книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

феррита и переполяризаций сегиетоэлёктриков не­ сколько отличны, хотя внешне имеется много общего в динамических моделях, положенных в основу физи­ ческой интерпретации этих процессов. Поэтому рас­ смотрим динамические уравнения для ферритов и сегиетоэлектриков поочередно.

1. Для сравнительно слабого магнитного по пригодно уравнение, описывающее движение стенок доменов. Однако для сильного и быстро изменяюще­ гося поля, характерного для ударных волн, доменная

цессия) вектора намагниченности М, феноменологи­ чески описываемое уравнением

~ - = Y [МН] — R,

где у — гиромагнитное отношение для спина, Н — действующее магнитное поле, R — диссипативный или релаксационный член, обусловленный тепловым рас­ сеянием энергии. Релаксационный член можно за­ писать в форме, предложенной Ландау и Лифши-

цем [14]:

R = -^[M [M , Н]],

где а — безразмерный параметр затухания, или в фор­ ме, предложенной Гильбертом [15]:

R = ^ - [ M , dmfdt]

для устранения противоречия, возникающего при описании характеристик импульсного перемагничивания исходя из уравнения Ландау и Лифшица и за­ ключающегося в том, что с ростом а время перемагничивания убывает.

10

Уравнение движения в форме Гильберта отобра­ жает однородную прецессию намагниченности, поэто­ му оно пригодно для анализа процессов перемагничиванпя только насыщенного феррита с малыми по сравнению с действующим внутренними полями ани­ зотропии, обменными и другими полями. На практике сильное постоянное поле насыщения, как правило, отсутствует. В этом случае иеремагнпчпвание проис­ ходит неоднородно (некогерептно), а материальное уравнение получается путем усреднения уравнения Гильберта по достаточно большому (в масштабе дли­ ны спиновых волн) элементу объема феррита. Усред­ ненный вектор намагниченности М коллпнеареп век­ тору Н, а изменение величины Mi, (проекции М на направление действия Н) описывается уравнением

нелинейные н дисперсионные эффекты здесь связаны с диссипацией: при а— >0 нелинейность отсутствует. Во-вторых, время перемагничивания т и, следователь­ но, коэффициент переключения Sw = xH принимают наименьшее значение при а =1 (при и— >-0 или а— *оо, т— »-оо), что согласуется с экспериментальными дан­ ными [16].

2. Теория физических процессов при перенолярпзации сегнетоэлектрнка разработана еще недостаточ­ но полно; существует ряд во многом противоречивых гипотез, основные из которых изложены в работах [17, 18]. Примечательно, однако, то, что, несмотря на некоторую неопределенность в объяснении механизма переполярпзации сегнетоэлектрнка, феноменологиче­ ское описание процесса, как показали эксперимен­ тальные исследования, почти одинаково для всех предложенных динамических моделей: поведение про­

И

екции электрической поляризации Р, отнесенной к единице объема плоского сегнетоэлектрика, на на­

где функция /( f ) для слабых полей (f<t;10—15 кВ/см)

коэффициенты, зависящие от температуры и толщи­ ны кристалла; Р — постоянная поляризация насы­ щения.

Уравнение движения (1.6) по своей внешней структуре (особенно для сильных электрических по­ лей) совпадает с уравнением (1.5), поэтому сохра­ няет существенную особенность, характерную для обоих уравнений. Эта особенность заключается в том, что даже при сколь угодно медленных изменениях внешних полей (т. е. при стремлении скорости поля­ ризации и величины электрического поля к нулю) оно не переходит в уравнение, определяющее однознач­ ную квазпстатпческую зависимость РГ(Е) [а следова­ тельно, н Q («)].

Связь между погонным потоком Ф, зарядом Q и соответственно намагниченностью Ми и поляризацией

где ц — коэффициент заполнения линии ферритом или сегнетоэлектриком; постоянные ро, Ьй—характери­ зуют геометрию (форму, размеры и т. п.) линии. Предполагается, что поля E ~ b 0u однородны по сечению нелинейного материала.

12

Волновые процессы в линиях передачи будут про­ текать существенно различным образом в зависимо­ сти от свойств нелинейных элементов. В частности, от того, описываются ли эти свойства квазистатическими уравнениями связи или динамическими, т. е. являются ли свойства нелинейных элементов не за­ висящими от частоты или частотно-зависимыми. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать переход­ ные и стационарные процессы в волновых системах в зависимости от вида их нелинейных элементов.

1.2. ОБРАЗОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ УДАРНЫХ ВОЛН.

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Простые волны. Волновые процессы в формирую­ щих линиях с нелинейными элементами, свойства которых практически не зависят от частоты в опре­ деленном диапазоне, а характеристики O(i) и Q(u) описываются квазистатическими уравнениями, иссле­ дуются путем совместного решения системы волновых уравнений (1.1) и уравнений связи (1.3). Методов, позволяющих найти общее решение системы (1.1), (1.3), практически нет, однако известны ее частные (римановы) решения, называемые по аналогии с тер­ минологией, принятой в газодинамике, простыми вол­ нами [8]. Для отыскания этих решений систему (1.1) поедставляем в характеристической форме [20] (Кг = 0):

[Q' {и)]'/Чи=±{Ф'

13

ляемые начальными условиями.

Решения (1.8) представляют волны, каждая точка профиля которых перемещается со скоростью v(u, г), зависящей от мгновенных значений напряжения и то­ ка в этой точке, т. е. простые волны. Если Q (и) и Ф(г) — монотонно убывающие функции, то с большей скоростью будут распространяться те точки профиля волны (импульса), в которых значения и и i по абсолютной величине больше. Следовательно, крутиз­

стающие функции, то неоднозначность появляется на спаде импульса [21]. Такая неоднозначность лишена физического смысла; фактически решение (1.8) ста­ новится разрывным — возникает ударная волна. Мо­ мент t* и координата г* точки образования разрыва определяются уравнениями:

Разрыв возникает в точке и, i=U*, I*. Па рис. 1.2 показана картина возникновения разрыва при U* = 0,

/ * = 0.

Простые волны в наносекундном диапазоне наибо­ лее характерны для линий передачи, нелинейными элементами которых являются емкости р-п-перехода в полупроводниках. Поэтому в качестве примера опре­ деления координат разрыва t*, z *, рассмотрим линию

14

согласно (1.86), решением t—z/v(u)=ty(u). Диффе­ ренцируя ф(ы) по и, определим первую и вторую производные, которые в момент образования разрыва равны

dty/du^zdty-i);

d ^ /d u 2= zd2(v~l)/du2.

Решение этих двух уравнений совместно с уравнением для ф(и) определит искомые величины: координату 2= z* и момент времени t = t* образования разрыва,

Рис. 1.2. Деформация профиля простой волны в линии:

-------- теория; — — “ численный расчет на ЭВМ [26].

а также значение напряжения u —U* в точке разрыва. Отметим, что в реальных условиях разрыв функций тока и напряжения не образуется (длительность фронта всегда конечна), так как к моменту /* урав­ нения связи, не зависящие от времени, теряют свою силу, хотя телеграфные уравнения остаются справед­ ливыми. .

Граничные условия. Связь значений тока Д и на­ пряжения перед фронтом волны и после фронта (Д, /Д), т. е. по обе стороны разрыва, определяется граничными условиями, которые получаются путем интегрирования телеграфных уравнений (1.1) при /4,2= 0 в области разрыва в предположении, что раз­ рыв движется с постоянной сокростью Пр. Поэтому ток и напряжение можно считать зависящими только от одной переменной t,=z—vpt [8]. После интегриро­ вания получаем граничные условия в виде

/г—li — vpiQz Qi);

15

откуда скорость распространения разрыва (фронта ударной волны):

(Ui-Ui) (/2—/i)/(Qa—Qi) (Ф2- Ф 1). (1.10)

Справедливость граничных условий тем строже чем меньше длительность фронта ударной волны по сравнению с характерным интервалом времени, на

Следует отметить, что не все волны, удовлетво­ ряющие граничным условиям (1.9), могут преобразо­ вываться в ударные и устойчиво существовать в не­ линейной линии. Для устойчивости фронта ударной волны необходимо выполнение неравенства

0*1< Ор< 0*2,

где 0*1,2— скорость сигналов с малой амплитудой впереди и позади фронта ударной волны [22].

Распространение ударной волны всегда сопрово­ ждается диссипацией энергии в области ее фронта. Решая совместно уравнения баланса энергии для этой области с уравнениями граничных условий, можно определить мощность Р, диссипируемую на фронте ударной волны [5, 8]. Так, например, для слу­ чая нелинейной связи Q(u) и линейной Ф(г)

Qa

*> Граничные условия (1.9) справедливы и для цепочечных линий, процессы в которых описываются системой дифференциаль­ но-разностных уравнений (1.2), когда длительность фронта удар­ ной волны становится соизмерима с постоянной времени звена линии.

16

с граничным условием: при 2 = 0, и(0, t)=Uo(t). Предположим, что зависимость Q(u) слабонели-

ьейная (что справедливо для малых амплитуд Uо входного сигнала) и может быть представлена в виде полинома: Q(u) =C0u—Dlu2. Считая, что затухание также мало и вводя малый параметр р, имеем G=

=pG, Di = \iDi (£>i>0).

Вотсутствие затухания и нелинейности уравнение (1.11) согласно (1.8) имеет решение

u=f{t—z/vо); [п0= (LoCo)-1/2].

Естественно предположить, что и при малом зату­ хании и нелинейности уравнение (1.11) сохраняет в основе тот же самый вид решения, но форма функ­

Интегрируя по т, получаем более простое по сравне­ нию с исходным уравнение, которое описывает рас­ пространение волн в рассматриваемой нелинейной линии:

чае принятых граничных условий следует положить равной нулю: ao= poE>i; 6o = p0G/2; p02= L0/Co. Решение этого уравнения в неявном виде легко находится

18

методом характеристик:

т = («о/б0)[ехр(бох) — 1]м + [ггехр(б0л:)][ыо]"1, (1.12)

где символ [ыо]^1 означает функцию, обратную и0. Анализ решения (1.12), т. е. изменение формы

волны с расстоянием, наиболее просто провести гра­ фически на примере формирования в линии разрыв­ ных волн из входного сигнала синусоидальной формы

(w0= £Л) sin со/ при 2= 0) [23].

Подставляя в (1.12) функцию, обратную м0, имеем

(1.13)

Отложим па осп ординат значение (ц0/Н0)ехр(60*), а по осп абсцисс — значение сот (рис. 1.4); тогда ре­ шение (1.13) можно представить как сумму двух функций — арксинуса и прямой с угловым коэффи­ циентом

удаления ее от входа линии. Это изменение принци­ пиально различно, если коэффициент <£/”„ (имеющий смысл приведенного расстояния) больше или меньше единицы. Если Sf-0 <1, изменение профиля волны происходит по закону квазппростой волны*) (рис. 1.4).

Следовательно, имеется критическое значение вход­ ной амплитуды сигнала Покр= бо/асо, ниже которого

*> Без учета потерь (г = 0, G=0) — строго по закону простой волны.

19