книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

компенсируют друг друга. В связи с этим следует от­ метить, что в рассмотренном случае средний поток энергии (даже при G— 0) не остается постоянным, а уменьшается с расстоянием. Это «ненормальное яв­ ление» указывает на то, что для правильного объясне­ ния специфического затухания ударных волн необхо­ димо учитывать влияние сопротивления г, играющего существенную роль даже когда оно исчезающе мало.

Учет влияния сопротивления г, обусловливающего в основном потери высокочастотных составляющих спектра волны, целесообразно провести, когда утечка G отсутствует. Анализ решения уравнения линии при G= 0, проведенный в работе [23], показал, что, во-первых, сопротивление г практически не влияет на процесс формирования разрывной волны вплоть до расстояния

х = Со (1 —\/Qo)/kDiU0,

20

где &= cot>o — волновое число, a Q0=l/©rC0— доброт­ ность системы. Во-вторых, оно обусловливает конеч­ ную длительность фронта волны. При этом минималь­ ная длительность фронта достигается на расстояниях порядка x^nCo/2kDiUo. В дальнейшем с увеличением расстояния высокочастотные потери, обусловленные сопротивлением г, могут сравняться с полной энер­ гией волны и ударная волна расплывается. Ампли­ туда волны уменьшится настолько, что нелинейность практически перестанет сказываться и форма волны снова станет синусоидальной с той же частотой, что и при 2= 0. Изменение формы волны описывается выражением

и = Uо[сот—л th (сот/До) ]/ (1 + ctoco Uox) ,

где Ло= С0[1 +kDlU0x/Co]/nQoDiUo — ширина фронта волны.

Таким образом, для уменьшения длины форми­ рующей линии и времени формирования волны с за­ данной длительностью фронта необходимо, по воз­ можности, уменьшать потери в области низких частот. Л для получения минимально возможной длительно­ сти фронта целесообразно уменьшать потерн в обла­ сти высоких частот.

Диссипативный механизм образования и развития ударных волн. В формирующих линиях с ферромаг­ нитным, сегнетоэлектрическим или другим заполне­ нием с самого начала формирования существенную роль играют релаксационные процессы при перемагничивании (или переполяризации) нелинейных ве­ ществ и связанная с ними диссипация энергии волны. Для исследования образования и развития ударных волн в таких линиях необходимо совместное решение волновых (1.1) и материальных (1.5), (1.6) уравне­ ний, связанных между собой зависимостью (1.7).

21

Наибольшее применение на практике по сравне­ нию, например, с сегнетоэлектрическими формирую­ щими линиями получили линии с ферритом, поэтому более подробно рассмотрим механизм образования ударных волн в ферритовых линиях и отметим спе­ цифические особенности формирования таких волн в сегнетоэлектрическнх линиях.

Исключая из уравнений (1.1) (при Fl:2= 0) и (1.5) переменные и п Ми, получаем уравнение, описываю­ щее поведение волны тока в липни с ферритовым заполнением:

(1.14)

где б= 2аур0/ (1—а2) ; а0= (1 +/и0)/(1—т0); то= М0/М;

М0— начальное значение Ми. Заменяя i — dq!dt и по­ лагая i = 0, di/dt = 0 при t— v—оо, приходим к нелиней­ ному дифференциальному уравнению относительно q\

поэтому особенности решения выясним сначала для случая, когда правая часть уравнения, описывающая влияние феррита на распространение волны, мала по сравнению с каждым из членов левой части, т. е. пропорциональна малому параметру р (при р = 0 уравнение описывает волну в линейной линии без феррита).

В этом случае для исследования (1.15) также применим метод, основанный па предположении, что

22

Искомое решение па небольшом интервале 2 и / мало отличается от решения исходного уравнения при ц= 0. В силу этого предполагается, что приближенное ре­ шение (1.5) удовлетворяет уравнению

Где F(z, t) — неизвестная функция, Дифференцируя (1.16) по z и t, получаем

Уравнения (1.15) и (1.17) отличаются лишь чле­ нами порядка ц (что подтверждает корректность ме­ тода). Приравнивая их, получаем уравнение для F, интеграл решения которого (с точностью до величины более высокого порядка малости) легко находится подстановкой F = F(q). Учитывая, что F(q = 0)=0 [см. (1.16)], находим окончательно

Это уравнение уже интегрируется методом характе­ ристик. Задавая граничные условия в точке 2= 0:

i(0, 0 =г0(О;

t

q(0, 0 = ^io(t)dt=^qo(t),

—00

получаем для q следующую формулу:

ехр[а0б?/ (1 + ао) ]—ехр[—bq/ (1 + я0)]=

= {ехр[аоб^0(т.)/(1 +Яо)]—ехр[—б^о(т)/ (1 + а 0)]}Х

Здесь %=t—z/va\ qo{%)— решение, соответствующее

)т = 0.

23

Формулы (1.18) и (1.19) сводят отыскание тока бегу­ щей волны к алгебраическим операциям.

Свойства решения (1.19) можно выяснить, рас­ сматривая распространение импульса тока в линии,

i = /0(т) ехр{—цТгшо^МгДоРо (1 + а0)2],

т. е. волна тока ведет себя так же, как и в ли­ нейной линии с погонной проводимостью утечки: G=

волна распространяется без затухания. Это значит, что при больших q (больших i) феррит полностью насыщается и не влияет на форму волны тока. Одна­ ко интегральная величина q убывает с расстоянием, что указывает на специфическое затухание фронта импульса на участке, где бд<С1.

В результате получаем картину образования удар­ ной волны, изображенную на рис. 1.5. Нетрудно видеть, что с возрастанием i участок фронта импуль­ са, на котором происходит заметная диссипация энер-

24

гии, укорачивается, так как неремагнпчпвание ферри­ та происходит тем быстрее, чем больше внешнее намагничивающее поле, определяемое током i. При достаточно большом мгновенном значении на фронте импульса образуется область очень быстрого измене-

нейной линии. Поэтому для приближенного опи­ сания процесса развития ударной волны в целом можно пренебречь инерционными свойствами ферри­ та, а зависимость Ф(/) аппроксимировать кусочно-

25

линейной функцией [5, 25] (рис. 1.6):

где Ф0= 4лт]^о/Мо/ро-

Пусть в момент времени t в точке z* линии на­ ходится ударная волна (разрыв), распространяющаяся в положительном направлении г. Поскольку разрыв

и скорость перемещения разрыва

Цр —Vo{ 1+ АФ/2Го/+2) *.

Учитывая, что vp = dz*/dt, определим зависимость ко­ ординаты разрыва Z2 * от величины разрыва /*2, пред­ варительно перейдя от z* и t к новой переменной t* — t—z*/v0. Интегрируя затем, получим

t—Z*lVo

—?*o/fo

26

где z0* = 2* (0) — начальное положение разрыва. Вы­ ражение (1.21) позволяет полностью проследить за развитием ударной волны, если известно выражение для функции /+г(|*).

На практике импульсы обычно подводятся к фор­ мирующей системе с помощью высокочастотного ка­

(г = 0), на фронте его сразу же начнет формироваться ударная волна (разрыв, за которым феррит пол­ ностью насыщен). Поэтому для всех /> 0 развитие ударной волны будет описываться выражением (1.21). Рассмотрим пример, когда форма исходного импульса аппроксимируется кусочно-линейной функ­ цией

на котором амплитуда разрыва достигнет максималь­ ного значения, равного, согласно (1.20)

Величина z*0pt и, следовательно, оптимальное вре­ мя формирования /*0рг определяются совместным решением уравнения (1.21) или (1.21а) и очевидным

*) Отражения от границы раздела линейной н нелинейной линии ввиду предполагаемой их согласованности здесь не учиты­ ваются.

27

В заключение найдем выражение для потока мощ­ ности ударной волны Р2. Для этого сначала опреде­ лим из граничных условий.величину амплитуды на­ пряжения ударной волны:

^2 = ро/2(1+ДФ/10/2)1/2,

а затем

Р2= /2£^2== р0^22(1 + ДФуДо/2) 1/2.

Отметим, что за фронтом ударной волны (для z<z*) поток мощности можно представить в виде суммы

Знак минус перед выражением для Р2 указывает па

то, что поток мощности Р^ обратной волны направ­ лен в сторону, противоположную потоку мощности прямой волны и, следовательно, Р^ > Р 2.

Проведенный в этом параграфе анализ позволяет

с ферритом, хорошо согласующуюся с результатами, полученными путем численного решения задачи на БЭСМ [26], и экспериментальными данными [27].

1.3. СТАЦИОНАРНЫЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

В реальных формирующих линиях длительность фронта волны не может быть уменьшена до сколь угодно малой величины. Этому препятствуют, во-пер-

29