книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

90

ние (2.10) не может иметь решений, соответствующих переходу системы из состояния и = 0 в состояние и =

=Uz или обратно, так как в этом случае особые точки

ы= 0 и u=U% лежат по разные стороны от сепаратри­ сы седла и = Uи Значит в линии не могут распростра­

Медленной волне на фазовой плоскости соответствует переход изображающей точки по сепаратрисе из од­ ного седла в другое (рис. 2.7,6). Волна имеет форму перепада с асимптотическим приближением и к вели­ чинам 0 и Uz.

Определим условия существования и форму мед­ ленной волны. Решить уравнение (2.10) при произ­ вольной функции I (и) аналитически невозможно, поэтому воспользуемся кусочно-линейной аппроксима­ цией функции 1 (и) (рис. 2.4) вида (2.7). Такая аппро­ ксимация позволяет легко найти аналитическое ре­ шение уравнения (2.10) и в то же время, как будет показано ниже, получить полное качественное описа­ ние процессов в линии и хорошие количественные сценки всех основных параметров волны *К

При принятой аппроксимации I(и) (2.10) превра­

*) Аппроксимация с большим числом линейных отрезков дает лишь количественные поправки, ничего не добавляя качественно. Аппроксимация в виде гладкой функции I(и) =Ви(и—Ut)(u—U2), В = const была использована при численном решении данной за­ дачи на ЭВМ [63, 78]. Полученные решения качественно совпа­ дали с решениями при кусочно-линейной аппроксимации I (и).

91

где Xi,2 — корпи характеристического уравнения (2.11)

(при g = g0).

Для определения постоянных А и В необходимо задать очевидные граничные условия:

ствует знаку плюс перед квадратным корнем в фор­ муле (2.11), а А,2 — знаку минус и, кроме того, поло­ жено для простоты, что и= Ui при | = 0.

Как следует из (2.13) и (2.11), в полученных ре­ шениях остается неизвестной скорость распростране­ ния стационарной волны о. Для ее определения мы воспользуемся условием непрерывности тока i при u=U 1 или 1= 0.

Заметим, что это справедливо при условии конеч­ ности (ограниченности) dufd%, которое следует из не­ явно сделанного предположения о непрерывности и.

92

Необходимость непрерывности и не вытекает, вообще говоря, из уравнений линии, поэтому, делая это пред­ положение, мы возможно, теряем какие-то решения (2.10), содержащие скачки функции u(z, i). Ниже будет показано, что такие разрывные решения (2.10) существуют. Дальнейшее изложение касается лишь непрерывных решений (2.10).

Из уравнений (2.1) найдем выражение для ста­ ционарной волны тока в линии:

m = — {l — v*LC) (dufdt)— vLI(u).

>Ui).

Подставляя в (2.14) значения Ал,2 из (2.11), полу­ чаем окончательное уравнение для нахождения скоро­

где знак минус соответствует волне прямого переклю­ чения, а плюс — волне обратного переключения и па­ раметр А равен

где Si и S2 — соответственно площади треугольников О/1У1 и Vihvz (рис. 2.4).

93

Изменение параметра Л соответствует изменению величины тока смещения в линии, поэтому знак и ве­ личина А соответствуют знаку и величине энергии, рассеиваемой на нелинейном элементе. В соответствии с этим А может изменяться от значения Л = + 1, кото­ рому соответствует отсутствие в схеме тока смещения

исоответственно активной области (нелинейный эле­ мент только поглощает энергию сигнала), до значения А = — 1, которому соответствует величина тока сме­ щения, равная максимальному значению тока на вольт-амперной характеристике нелинейного элемента

иотсутствию пассивной области (нелинейный элемент

не поглощает энергии, а отдает ее сигнал). Значение А — 0 соответствует такому току смещения, при кото­ ром площади активной и пассивной областей равны (нелинейный элемент как поглощает энергию, так и отдает ее проходящему сигналу).

Из уравнения (2.15) вытекает одно важное следст­ вие, а именно: ни при каких значениях параметра А невозможно одновременное существование волн пря­

мого переключения возможна, т. е. возможны дейст­

Таким образом, в линии ни при каких значениях тока смещения невозможен стационарный импульсный сиг­ нал, состоящий из следующих одна за другой волн прямого и обратного переключения. После прохожде­ ния одной из стационарных волн переключения воз­ вращение в исходное состояние возможно лишь при изменении тока смещения или параметров линии.

94

Скорость распространения стационарной волны,

Границами области существования стационарной волны, на которых v = (ЬС)~^2, являются соответст­ венно для волн прямого переключения кривые:

(2.166) позволяют полностью решить вопрос об обла­ стях существования волн прямого и обратного пере­ ключения, т. е. найти, при каких соотношениях пара­ метров линии и тока смещения возможен тот или иной стационарный сигнал. Эти области показаны на рис. 2.8 (области 1 и 2 существования стационарного сигнала прямого переключения заштрихованы гори­ зонтально, а области 3 и 4 стационарного сигнала об­ ратного переключения заштрихованы вертикально).

Отметим, что скорость распространения и области существования стационарных сигналов зависят лишь от одного обобщенного параметра линии RCifgL и то­ ка смещения, выраженного через величину А.

График зависимости скорости распространения стационарной волны прямого переключения от пара­ метров А и RC\/gL показан на рис. 2.9. Форма волны

и %.

95

Для исследования структуры фронта волны, а так­ же определения его длительности рассмотрим вели­ чины А.1,2 и —1^ 1,2. Подставляя значения v из (2.17)

где для А.1 надо взять знак плюс, а для к2 — знак ми­ нус. Значения параметра р лежат в пределах 1> р>0. На границе области существования, определяемой формулой (2.18), р=1. В соответствии с выражения­ ми (2.13) ширина фронта стационарной волны на

96

ет 9

мости ширины фронта А| от тока смещения (парамет­ ра Л) показан на рис. 2.10, для граничных значений

параметра а. Для других значений а соответствую­ щие значения Д£ лежат между этими двумя кривыми. Как видно из рис. 2.10, минимально возможная ши­

ношению C/g, как и в большинстве импульсных устройств с дискретными туннельными диодами, и почти не зависит от параметров линии R, р, L.

На рис. 2.11 показана зависимость Тф от тока сме­ щения и параметра а. Как видно из этого рисунка, при фиксированных значениях атф достигает мини­ мальных значений при значениях параметров, соответ­ ствующих границе области существования стационар­ ных волн, причем значения тф тем меньше, чем боль­ ше |Л |. При А ——1 Тфтгп~2,3 C/g, что приблизителыю совпадает с значением времени переключения одновибратора на дискретном туннельном диоде. При уменьшении |Л| величина Тф заметно увеличивается, стремясь к бесконечности при А— >-0.

Как следует из (2.13), (2.19), (2.20), стационарная волна напряжения имеет симметричную форму толь­

области существования, определяемой формулой

сматриваем ли мы профиль волны в пространстве или изменение напряжения во времени. В первом случае верхняя часть волны растягивается по мере увеличе­ ния |Л | , а во втором случае, наоборот, сжимается, достигая наименьшего значения на границе. Характер изменения формы волны напряжения показан на рис. 2.12.

98

Асимметрия фронта волны связана с использова­ нием кусочно-линейной аппроксимации /(«). Правиль­

к границе области существования стационарной вол­ ны, такая аппроксимация не позволяет точно описать

Рис. 2.12. Форма стационарных воли напряжения и тока.

ее форму при значениях параметров, далеких от грани­ цы. В реальных линиях с туннельными диодами, как показывают численный расчет и эксперименты, в этом случае волна всегда имеет форму, близкую к симмет­ ричной, даже при весьма больших значениях тока смещения.

Сравнение теоретических и экспериментальных данных (см. кривые рис. 2.9, 2.11) показывает, что формулы (2.17), (2.19) — (2.22) могут с успехом ис­ пользоваться для практических расчетов параметров стационарной волны в линиях с туннельными диода­ ми, если вместо постоянных А и g в них подставить