соответствует учет в (1.28), по крайней мере, двух членов суммы по k * \ Система (1.28), про­ интегрированная дважды по времени с учетом гра­ ничных условий /i = 0, di/dx = 0 и т = т 1 при — оо; приобретает в этом случае вид

личным направлением тока). Эти состояния равнове­ сия являются «грубыми», поэтому топологическую структуру их исследуем по линеаризованным уравне­ ниям.

Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать линию, нелинейным элементом которой является только индуктивность с ферритом.

**> Отметим, что постоянная тг предполагается малой' по

сравнению с А. В противном случае в (1.30) надо учитывать производные более высокого порядка малости.

47

Нетрудно видеть, что состоишь равновесия 1 яв­ ляется седлом-фокусом (при ъу<2) или седлом (при тс>2), а состояния 2 и 5 ^ устойчивыми фокусами (при тс<2) или устойчивыми узлами (тс>2).

Структура фазового пространства изображена на рис. 1.14. Видно, что в рассматриваемом случае суще-

Рис. 1.14. Структура фазового пространства (а, б) и зависимость

намагничивания и тока от времени в стационарной ударной вол­

не (в).

ствует одна интегральная кривая — сепаратриса седла (седла-фокуса), описывающая переход из состояния 1 в состояние 2. Соответствующая этой кривой функция

ничивание изменяется монотонно [это видно и непосред­ ственно из (1.30) при t> 0], а закон приближения т к единице не зависит от параметра тс[^= —2Si(l—т)].

48