книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

амплитуда U и параметр Q (U) которой медленно из­ меняются во времени (а следовательно, и вдоль ли­ нии) за счет малых потерь.

Для определения зависимости U (т) можно перейти от (5.11) к еще более простому укороченному уравне­ нию, следуя приему, примененному, например, в § 1.3 для нахождения закона изменения амплитуды негар­ монического колебания за фронтом ударной волны, или используя метод усреднения по квазистационарным несинусоидальным волнам, описанный в работе

[ 101].

Здесь для получения укороченного уравнения отно­ сительно U (т) используем иной, более простой, под­ ход, исходя из энергетических соотношений, справед­ ливых для рассматриваемой системы, т. е. из уравне­ ний энергетического баланса системы. Действительно, при распространении уединенного импульса вдоль ли­ нии поток энергии через ее звено равен мощности, по­ глощенной при переходе. Следовательно, имеет место равенство

адекватное уравнению энергетического баланса систе­ мы. Используя приближенное соотношение между на­ пряжением и током в линии и ~ pot, сведем (5.12) для квадратичной зависимости Q(u) к уравнению относи­ тельно только переменной и(п, t). Далее, подставим вместо и(п, t) выражения для уединенной волны (5.10а) и проинтегрируем каждый член уравнения поп в интервале, равном пространственной длительности уединенного импульса. На уровне отсчета по основа­ нию импульса его ширина и, следовательно, интервал интегрирования изменяются в пределах —о о < п < + оо.

В результате после несложных упрощающих преоб-

230

разований получим равенство

~ г< и -щг (с°и ~ D iU 2) >

+ 00

(где < ( ...) > = | (...)dn). После вычисления [с уче­

—00

том (5.10а)] интегралов оно запишется в виде нели­ нейного дифференциального уравнения первого по­ рядка:

Это уравнение и его решение

(5.13)

H0=const = U (t—О) совпадают с полученными в [103], где аналогичная задача рассмотрена методом мало­ го параметра. Естественно, что в реальных ограничен­ ных системах длительность импульсов и, следователь­ но, интервал интегрирования также ограничены, однако для удобства вычислений с достаточной для практики точностью их можно считать бесконечно большими.

Таким образом, в линии с малыми потерями будет распространяться волна в виде затухающего уединен­ ного импульса, амплитуда которого изменяется по за­ кону (5.13).

Интересно отметить, что для уединенного импульса затухание, обусловленное низкочастотными и высоко­ частотными потерями, имеет различную закономер-

ность. Так, если г = О, а ЯфО, то изменение амплиту­ ды импульса происходит по экспоненциальному за­ кону

причем быстрее, чем у такого же импульса в линей­ ной линии без дисперсии. Если же г ф О, а ^ = 0, то

Затухание волны происходит по другому закону, со­ гласно которому по истечению достаточно большого промежутка времени дальнейшее изменение амплиту­ ды импульса не зависит от ее начального значения U0 и определяется только параметрами линии и нелиней­ ности U(t) ~ (rv02DiU) [103].

Влияние неоднородности. Когда нелинейная ем­ кость звена линии медленно меняется вдоль продоль­ ной координаты, то квазистационарной волной в ли­ нии будет по-прежнему уединенная волна (импульс). Амплитуда импульса при этом медленно изменяется, например, вдоль линии без потерь по закону [103]

U («) = AD1/ 3 (п)!С0(п) (Д = const),

который нетрудно вычислить, используя метод усред­ нения или условия сохранения энергии уединенной волны.

Проведенное рассмотрение позволяет сделать важ­ ный для дальнейшего вывод: в линии передачи с нели­ нейными реактивными параметрами, слабой прост­ ранственной дисперсией, неоднородностью и малыми потерями может существовать и распространяться квазистационарная волна в форме одиночного импуль­ са с медленно меняющейся скоростью распростране­ ния (а следовательно, амплитудой и длительностью). Критерий малости соответствующих параметров при

232

этом имеет вид

взаимодействия между собой импульсов, имеющих форму уединенных волн (солитонов), в нелинейной линии весьма интересен и своеобразен. Теоретический анализ этого процесса достаточно сложен, поэтому ограничимся здесь его качественным описанием. Прежде всего отметим, что из законов сохранения энергии следует, что параметры уединенных импульсов остаются одинаковыми до и после взаимодействия [114]. Однако сам процесс взаимодействия может про­ исходить качественно различным образом в зависимо­ сти от вида взаимодействия (попутное или встречное) и от соотношения между амплитудами взаимодейст­ вующих импульсов.

Наиболее интересен случай попутного взаимодей­ ствия распространяющихся в одном и том же направ­ лении уединенных импульсов, имеющих разную амп­ литуду и, следовательно, скорость. В отличие от срав­ нительно кратковременного встречного, попутное взаимодействие длится большее время и его картина существенно отличается от суперпозиции уединенных импульсов ввиду взаимного обмена энергией между ними. Теоретический анализ, проведенный в [115], по­ казал, что если уединенный импульс, например с амп­ литудой и и догоняет другой, с амплитудой U2 (Ui>' >U2), то процесс взаимодействия между ними будет происходить качественно различным образом в зави­ симости от соотношения их амплитуд UifUz. Так, при Ul/U2>2,62 картина взаимодействия следующая: пер­ вый уединенный импульс догоняет второй, а затем они сливаются, образуя один нестационарный импульс, ко­ торый в дальнейшем распадается на два исходных им­

233

пульса с амплитудами Ui и U2. При этом импульс с амплитудой {Д оказывается теперь уже впереди (т. е. «обгоняет» первый) и продолжает самостоятельное движение, удаляясь от импульса с амплитудой U2. Если же Ui/U2<2,62, то взаимодействие происходит иначе: первый импульс с амплитудой Ui>U2 догоняет второй и по мере приближения к второму его ампли­ туда Ui начинает уменьшаться, а амплитуда первого импульса U2 возрастать. В некоторый момент времени амплитуды импульсов выравниваются, после чего им­ пульс, движущийся впереди, продолжая расти по амп­ литуде, удаляется от первого, получив часть его энер­ гии. Слияния импульсов (и следовательно, «обгона») здесь не происходит. В результате такого своеобраз­ ного обмена энергией (обменного взаимодействия) амплитуды импульсов как бы меняются местами. Пер­ вый уменьшается по амплитуде с Ui до U2, а второй наоборот, с U2 до Ui. Механизм такого своеобразного взаимодействия уединенных импульсов физически не­ трудно объяснить, если рассмотреть его как парамет­ рический процесс [103]. Действительно, электрическое ноле каждого импульса, изменяя величину скорости участка линии, на котором он располагается, совер­ шает некоторую работу над полем другого импульса. Эта работа положительна на участке фронта импульса (где dC/dt<0) и отрицательна на срезе (где дС/сД>0). При встречном движении импульсов эта работа в те­ чение всего процесса взаимодействия для обоих уеди­ ненных импульсов имеет одинаковые знаки, поэтому обмена энергией практически не происходит. При по­ путном движении спад первого импульса перекрывает­ ся фронтом второго: импульсы совершают друг над другом работу разных знаков, в результате происходит перекачка энергии в импульс, движущийся впереди.

Описанное наглядно иллюстрируют осциллограм­ мы, приведенные на рис. 5.4,а, б. На рис. 5.4,а показа­ но попутное взаимодействие уединенных импульсов

234

мых импульсов. Кроме того, невелика и абсолютная величина амплитуды волны накачки, поэтому парамет­ рическое изменение погонной емкости резонатора мало и резонатор можно считать слабонестационарной вол­ новой системой по отношению к генерируемым им­ пульсам, а форму импульсов — близкой к форме уеди­ ненных импульсов*). Поэтому параметрическую гене­ рацию импульсов можно приближенно рассматривать как процесс непрерывного взаимодействия волны на­ качки с уединенным импульсом. Такой подход позво­ ляет провести достаточно полный анализ различных режимов работы параметрического генератора, а так­ же получить расчетные соотношения с достаточной для практических целей точностью (104, 105].

Предположим, что резонатор генератора имеет не­ ограниченную длину или кольцевую форму. Вдоль ре­ зонатора (линии) распространяются уединенный им­ пульс и волна накачки. Волна накачки слабо изменяет параметры линии, поэтому уединенный импульс имеет вид (5.10а) и приближенно описывается уравнением (5.11). В этом случае закон изменения амплитуды им­ пульса во времени можно определять, так же, как ранее, путем сведения уравнения энергетического ба­ ланса системы к укороченному уравнению и его реше­ нию. Однако прежде чем перейти к исследованию уко­ роченного уравнения, необходимо задать закон изме­ нения сигнала накачки (волны параметра) и написать уравнение связи между накачкой и импульсом.

Пусть волна накачки изменяет погонную емкость резонатора по гармоническому закону, что практиче­

*> Это тем более справедливо, чем больше отношение периода волны накачки к длительности импульса.

236

стоянные величины). Далее предположим, что измене­ ние емкости С(п, I) во времени и пространстве доста­ точно медленное (период волны накачки много больше длительности импульса, такой, что выполняются нера­ венства сон^и^Зд; 2nDiU/mC0) , поэтому параметриче­ ский обмен энергией между накачкой и импульсом происходит в основном на небольшом (по сравнению с периодом) участке волны накачки, равном длитель­ ности уединенного импульса. Кроме того, полагаем, что глубина модуляции нелинейной емкости волной накачки незначительна (параметр т<^1). В этом слу­ чае уравнения линии, написанные относительно напря­ жения и(п, t) и тока i(n, t) волны уединенного им­ пульса, с учетом изменения емкости волной накачки будут иметь вид

(5.15)

Уравнения (5.15) являются приближенными, по­ скольку непосредственно не учитывают, на первый взгляд, нелинейность емкостного параметра линии и пространственную дисперсию. Тем не менее, такая запись уравнений вполне допустима, так как система (5.15) записана относительно уединенной волны (им­ пульса), несущей в себе информацию и о влиянии не­ линейности, и о влиянии дисперсии линии.

Умножив первое из уравнений системы (5.15) на и, а второе на i, сложив их и проделав некоторые про­ стые преобразования, получим уравнение для потока энергии в линии, создаваемого уединенным импульсом (уравнение энергетического баланса):

(5.16)

237

В этом уравнении первый член правой части харак­ теризует изменение энергии волны в энергоемких (ре­ активных) элементах линии; второй — мощность по­ терь на сопротивлении R, а последний — мощность, затрачиваемую волной накачки на параметрическую перекачку энергии из накачки в уединенный импульс.

Заменим в уравнении энергетического баланса ток

= t/(*I).sch2[Q([/) (п— J vdt)]. Затем, интегрируя (5.16)

по координате п, на участке длины линии, много боль­ шем пространственной ширины импульса *1, получим уравнение, описывающее изменение амплитуды им­ пульса U(t) при его распространении вдоль линии в заданном поле волны накачки. Это уравнение имеет вид

(5.17)

В процессе распространения между волной накач­ ки и импульсом происходит параметрическое взаимо­ действие, в результате которого не только амплитуда импульса U(t), но и фаза ф=k(n—vHt), определяющая положение импульса относительно волны накачки (рис. 5.5), медленно изменяются во времени. При этом скорость движения импульса относительно скорости распространения волны накачки определяется произ­ водной

а абсолютная скорость распространения импульса v выражением (5.8), в котором параметр v0 будет теперь не постоянным, а зависящим от значения емкости

*> Практически, в этом случае пределы интегрирования удоб­ нее брать равными ±оо.

238

в месте расположения импульса, т. е. от фазы <р:

где ",(rt = |i.C(T)rl,!.

Таким образом, равенство (5.18) можно рассматри­ вать как кинематическое уравнение связи между вза­ имодействующими квазиуединенным импульсом и на­ качкой. В целом уравнение (5.18) совместно с (5.17)

Рис. 5.5. Положение импульса на волне сигнала накачки:

образует систему, описывающую в первом приближе­ нии процессы параметрического взаимодействия квазистационарных импульсных колебаний с волной на­ качки. Эту систему можно незначительно упростить. Подставляя в (5.17), (5.19) выражения для С(ф) и ц(ср) соответственно равенствам (5.14), (5.19) и учи­ тывая, что изменение емкости волной накачки мало (параметры т\ m cosqx^l), в окончательном виде по­ лучим систему уравнений [104]

T = kvHt = wnt — безразмерное время; Д - = ( у„/уо) —1 —

239