книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

относительная расстройка (причем Л<§С1) и 6= = /?/a)HLo — параметр, характеризующий относительные

с положительной амплитудой Л > 0 (поскольку £>i>0). Взаимодействие отрицательных импульсов с Л < 0 (при Di<0) описывается аналогичной системой урав­ нений.

Из ближайшего рассмотрения уравнений (5.20), (5.21) видно, что при некоторых значениях парамет­ ров т, А, б в системе возможны нарастающие колеба­ ния (dA/dx>0), амплитуда которых стремится к не­ которому устойчивому уровню. Действительно, пусть амплитуда импульсов в некоторый момент времени та­ кова, что скорость импульсов равна скорости волны накачки ( и = Уц, т. е. d(p/dx~0 при dC/dv<0 ) , а соот­ ношение между параметрами т, Д и б такое, что энер­ гия, отдаваемая накачкой импульсу, равна энергии потерь импульса. Тогда при случайном малом умень­ шении амплитуды импульса его скорость уменьшится [так как у2~ Л , см (5.19)], производная dcp/dx станет отрицательной, а это значит, что импульс начнет пере­ мещаться по накачке в область ф<фо (см. рис. 5.5). Если при этом значение производной dC/dx возрастет, то от накачки будет передаваться импульсу больше энергии, чем это необходимо для компенсации потерь, и амплитуда импульса начнет возрастать. Этот про­ цесс вначале будет препятствовать уменьшению раз­ ности скоростей v—ун, а затем может привести к тому, что скорость импульса у станет больше скорости вол­ ны накачки ун; производная dqtfdx сменит знак на об­ ратный и импульс возвратится в исходное состояние (Фо, Л0). Аналогичное рассуждение показывает, что импульс может возвратиться в исходное устойчивое по­ ложение (фо, Л0) и при случайно малом увеличении его амплитуды.

240

Более строгие выводы можно получить, проведя ка­ чественное исследование системы уравнений (5.20), (5.21) (см. (104]). Правые части этих уравнений неод­ нозначны (периодичны) по <р, поэтому фазовое про­ странство системы является цилиндром (или его раз­ верткой на плоскости —оо< Л < + 1, 0 : <р 2л). Урав­ нение интегральных кривых

при любых значениях параметров т, А, б имеет толь­ ко одну замкнутую траекторию А —0, охватывающую цилиндр, что можно показать, используя критерий Дюлака. Это значит, что исследуемая система не име­ ет периодических решений.

Из уравнения (5.20) следует, что при б>т в си­ стеме возможны только затухающие импульсные коле­ бания. Поэтому исследуем случай, когда б < т . При этом область значений <р, в которой происходит уси­ ление импульсов, определяется неравенством

Возможным значениям, к которым стремятся пере­ менные А и (р при усилении, соответствуют следующие точки равновесия системы (5.20), (5.21):

Анализ характера особых точек и поведение фазо­ вых траекторий позволяет выделить четыре области значений параметров т и А, поведение системы в ко­

— (т2—б2)1/2 «£ А ^Д-]- (пг2—62)1/2. При этом на фазовой плоскости отсутствуют замкнутые интегральные кри­

241

вые (за исключением Л = 0); все траектории заканчи­ ваются в устойчивых узлах (или фокусах). Таким об­ разом область I значений параметра Д соответствует мягкому режиму возбуждения колебаний. Фазовый портрет для этого случая изображен на рис. 5.6,а. Фи­ зически это означает, что в точке ф=ф4 малые возму­ щения движутся синхронно (с одинаковой скоростью) с волной накачки, находясь в области, где параметри­ ческое усиление преобладает над затуханием. Поэто­ му импульс с любой начальной фазой и сколь угодно малой амплитудой, перемещаясь по волне параметра (накачки), оказывается в окрестности точки ф4 и на­ растает в дальнейшем до одного из стационарных зна­ чений (5.22) по закону

А—А0ехр{—2/3(6— ( т 2—Д2) ll2]kn}.

Вобласти II ( т 2—62)1/2<СД-Сот также четыре со­ стояния равновесия: устойчивый фокус (ф2, Л2), два

седла (ф1, At и ф3, Л3) и устойчивый узел (ф4, Л4)

Р и с . 5.6. Ф а зо в ы е п о р тр еты си стем ы (5.20)

а ) мягкий режи.с;

242

с фазовым портретом, приведенным на рис. 5.6,6. Вид­ но, что интегральные кривые, проходящие вблизи О,

(5.21) для разных значений параметра А:

б, в) жесткий (P = t>0/oH).

243

заканчиваются в узле (ф4, Л4), поскольку в окрестно­ сти точки А = О, ф4, при заданных выше значениях па раметра А затухание возмущений, синхронных с вол­ ной параметра, преобладает над усилением. Это при­ водит к затуханию импульсов малой амплитуды и уси­ лению импульсов с достаточно большой амплитудой. Поэтому область II соответствует области жесткого режима возбуждения и'усиления импульсов.

В области III значений параметра А>т имеется два состояния равновесия: седло (cpi, Л4) и устойчивый узел (фо, Л2). Характер возбуждения здесь соответст­ вует жесткому режиму (рис. 5.6,б). Однако скорость малых возмущений не равна скорости волны накачки и синхронизм отсутствует для импульсов малой амп­ литуды (на оси Л = 0 нет положений равновесия), по­ этому малые импульсные возмущения затухают. От­ личие от предыдущего случая состоит в том, что им­ пульсы, затухая, не приобретают определенной фазы

го режима, соответствующего импульсу с постоянны­ ми значениями А и ф, как это было показано ранее, связан с «расстроенным» механизмом. С изменением амплитуды импульса (а следовательно, его скорости) возникает рассинхронизм между движением импульса и накачкой. В результате импульс перемещается в об­ ласть (по ф), где параметрическое взаимодействие приводит к изменению его амплитуды (скорости), про­ тивоположному тому, которое вызвало начальную рас­ синхронизацию. Импульс начнет обратное «скольже­ ние» и вновь возвратится в область с большим усиле­ нием. Затем картина повторится. Таким образом, в процессе установления стационарного режима им­ пульс совершает несколько затухающих колебатель­ ных движений в окрестности равновесных значений

244

фазы ср волны накачки. Строго говоря, и амплитуда волны накачки при этом не остается постоянной: она максимальна при наименьшей величине импульса и минимальна при наибольшей. Однако изменение амп­ литуды волны накачки незначительно и его можно (как это и было сделано в приведенном выше анали­ зе) не учитывать.

Аналогичная картина установления наблюдается в не рассматриваемом здесь, но наблюдаемом экспе­ риментально режиме, когда на одной и той же полу­ волне накачки одновременно возбуждаются не один, а два и более импульсов. Этот режим, по-видимому, обусловлен существованием нескольких точек равно­ весия (по ф) и связан с зависимостью энергии потерь от интенсивности взаимодействия импульсов между собой, не учитываемой в развитой здесь теории.

В заключение отметим, что проведенное рассмотре­ ние справедливо не только для неограниченной волно­ вой параметрической системы, но и для ограниченной, выполненной в виде кольца или отрезка линии-резо­ натора со стоячей волной накачки, поскольку взаимо­ действие встречных волы накачки здесь несуществен­ но. Переотражение импульсов от границ (в случае от­ резка) приводит лишь к возрастанию потерь за счет границ. Основное отличие непринципиально и заклю­ чается в том, что эффективная генерация импульсов становится возможна лишь при частотах накачки, близких к любой из собственных частот резонатора.

5.3.ПАРАМ ЕТРИЧЕСКИЙ ГЕНЕРАТОР. З О Н Ы ГЕНЕРАЦИИ

Вреальных параметрических системах амплитуда генерируемых импульсов обычно существенно превы­

шает амплитуду волны накачки. Перекачиваемая в импульс энергия значительна, и это приводит к до­ полнительному затуханию волны накачки, что экви-

245

валентно изменению эффективных потерь в резонато­ ре. Таким образом, всегда существует реакция им­ пульса на накачку, которую необходимо учитывать при расчетах.

Учет реакции накачки приобретает особое значение

Поэтому параметры волны накачки для этих режимов нельзя считать постоянными. Кроме того, подключение источника накачки к резонатору обычно осуществляет­ ся в одной точке через большое (по сравнению с ро) развязывающее сопротивление резистора Rcв (рис. 5.7). Таким образом, исходными для расчета данными ока­ зываются не параметры волны накачки, существующей в резонаторе, а амплитуда напряжения внешнего ис­ точника. Общее решение задачи с учетом реакции на­ качки усложняется, поэтому изложим его здесь при некоторых упрощающих предположениях, следуя рабо­ те [104].

Предполагая, что вносимые импульсом нелинейные потери приводят, как и обычные потери (сосредото­ ченные на границе или распределенные вдоль резона­ тора), к затуханию волны накачки по закону, близко­ му к экспоненциальному, волну накачки в резонаторе можно представить в виде суперпозиции двух бегу­ щих в противоположных направлениях волн (мп =

246

На конце резонатора в точке n = N — точке под­ ключения источника накачки, выполняется очевидное соотношение

гд ее^ Д о + ДнСоэ^нН-фо). Подставляя (5.23) в (5.24), получаем уравнение, описывающее изменение харак­ терных параметров волны накачки (при ti = N) с уче­ том линейных потерь в резонаторе и на границе, а так­ же нелинейных потерь за счет реакции импульса на накачку.

Далее предположим, что импульс расположен на одном и том же месте (в одной фазе) на волне на­ качки. Строго говоря, это не совсем так. При неравно­ мерном распределении амплитуды волны накачки им­ пульс будет «плавать» по ней, поскольку в разных сечениях резонатора (разных п) соотношение между энергией, перекачиваемой в импульс, и энергией эф­ фективных потерь различно. Однако ввиду того, что потери в резонаторе параметрического генератора ма­ лы (такие, что можно считать ехр(—an) « 1—an), амплитуда и скорость импульсов (а следовательно, и их положение на накачке) в среднем будут практиче­ ски постоянными, а режим работы генератора стацио­ нарным.

Наличие малого на длину резонатора затухания обусловливает медленность изменения огибающей вол-

247

ны накачки и ее фазы во времени. Поэтому разлагая в (5.23) после подстановки в (5.24) амплитуду UH и фазу ф в ряд по параметру N/vo, можно пренебречь

Усреднив затем полученное равенство за время пери­ ода накачки, получим уравнения первого приближения для амплитуды и фазы волны накачки, которые после несложных преобразований приводятся к виду

= poEnDi/2RCBCo — нормированная амплитуда источни­ ка накачки; Д= ин/оо—1—fH//p—1— относительная рас­ стройка частоты источника накачки от резонансной частоты р-й моды резонатора.

В(5.25) коэффициент затухания

а(Л) =/го(6)1/2Л3''2вт ф /т

(По— число импульсов в резонаторе) учитывает нели­ нейные потери накачки, обусловленные генерируемыми импульсами. Этот коэффициент находится из уравне­ ния баланса энергии для накачки (аналогичного урав­ нению баланса энергии (5.16) для импульса] при усло­ вии равенства работы, производимой полем накачки

248

над импульсом

о о

потерям энергии накачки в резонаторе за время, рав­ ное периоду накачки.

Отметим, что в (5.25), (5.26) учтено то обстоятель­ ство, что при малых расстройках от резонансной ча­ стоты небольшой скачок фазы 2n(fH/fp—1) волны на­ качки в точке подключения внешнего источника экви­ валентен изменению скорости накачки в /н//р раз.

т, ф, 0 на интервалах времени, больших времени про­ бега волны вдоль резонатора. Система этих уравнений является исходной для расчета параметров генерируе­ мых импульсов и режимов работы генератора при за­ данной накачке.

Полный анализ системы уравнений (5.20), (5.21), (5.25), (5.26) провести затруднительно, поэтому рас­ смотрим здесь только стационарный режим работы генератора, когда выполняется условие d/dx — О. В этом случае имеем систему из четырех алгебраических урав­