книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

Рассмотрим основные физические процессы в нели­ нейно-параметрическом генераторе видеоимпульсов на простейших его моделях. Пусть имеется отрезок линии задержки, емкость каждого звена которой нелинейна, а индуктивность линейна. На емкости линии одновре­ менно подадим напряжение накачки, периодически изменяющееся во времени (например, по гармоническо­ му закону). Под действием напряжения накачки емко­ сти звеньев также начнут изменяться во времени око­ ло начального уровня синфазно с изменением напря­ жения волны накачки. При этом во время действии полупериода накачки, соответствующего уменьшению емкостей звеньев, от источника накачки в линию по­ ступает дополнительная (обусловленная параметриче­ ским эффектом) энергия. Если эта энергия превышает энергию потерь в линии, то в ней должны возбудиться колебания, которые в дальнейшем усилятся и преоб­ разуются в импульсы, бегущие вдоль линии. В следую­ щий интервал времени, когда напряжение накачки, а следовательно, и величины емкостей звеньев увели­ чиваются, в линии должны наблюдаться обратные яв­ ления: расплывание и затухание возникших колеба­ ний. Однако поскольку в среднем за период накачки энергия, запасенная в элементах линий, остается по­ стоянной, изменение емкостных параметров линии при­ водит лишь к перераспределению энергии накачки. Генерация не возникает.

Иная картина наблюдается, если линия задержки выполнена кусочно-однородной, состоящей из прибли­ зительно равных по длине нелинейных и линейных от­ резков. В этом случае (при прочих равных условиях) возможен режим, при котором параметрически воз­ бужденные импульсы будут находиться в нелинейном отрезке тогда, когда нелинейный параметр (емкость) уменьшается, и в линейном, когда он увеличивается. В результате произойдет как бы «накопление» пара­ метрического эффекта сжатия — усиления. В среднем

220

221

Особо отметим, что неоднородное по фазе распре­ деление напряжения накачки вдоль звеньев линии мо­ жет быть получено с помощью стоячей волны. Так, например, если в отрезок однородной нелинейной ли­ нии, разомкнутой с обеих сторон, подать гармониче­ ское напряжение накачки, период которой равен вре­ мени ее пробега в линии, то результирующее напряже­ ние накачки будет иметь вид стоячей волны (рис. 5.1). На емкости каждого звена (в различных сечениях) линии напряжение накачки будет изменяться по гар­ моническому закону, а узел напряжения будет грани­ цей, разделяющей линию на два равных участка с про­ тивофазным изменением величины нелинейной емко­ сти. Такую систему можно назвать параметрическим генератором импульсов с резонансной накачкой. Ес­ тественно, что если возбудить в отрезке (резонаторе) стоячую волну накачки с периодом, близким к пери­ оду одной из высших собственных его мод, то появит­ ся большее число пар^ участков с противофазным из­ менением напряжения накачки, на каждой из которых возможно существование импульсного колебания.

Режим возбуждения импульсных колебаний может носить как мягкий, так и жесткий характер, и это от­ крывает дополнительные перспективы использования подобных генераторов (см. § 5.4).

Теория параметрической генерации видеоимпульсов может быть основана либо на спектральном подходе— как анализ взаимодействия гармонических мод нели­ нейного резонатора [7, 9], либо на временном подхо­ де— как задача о распространении короткого импульса в линии с медленным изменением реактивных пара­ метров [10, 96]. Второй подход сравнительно прост и нагляден, поэтому он и будет применен в дальнейшем. При этом для получения основных соотношений пара­ метрического генератора тут, в отличие от преды­ дущих глав, будет использован метод, адекватный энергетическому методу анализа дискретных систем.

222

5.1. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ (ИМПУЛЬСЫ)

Основой волнового параметрического генератора импульсов, как отмечалось ранее, является отрезок (или кольцо) нелинейной линии — резонатор. Естест­ венно, что нелинейные и дисперсионные свойства ли­ нии (наряду с накачкой) оказывают заметное, а иног­ да и определяющее влияние на структуру генерируе­

Рис. 5.2. Эквивалентная схема звена нелинейной линии.

мых импульсов. Для выяснения этого влияния рас­ смотрим сначала условия, при которых в неограничен­ ной волновой системе возможны стационарные волны импульсного вида.

Пусть имеется дискретная линия с нелинейной ем­ костью *) звеньев и потерями низкочастотного и высо­ кочастотного типа (рис. 5.2). Уравнения относительно токов и напряжений в линии можно записать в виде системы

или одного нелинейного дифференциально-разностного уравнения

*> Все приведенное ниже справедливо и для волн тока в ли­ нии с нелинейной индуктивностью.

220

относительно напряжения и„, действующего на нели­ нейной емкости я-го звена. Для реальных параметри­ ческих генераторов наиболее интересен, с точки зрения технических приложений, режим работы, позволяющий получить импульсы с минимально возможной длитель­ ностью и максимальной амплитудой. Это осуществимо лишь в том случае, когда нелинейный резонатор гене­ ратора— отрезок линии — обладает слабой дисперсией и малыми потерями. Поэтому в дальнейшем рассмот­ рим процессы именно в такой линии на основе анали­ за укороченного уравнения, учитывающего отмеченные выше обстоятельства.

Для получения укороченного уравнения разложим, как это делалось и ранее, в степенной ряд но п пере­ менные м„±1 Qn±i и ограничимся учетом членов только первого порядка малости (~ р ) . В результате прихо­ дим к уравнению в частных производных:

описывающему волны напряжения в линии со слабой пространственной дисперсией и малыми потерями.

Выясним теперь особенности решений уравнения (5.3) при различных упрощающих предположениях, позволяющих выделить влияние основных факторов, действующих в линии, на структуру этих решений.

Влияние пространственной дисперсии. Предполо­ жим, что потери в линии отсутствуют (r— R = 0) ; тогда уравнение (5.3) существенно упрощается:

и легко поддается дальнейшему исследованию для ин­ тересующего нас класса решений. Вначале убедимся, что среди стационарных решений уравнения (5.4) име­ ются решения (волны) импульсного типа, удовлетво­ ряющие граничным условиям: при |->± оо, м(|)-*-0,

234

du/dZ~+0 ( l = n —vt). Для этого перейдем к перемен­ ной u(g) и проинтегрируем дважды, с учетом гранич­ ных условий, полученное уравнение, после чего оно примет вид

d2u/d^=]2(v2L0Q—u). (5.5)

На фазовой плоскости система (5.5) имеет состоя­ ние равновесия типа центр (рис. 5.3,а). Здесь только одна фазовая траекто­ рия— сепаратриса — со­ ответствует стационарной волне, удовлетворяющей отмеченным выше гра­ ничным условиям [28, 102].

Эта волна имеет вид оди­ ночного импульса, бегу­ щего вдоль линии со ско­ ростью v, и называется

уединенной волной или солитоном [9, 10]. В отсутствие дисперсии волны подобного типа невозможны (см.

гл. 1).

Для определения параметров уединенной волны (уединенного импульса) запишем общее решение уравнения (5.5):

&= J | J24 [o2L0Q —’м] • du | “ 1/2й?ы.

Решение получилось в неявном виде, выражающем интегральную связь между бегущей координатой £ и

переменной и. Для определения конкретной формы уединенного импульса и(£) и, следовательно, его па­ раметров необходимо задать конкретный вид зависи­ мости Q (и).

Для сравнительно небольших амплитуд импульса характеристику Q(u) можно аппроксимировать поли­ номом второй степени Q= C q U —Dili2 (Di> 0). В этом случае, произведя соответствующие вычисления и пре­ образования, получим решение (5.5) относительно

импульса v остается неоправданным. Для определения

выраженная через параметры линии и скорость v, или скорость

однозначно связанная с амплитудой импульса U.

В итоге форма уединенного импульса, распростра­ няющегося вдоль слабодисперспопной линии без по­

где Q2 = 6D1U/(3C0—2DiU).

Из формулы (5.9) легко вычисляется длительность импульса на уровне 0,5 U, равная Д = А |/у= 1,76/Qy (где А£ — ширина импульса в пространстве на том же уровне отсчета) и длительность его фронта на уровне

(0,1 ... 0,9) t/ 6f>p~ 1,51/Qu, которые в основном зави ­ сят от амплитуды импульса U.

226

Форму волны тока в линии при этом можно опре­ делить из второго уравнения системы (5.1), которое для слабодиспергирующих стационарных волн легко разрешается относительно

/(5) = (и—Q,5du/dQ lvL0

и для уединенных волн типа (5.9) имеет вид

i(п , t) = -у^- U sell2 Щп]— vt)'{1-j- Q ill Q(n — vt)}

^-■-^- U s c lfQ ( n ~ vt).

Волновое сопротивление линии, определяемое как отношение амплитуд волны напряжения и тока, в этом случае равно

Z —роп/по~ ро( 1 -\-DiUI3Co).

Для более точного определения формы и параметре ' уединенного импульса, когда амплитуда его сравни­ тельно велика, зависимость Q(u) следует аппрокси­ мировать полиномом более высокой, например, треть ей степени Q = CoU—Diifi-^DzU3 (Z)i>2> 0). В этом слу­ чае решение уравнения (5.5) относительно и может быть также найдено аналитически:

/ з d 2 \

и(п, t) — - 3 d 2

■4 — ^ - l / + eh*Q. [ n - v t )

Из этого решения видно, что форма уединенного им­ пульса в случае кубической нелинейности изменяется незначительно по сравнению с (5.9), если отношение

D2/Di мало.

Из приведенного рассмотрен'ия следует, что форма и параметры уединенного импульсного напряжения и тока однозначно определяются, если задана амплиту­ да U пли скорость v движения импульса в линии. Ве­ личина U (или v) зависит от начальных условий, т. е. от параметров сигнала, поданного на вход полуограниченной (на практике достаточно длинной) нелиней­ ной линии.

В общем случае, как показали численные расчеты переходных процессов и экспериментальные исследо­ вания [26, 103], в линии возможно формирование из входного, например импульсного, воздействия не толь­ ко одиночного, но и группы импульсов, движущихся с различными постоянными скоростями. Форма каж­ дого из них близка к форме уединенного импульса. При этом если длительность входного импульса мень­ ше уединенного, соответствующего той же самой амп­ литуде, что и у входного импульса, то в линии он будет расширяться до тех пор, пока не приобретет форму уединенного импульса меньшей амплитуды и большей длительности. Если же длительность входно­ го импульса существенно превосходит длительность уединенного импульса соответствующей амплитуды [связь между его амплитудой и скоростью не соответ­ ствует (5.8)], то в линии он распадается на группу уединенных импульсов, суммарная энергия которых равна энергии начального импульса [11, 103]. В част­ ности, если форма входного импульса близка к форме уединенного (5.9), то число импульсов, образующееся после распада, можно определить с помощью пара­ метра подобия

G ~ t n вхДи = bxQ0/1,76.

Число импульсов практически равно целой части о при о>1. Для входного уединенного импульса <т=1. Если же а<1, то наряду с формированием-уединен­ ного импульса в линии возникнут квазигармонические

228

колебания, отстающие от импульса [103]. Следует от­ метить, что подобная специфическая ситуация возмож­ на только в линии с определенным видом дисперсии и нелинейности *>.

Влияние потерь. Как показано выше, нелинейному уравнению (5.3), не учитывающему потери, соответст­ вуют «сепаратрисные» решения, удовлетворяющие (5.5), в виде стационарных одиночных импульсов на­ пряжения и(п, I) =и(п—vt).

Естественно предположить, что при малых потерях в линии (r=pr, R = [iR) уравнение (5.3) будет иметь подобное решение с параметрами, медленно изменяю­

и т = р(, и пренебрегая членами второго порядка мало­ сти (—р2), после однократного интегрирования при нулевых начальных условиях получим приближенное уравнение для волн в линии с потерями:

Нетрудно убедиться, что в случае квадратичной нели­ нейной зависимости Q (и) —C0M+p.Diw2 и потерях, рав­ ных нулю, уравнение (5.11) имеет решение, аналогич­ ное (5.9). Поэтому искомое решение (5.10) запишется в виде уединенной волны:

*) В частности, возникновение осцилляций за фронтом удар­ ной волны (см. § 1.3) в линии с пространственной дисперсией также связано с распадом подобного вида.