книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

Перейдя к «старому» времени, нетрудно видеть, что время нарастания фронта ударной волны, а следова­ тельно, п ширина фронта зависят как от параметров феррита (а, у, М ) и состояния его начальной намаг­ ниченности nil, таки от параметров ячейки линии (to). В частности, при то-^0 время нарастания будет цели­

татом для линии с распределенными параметрами. Неограниченное возрастание величины to приводит

к увеличению времени нарастания; при этом для до­ статочно больших значений т величина ta~ То2/3.

Характерным проявлением влияния пространствен­ ной дисперсии на длительность фронта ударной волны является также зависимость между постоянной вре­ мени звена То при намагниченном до насыщения фер­ рите и временем нарастания фронта волны. Сущест­ вует предельное минимальное значение времени нара­ стания t„p = iH при /2-> + оо (Д^То), определяемое в основном постоянной времени То:

^пр=То[48лг|ауто(1—т{г)М/ (1 + а2)]-‘/3,

тогда как. в линии без дисперсии предельное время нарастания начального участка фронта ударной вол­ ны ^Пр = 0. С уменьшением постоянной диссипации фер­ рита (сс->-0) время нарастания начального участка фронта ударной волны увеличивается тем быстрее, чем меньше величина перепада тока h. При а=1 время нарастания минимально.

Решая второе характеристическое уравнение (1.31), получаем выражение для безразмерной (®= (ОоТо) ча­ стоты и времени затухания т3 колебаний далеко за фронтом ударной волны:

со = 6[4jtt) (1—mi)M/pI2—t г]“1/2/[1 +4яг) (1—m^M/poh]',

t 3=[l + 4 jtt] (1—m^M/pohVfar

[при (r/po)2< n ri(l—mi)М/ph],

50

Условие А<Стхар применимости исследуемого при­ ближения при этом запишется, как и в предыдущем случае, в виде А<§СТп, т:-, 2п/со.

Структура сильных ударных волн. Для исследова­ ния структуры сильных стационарных ударных волн, когда наименьшие временные величины, характери­ зующие волну напряжения и тока, соизмеримы с ха­ рактерными постоянными времени ячейки и времени задержки Л (именно этот случай чаще всего встре­ чается на практике), необходимо провести анализ ста­ ционарных решений, описываемых системой дифферен­ циальных уравнений с запаздывающим аргументом. Однако это не удается сделать как в простейшем слу­ чае, когда феррит характеризуется квазистатической связью <|)(/') (или В( Н)), так и с использованием мо­ дели некогерентного перемагннчивания. Поэтому мы ограничимся здесь приближенными оценками длитель­ ности фронта стационарной ударной волны, рассмот­ рев характер нарастания тока на начальном участке фронта и приближение его к постоянному значению за фронтом, воспользовавшись дисперсионными характе­ ристиками, построенными но линеаризованным урав­ нениям.

Структура стационарной ударной волны опреде­ ляется системой (1.28) [где вместо суммы нужно за­ писать разность второго порядка г(т + Д )—2/(т) + + г(т—А)], сведенной к одному уравнению относитель­ но тока. Линеаризация его вблизи первого положения равновесия (при т,-= 0) дает уравнение для малых то­ ков:

1- (т + Д ) _ 2 / ( т) + / ( х - Д ) = - ^ - + 83- ^ - ,

где

4 па-(г0т\(1 — гщ) М

(1 + “2)

определяющее инкремент X через время задержки А. Характер изменения тока на начальном участке фронта ударной волны определяется наименьшим по модулю корнем характеристического уравнения (1.32), имеющим положительную действительную часть при

А = А р.

Исследования на комплексной плоскости Xi, Х2 (&.X=x — x1+jx2.)<приведенные в работе [29], показали, что среди корней, имеющих положительную реальную часть (R ex>0), один чисто действительный xi,o, а ос­ тальные корни комплексные с мнимой частью Imx = = (2п+1/2)я—Ахгп — х%, п (я=1, 2 ,...,)* ). Начиная с п > 2 корни по модулю много больше Xi, о- Ближай­ шие к Х\%о (исключая тривиальный х = 0) комплексно­ сопряженные корни соизмеримы с ним по модулю (больше в 2—3 раза). Однако их действительная часть, определяющая характерное время нарастания фронта ударной волны тш одного порядка с Х\, о, а пе­ риод колебаний, характеризуемый мнимой частью, много меньше тп. Поэтому для оценки Тп можно вос­ пользоваться корнем Xi,o- Зависимость времени нара­ стания тн-1= (^н/то_1^-^1,о= ЯРо/2/4яг1(1—ту)М], полу­ ченная путем графического решения (1.32), приведена на рис. 1.15 (сплошные кривые).

Из рисунка видно, что при больших 62 величина, обратная времени нарастания ^н_1, увеличивается по закону, близкому к линейному для больших амплитуд тока h [ро/гМят] (1—mi)M>0,3], При малых значениях параметра 62 (62= 0,1 ... 2) величина tn~l изменяется по одному и тому же линейному закону как при боль­ ших, так и при малых амплитудах тока 1%. Интересно

*> Для случая сильных ударных волн, когда Д~1, ба доста­ точно велико.

52

отметить, что для линии с распределенными парамет­ рами величина tH~l линейно зависит от амплитуды то­ ка ударной волны при любых значениях параметра, соответствующего 62.

Заметим, что при малых значениях хт характер кривых, изображенных на рис. 1.15, остается прежним;

Рис. 1.15. Графики обратной зависимости относительного времени нарастания фронта и периода колебаний за фронтом стационар­ ной волны от относительной задержки на звено линии:

-------- сильной; --------- для слабой ударной волны.

однако сами кривые несколько смещаются вниз, что эквивалентно некоторому увеличению времени нара­ стания фронта ударной волны.

Процесс установления постоянного значения тока h за фронтом стационарной ударной волны характе­ ризует дисперсионное уравнение*);

Построив комплексную плоскость корней хь х2 уравнения (1.33), находим, что при тг= 0 это уравне­ ние имеет один чисто мнимый корень *2,0. Нетрудно показать, что среди множества корней (1.33) этот ко­ рень является минимальным. При наличии малых по-

*> За фронтом волны i—*-1г, т2—>-1, dm/dt—>-Q.

53

терь (тс<С1) у корня *2,о появляется небольшая дейст­ вительная часть, причем Re*2,o<0. По модулю он попрежнему останется много меньше остальных корней, модуль которых изменяется при учете малых т,- весь­ ма незначительно.

Таким образом, за фронтом ударной волны проис­ ходят колебания, незатухающие при т.-= 0 и затухаю-

Рис. 1.16. График зависимости относительной амплитуды колеба­ ний за фронтом от относительного времени нарастания фронта стационарной ударной волны, построенный по данным численного решения на ЭВМ [31].

X, Д, О, — экспериментальные точки.

щие при хгф0. Частота колебаний определяется наи­ меньшим мнимым корнем *2,о- Результаты численного решения уравнения (1.33) в этом случае приведены на рис. 1.15 (сплошная кривая). Там же пунктиром по­

54

волны, при котором период колебаний минимален й равен 7’к= ято*). При этом частота со = 2/я совпадает с критической частотой линии в отсутствие феррита.

Амплитуду колебаний за фронтом ударной волны не представляется возможным определить аналитиче­ ски. Поэтому на рис. 1.16 приведён график зависимо­ сти относительной амплитуды колебаний I J h от отно­ сительной длительности фронта стационарной ударной волны Тп=/и/то; построенный по результатам чис­ ленного решения на БЭСМ дифференциально-разност­ ной системы нелинейных уравнений [31]. Он хорошо совпадает с графиком, построенным по эксперимен­ тальным данным [32].

1.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ ВОЛН. ОТРАЖЕНИЯ

Формирующие линии, используемые на практике, имеют ограниченную длину. Подача исходных импуль­ сов с выхода импульсной системы на вход линии осу­ ществляется либо непосредственно, либо с помощью линейной линии передачи (например, отрезка высоко­ частотного кабеля). Иногда оказывается более удоб­ ным уже сформированный импульс передать через ли­ нейную линию к удаленной нагрузке. Сама нагрузка в различных случаях может иметь величину от нуля до бесконечности. От стыков нелинейной и линейных линий, от нагрузки и т. д. происходят отражения, сле­ довательно, возникает нелинейное взаимодействие ударных (или простых) волн, оказывающее заметное влияние на форму, передаваемую мощность и другие характеристики импульса. Процессы, происходящие при этом, сложны, однако, когда характеристики Ф(()

*) Отметим, что при значениях То= (0,1 . .. 10) • 10-9 с частота колебаний достаточно велика (порядка нескольких тысяч мега­ герц). Это обстоятельство может быть использовано для получе­ ния (из видеоимпульсов) мощных радиоимпульсов с СВЧ запол­ нением.

55

[Q(«)j квазистатические, задача может быть решена графоаналитическим методом [8, 33, 34].

В настоящем параграфе изложен метод общего ре­ шения задачи о взаимодействии двух ударных волн в линиях передачи с произвольной квазистатической нелинейной зависимостью Ф(/) *> (и линейной, для простоты, связью Q(u) = С0), а также о падении удар­ ной волны на границу раздела двух линий передачи или на произвольную нагрузку [33].

Взаимодействие ударных волн. Пусть при t< 0 в не­ линейной линии распространяются две стационарные

вать конечное время и распадается. При этом в вол­ не, отходящей в каждую сторону от разрыва, величи­ ны I, U будут зависеть только от отношения z/t (т. е. от скорости). Такая волна называется автомодельной и может иметь вид:

а) стационарного разрыва, распространяющегос со скоростью v = vv, или перепада постоянных значе­

*> Не задаваясь какой-либо определенной аналитической за­ висимостью Ф (0 будем считать, что качественный ход ее соот­ ветствует кривой рис. 1.17.

56

ний величин, связанных между собой граничным усло­ вием (1.9):

б) простой волны с расширяющимся фронтом, токи и напряжения которой в любых двух точках профиля (в том числе на концах) связаны соотношением

в) «комбинированной» волны, состоящей из удар-

ной, связывающей точки 1 и 1, и простой волны на

участке 1—2 [ог = у(/~)].Связь полей на концах такой

волны имеет вид

/~

+J [С"0с?Ф/с//]1/2 dl -f- [(Ф2 — Ф,)(/а—Л)]1/2.

(1.36)

Важным свойством перечисленных типов волн яв­ ляется то, что если в одном направлении распростра­ няются любые две из них, то скорость следующей по­ зади, по крайней мере, не меньше бегущей перед ней. Поэтому при распаде произвольного разрыва в каж­ дую сторону от него отходит лишь одна из этих волн. В результате на месте разрыва, разделявшего области / и II постоянных значений h, Ui и I2, 'U2, остается об­ ласть III новых постоянных значений h, >U3, ограни­ ченная указанными волнами. Если заранее известно, какая именно из волн отошла в каждую сторону, то

решить задачу. Исходной является одна из пар нели­

решение которых приводится ниже.

57

Графически соотношение (1.34) при заданных h, U\ и произвольных l%=l, U2=U представлено на рис. 1.18 двумя ветвями (соответствующими знакам ± ) зави­ симостей I{U). Ветвь, соответствующая знаку плюс, определяет волну, бегущую вправо, а ветвь, соответ­

(р= [Л2)//(2)). Пусть к стыку линий подходит перепад

происходит падение волны f ( l) на границу; возникает отраженная волна А3>, которой (в силу непрерывности тока и напряжения на границе раздела) будет соот­ ветствовать прямая, обозначенная знаком минус. Точ­ ка пересечения этой прямой с прямой l= U Iро опреде­ лит как величину отраженной волны /(3)= Д (3)—/й3), так и величину волны, прошедшей в нелинейную линию

(при / > 0).

Из рис. 1.19 видно, что практически важный слу-

58

чай согласования обеих линий, т. е. отсутствия отра­ жений от стыка (/(3) = 0), будет выполняться, когда волновое сопротивление линейной линии ро (пунктир­ ная прямая) равно волновому сопротивлению нели­ нейной, определенному как импеданс разрыва p=ZP=

Рис. 1.19. Графическое решение задачи о прохождении ударной волны из линейной линии передачи в нелинейную.

= t/<1V/(1) (при этом точка 3 сливается с 1). Отсюда также следует, что нелинейная линия может быть сог­ ласована с заданной линейной нагрузкой Rn только для одного значения

Условие передачи максимальной мощности (мак­ симума потока энергии) через стык линий (или в на­ грузку) может не совпадать при этом с условием со­ гласования в принятом выше смысле. Это условие бу­ дет определено ниже.

Прохождение волны через нелинейную линию,

разомкнутую на конце. Волна тока /(1) достигает в мо­ мент t = 0 конца линии. Возникает отраженная волна и происходит сложение двух волн — прямой / (й и от­ раженной /<2) — одинаковой величины, но противопо­

59